《双曲线及其标准方程》教学设计

1、.双曲线及其标准方程教学设计一、设计理念1. 课标解读：普通高中数学课程标准 （实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣。（ 2）高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（ 3）高中数学课程实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。（ 3）高中数学课

2、程提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容， 加强数学教学与信息技术的结合。 （4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识的评价。基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。2. 高考解读：解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代

3、数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对运算能力有较高的要求， 但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。3. 教材解读：本节课的教学内容是数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程§ 3.1 “双曲线及其标准方程” ，教学课时为 1 课时。圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双曲线是

4、三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分考虑到了知识学习由易到难的教学要求。双曲线可以与椭圆类比学习，主要内容是：探求轨迹（双曲线） ；学习双曲线概念；推导双曲线标准方程；学习标准方程的简单求法，在学习过程中;.应注意双曲线与椭圆的区别与联系。二、教学目标：1. 知识与技能：（1） 能理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；（2） 能掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置。（3） 能根据已知条件求双曲线的标准方程。2. 过程与方法：（1） 经历双曲线轨迹的探究，培养观察能力和探索发现能力。（2） 在双曲线定义和标准方程的学习过程中培养类比推理能力

5、、归纳能力，体会求轨迹方程过程中数形结合等数学思想方法的运用。3. 情感、态度与价值观：（1） 经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学的对称美和简单美。（2） 通过主动探索，感受探索的乐趣，体会数学的理性和严谨。（3） 经历双曲线定义的获得过程，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度三、教学重点和难点：1. 教学重点：（1） 双曲线的定义。（2） 双曲线的标准方程。2. 教学难点（1） 由双曲线的标准方程确定焦点位置。（2） 根据条件求双曲线的标准方程。四、学习者分析1. 知识结构：双曲线是圆锥曲线中最后学习的曲线，再此之前学生已经学习了椭圆曲线，对学习曲线方程已经有了一定基础

6、和方法，运用类比的学习方法得到双曲线的定义及标准方程不太困难。2. 认知结构：高二学生已具备一定的类比转化及分析问题的能力，但对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂上要注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果。3. 授课班级学生特点：本节课教学对象是南校区文科普通班学生，学生的知识技能基础较弱，根据班级的整体水平以及对新课标的解读，双曲线标准方程的推导过程不在课堂完成，而是设计为 A 类学生的必做作业及其他学生的兴趣作业。五、内容分析：;.本节内容主要分为：1. 复习引入：复习椭圆的定义，提出问题“将椭圆定义中之和改为之差 ，轨迹是什么？”。通过拉链动画演示探究双曲线的轨迹，引入课题“

7、双曲线及其标准方程” 。2. 课程讲解：（1）双曲线的定义：在这一环节采用启发式教学法探究双曲线的定义，学生要理解双曲线定义中“差的绝对值”和“常数大于0 小于两定点距离”的条件。（2）双曲线的标准方程： 在这一环节进一步体会解析几何中求曲线方程的一般方法，根据本班的具体情况，弱化方程的推导过程，直接给出方程，让学生类比椭圆的方程进行理解学习，特别注意椭圆和双曲线焦点位置判断和a、 b、 c 关系的不同。3. 知识应用：在这一环节通过例题向学生示范规范解题过程，通过练习检测巩固学生是否突破难点：即通过双曲线的标准方程确定焦点位置和根据条件求双曲线的标准方程。4. 课堂小结：在这一环节要求学生回

8、顾本节课主要内容， 考查学生对课堂目标的掌握情况，同时展示学习目标，帮助每个学生反思是否完成学习目标。六、教学方法和评价本节课以探究性教学法和启发式教学法为主、讲授法为辅的教学方法，学生主要通过自主探究和小组协作的方法完成学习。七、教学资源：1. 传统的排式教室，投影仪和黑板。2. 课本及配套课件。八、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图【知识复习】举手回答椭圆的定复习椭圆的定义复习提问“椭圆的定义是义并引入新课题什么？”复习引入【新课引入】1.设问：“若将椭圆定义中理解问题，产生探究由和变差，快速引的之和改为之差 ， 兴趣入新课结果如何？2.轨迹探究：设计的需要学生;.（1）解释拉链探究

9、轨迹原理：拉链在拉开和合拢过程中，两边长度相等，现将拉链的一边的端点固定，另一边选择一点固定。引发学生思考：拉链咬合处到固定的两点的长思考发现：到一个定度有什么关系？拉链在拉点距离比另一个定开和合拢过程中咬合处到点距离长多余的那两个固定点的距离如何变一部分；距离在变大化？或者变小，但距离之说明现在拉链的咬差不变。理解拉链画合处放一支笔，那么在拉 双曲线的原理。链拉开或合拢过程中笔尖留下的轨迹上的点满足到定点距离之差为定值。（ 2）动画演示双曲线轨观看轨迹的形成过迹，说明点的轨迹是左右程及结果两支曲线，取名双曲线3.引入课题并板书“双曲线及标准方程”目标展示课件展示学习目标了解学习目标【双曲线的

