矢量和标量的定义

1、第第0 0章章 矢量分析基础矢量分析基础一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。只有大小，没有方向的物理量。矢量矢量表示为：表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1 1。| A a2.2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。不仅有大小，而且有方向的物理量。如如: :力力 、速度、速度 、电场、电场 等等FEv如：温度如：温度 T

2、 T、长度、长度 L L 等等AeAaAaAA二、矢量的运算法则二、矢量的运算法则1.1.加法加法: : 矢量加法是矢量的几何和矢量加法是矢量的几何和, ,服从服从平行四边形规则平行四边形规则。a.a.满足交换律满足交换律：ABBAb.b.满足结合律满足结合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBDzoyx三个方向的单位矢量用三个方向的单位矢量用 表示。表示。,xyzaaa根据矢量加法运算：根据矢量加法运算：xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以所以：xxyyzzAA aA aA a在直角坐标系下的矢量表示在直角坐标系下的矢量表示: :AxAyAzA其中其中

3、：矢量：矢量：xxyyzzAA aA aA a模的计算模的计算：222|xyzAAAA单位矢量单位矢量：|yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角与方向余弦方向角与方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐标系中三个矢量加法运算：在直角坐标系中三个矢量加法运算： ()()()xxxxyyyyzzzzABCABC aABC aABC azoyxAxAyAzA2.2.减法：减法：换成加法运算换成加法运算()DABAB ABCBAB逆矢量：逆矢量： 和和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。的模相等，方向相反，互为逆矢量。B()BDBADABC0在

4、直角坐标系中两矢量的减法运算：在直角坐标系中两矢量的减法运算： ()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推论：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。3.3.乘法：乘法：（1 1）标量与矢量的乘积：）标量与矢量的乘积：0|00kkAk A akk方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2 2）矢量与矢量乘积分两种定义）矢量与矢量乘积分两种定义a. a. 标量积（点积）：标量积（点积）：| |cosA BABBA两矢量的点积两矢量的点积含义：含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，一矢

5、量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。其结果是一标量。在直角坐标系中在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即，已知三个坐标轴是相互正交的，即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有两矢量点积：有两矢量点积：() ()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA结论结论: : 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论推论1 1：满足交换律：满足交换律推论推论2 2：满足分配律：满足分配律推论推论3 3：当两个非零矢量点积为零：当两个非零矢量点积为零, ,则这两

6、个矢量必正交。则这两个矢量必正交。A BB A()ABCA BA C推论推论1 1：不服从交换律：不服从交换律：,A BB AA BB A 推论推论2 2：服从分配律：服从分配律：()AB CA BA C推论推论3 3：不服从结合律：不服从结合律：()()AB CA BC推论推论4 4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.b.矢量积（叉积）：矢量积（叉积）：| |sincABABa含义：含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三组

7、成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。者符合右手螺旋法则。BAca在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：xyzxyzxyzaaaABAAABBB() ()x xy yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a两矢量的叉积又可表示为：两矢量的叉积又可表示为：xyzo（3 3）三重积：）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：三个矢量相乘有以下几种形式：()A B C矢量，标量与矢量相乘。矢量，标量与矢量相乘。()ABC标量，标量三重积。标量，

8、标量三重积。矢量，矢量三重积。矢量，矢量三重积。a. a. 标量三重积标量三重积法则：在矢量运算中法则：在矢量运算中, ,先算叉积先算叉积, ,后算点积。后算点积。定义定义：() |sincosABCA B C()ABC含义：含义： 标量三重积结果为三矢量构成标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积的平行六面体的体积 。ABChB C 注意注意：先后轮换次序。先后轮换次序。推论推论：三个非零矢量共面的条件。三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：在直角坐标系中：()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aB

9、BBCCCb.b.矢量三重积矢量三重积：()()()ABCB A CC A B ()()()VABCCABBCAABChB C4. 矢量的微积分矢量的微积分(a) 矢量的微分矢量的微分(1)() ( ) ( )(2)( )(3)()(4)()ddAdBABdtdtdtd f t Adf tdAAf tdtdtdtddBdAA BABdtdtdtddBdAABABdtdtdt只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：作为作为(1)式的特例，对直角坐标下的矢量：式的特例，对直角坐标下的矢量：xyzAA iA jA kyxzdAdAdAdAijkdtdtdt

10、dt有有作为作为(2)式的例子，在球坐标下的矢量：式的例子，在球坐标下的矢量：AAAeAAdedAdAeAdtdtdt有有(b)矢量的积分矢量的积分（1）对时间）对时间 t 的积分：的积分：2211222111()()()()ttxyztttttxyztttAdtA iA jA k dtA dt iA dt jA dt k（2）沿曲线）沿曲线 s 的线积分：的线积分：222111() ()xyzssxyzxyzxyzA dsA iA jA kdxidyjdzkA dxA dyA dz例2：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：4123rarbrcr中的标量 a、b、c。解：325(2)(32)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23 )xyzabc aabc aabc a 则：设213abc 22332235abcabcabc例3： 已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于 、 所在平面。ABnABaAB 2631510304