10、定义探究】1.提问：你能否给双曲线下个定义？双曲线下定义2.分析：右支是到定点 F1、 理解双曲线定义中.思考的两个问题是拉链画双曲线轨迹中两个很关键的点， 通过这两个思考问题，理解借助拉链画出来的轨迹上的点满足到定点的距离之差是常数，从而能够顺利的理解后面的双曲线的定义。使用动画既能形象直观的展示轨迹形成过程，帮助学生顺利理解双曲线上点的特点，同时节省了时间。学生了解学习目标，目标做指引，学习更高效学生在下定义时会错误的给出“距离之差是常数” ，设计让学生先试误，对知识记忆深刻。通过对错误的更;.F2 距离之差为 2a 的点的常数是“差的绝对正，学生对定义中集合，左支是距离之差为值”。“差的

11、绝对值”理-2a 的点的集合，两支则为解更深刻。距离之差的绝对值为2a定值的点的集合。3.双曲线定义根据建构主义的（1）给出双曲线的初步定学习观，学生对知义“平面内到两个定点 F1、识理解后才能自F2 距离之差的绝对值是常主建构为自己的数的点的集合叫双曲线” 。知识。设计的这几（2）提问：类比椭圆定义，个思考问题能帮椭圆中要求常数大于 F1 2F思考并回答：常数要助学生理解双曲之间距离，双曲线定义中小于 F1F2；并解释原线定义中常数的的常数有没有条件限制？因：三角形中两边之条件。对于条件限（3）提问：等于 F12的F差小于第三边。制，由学生先猜轨迹是什么？思考回答：两条射线想，再分析不满足新

12、课讲解（4）思考：若常数为0，思考回答线段 F1 2条件时点的轨迹，轨迹是什么？F的中垂线证明猜想，培养学（5）课件展示双曲线的完理解掌握：双曲线定生严谨的数学思整定义，同时给出焦点和义及焦点焦距概念维。焦距的定义。【双曲线标准方程探究】回答：一般步骤：建1.回忆求曲线方程的一般系、设点、列式、化步骤简2.双曲线焦点在 x 轴的标准方程的探究回答：“以 F1 2 所在通过双曲线的建F（1）建系：提问：双曲线直线为 x 轴，以 F1 2系说明进一步体F如何建系？分析 F1、F2点中垂线为 y 轴建立会对称建系的原的坐标（ -c，0）（c，0）直角坐标系” 的建系则（2）设点：设 M （x，y）

13、过程。为双曲线上任意一点（3）列式：首先给出定义式 MF1MF22a，由定义带入点坐标列式。;.（4）化简：分析和椭圆列式的异同点，点拨化简思，给出化简结果。3.双曲线方程与标准方程和椭圆列式比较， 发的比较：提出问题：比较现异同点，回忆椭圆根据建构主义学双曲线与椭圆 A.标准方程方程的化简思路， 感习观，采用先行组有何异同点； B.a， b ， c兴趣的同学课后推织者策略，将新知的关系有何异同点？导。识与所学知识建4.双曲线焦点在 y 轴的标回答标准方程的： 相立联系，学生能够准方程：给出方程，要求同点：形式一样更顺利的学习新类学生和其他感兴趣的不同点：两式运算一知识，同时建立清同学课下证明

14、。减一加，a2 始终对应晰的知识网络关5.焦点在 x 轴和在 y 轴的系数为正的一式系。两类双曲线方程比较：课a,b,c 关系：件给出双曲线的两类方相同点：都有一数平程，板书同时提问：如何方等于另两数平方通过双曲线的方程判断焦和关系点的位置。不同点：双曲线中6.巩固练习c2=a2 +b2， c 值最大， 通过练 习检 测是课件展示练习 1：求a、 b 大小关系不确否突破难点：由双双曲线的焦点坐标定；椭圆中 a2=b2+c2 ， 曲线方 程判 断焦a 值最大， b、c 大小点位置关系不确定【例题讲解】例 1已知双曲线的焦点为 F1(-2,0)、 F2(2,0),双曲通过规范书写示思考并分析解题过

15、范，帮助学生养成线过点 (3, 2 )，求双曲线良好的规范解题习题练习程。观看规范书写。的标准方程。分析解题过习惯。程并板书示范规范解答过程。;.【习题练习】1.练习 2：1.检测学生是否掌已知双曲线的焦点为握用定义求双曲(0,-4),(0,4), 双曲线上任意线方程的方法。一点 P 到焦点的距离之差2.通过练习加深学的绝对值为 6，求双曲线一学生上黑板完成，生对双曲线定义的标准方程。其他学生练习本上的理解。完成3.黑板演示具有将2.高考链接：问题暴露或者良已知双曲线与椭圆好示范性的效果。的焦点相同，双曲线任意一点 P 到焦点的距离之差练习高考题将课堂练习提升的绝对值为 6，求双曲线到高考高度的标准方程。反思收获能够帮学生回顾本节所学助学生梳理总结课堂小结1.本节课你收获了什么？知识本节所学内容2.学习目标照应学生对照学习目标，对照学习目标，反反思达成程度思完成度，以便查漏补缺。1.个人作业：课本 P43 习1.通过个人作业巩题