第四章弯曲应力

1、1第四章第四章 弯曲应力弯曲应力2n4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例起重机大梁起重机大梁13n4-1 4-1 概述概述镗刀杆镗刀杆4车削工件车削工件5火车轮轴火车轮轴67PaAB阳台梁阳台梁栏杆栏杆PABPaMeq8以弯曲变形为主的杆件通常称为以弯曲变形为主的杆件通常称为梁梁9q1F2F3F4F5F6FeM1、弯曲受力特点、弯曲受力特点外力垂直于杆件的轴线或杆受外力垂直于杆件的轴线或杆受到位于杆轴平面内的外力偶作用。到位于杆轴平面内的外力偶作用。轴线轴线102、弯曲变形特点、弯曲变形特点杆的轴线由直线变成曲线。杆的轴线由直线变成曲线。11工程中常见的梁，其横截面均有工程中常见的

2、梁，其横截面均有对称轴对称轴，例如：，例如：对称轴对称轴对称轴对称轴1213轴线轴线纵向对称面纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线弯曲后梁的轴线（挠曲线）（挠曲线）3、对称弯曲、对称弯曲梁的挠曲线与载荷同在纵梁的挠曲线与载荷同在纵对称对称面内。面内。纵向对称面纵向对称面通过梁轴线和截面对称轴的平面。通过梁轴线和截面对称轴的平面。14具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在对称面内外力都作用在对称面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线15非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。 对称弯曲对称弯

3、曲16（1 1）、支座的几种基本形式）、支座的几种基本形式向心推向心推力轴承力轴承滚珠轴承滚珠轴承4 4 受弯杆件的简化受弯杆件的简化1718火车轮轴简化火车轮轴简化192021吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷（2 2）、载荷的简化）、载荷的简化22非均匀分布载荷非均匀分布载荷23梁的载荷与支座梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座可动铰支座可动铰支座固定端固定端224简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA（3）、静定梁的基本形式）、静定梁的基本形式25静定梁静

4、定梁支座反力可由静力平衡方程确定的梁。支座反力可由静力平衡方程确定的梁。（a）简支梁）简支梁（b）悬臂梁）悬臂梁（c）外伸梁）外伸梁（d）静定组合梁）静定组合梁中间铰中间铰26静不定梁静不定梁支座反力不能由静力平衡方程支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。完全确定的梁。27FSM 0yF1ASFFFy 0CM)(1axFxFMAy F FS S剪力：剪力：作用线相切于截面的内力 M M 弯矩：弯矩：作用面垂直于截面的内力偶矩FByFSMn4-2 剪力和弯矩3FAy28FAyFSMFByFSM 截面上的剪力对梁上任截面上的剪力对梁上任意一点的矩为意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正

5、；剪力为正；反之反之为负。为负。+_ 截面上的弯矩截面上的弯矩使梁呈使梁呈向下凸向下凸变形变形为为正；正；反之反之为负。为负。+_29解：解：1. 确定支反力确定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2. 用截面法研究内力用截面法研究内力(设正法设正法)FAyFSEME 0yF352FFFSE 0EM233522aFMaFE3FFSE23FaME例题例题 求图示简支梁求图示简支梁E E 截面的内力截面的内力FAy30FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到分析右段得到(设正法设正法) ：FSEMEO 0yF0BySE

6、FF3FFFBySE 0oMFaaFMByE2323FaME31FAyFBy3FFBy35FFAy截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力在梁轴线的面任一侧外力在梁轴线的垂线上投影的代数和。垂线上投影的代数和。FAyFSE35FFSE2FFSEF23F外力正负：左上右下为正，左下右上为负。简便法求截面上的剪力和弯矩简便法求截面上的剪力和弯矩32FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。MEFAy2335aFME22aF Fa232FME外力矩正负：左顺右逆为正，左逆右顺为负。简便法求截

7、面上的剪力和弯矩简便法求截面上的剪力和弯矩33AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDFByF解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力0AMKNFAy3KNFBy70BM例例 一外伸梁受力如图所示。试求一外伸梁受力如图所示。试求C截面、截面、 截面和截面和 上上的内力。的内力。左B右B342、求指定横截面上的剪力和弯矩、求指定横截面上的剪力和弯矩C截面：截面：)(左侧ySCFF)( 1 qFAy）（KN123)(左侧CCMM21120qMFAymKN .3AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDFByF35截

8、面：截面：左B左SBF3qFAyKN3左BM23340qMFAymKN.5AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDFByF36右B截面：截面：右SBFKN4右BMmKN.5AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDFByFByAyFqF3023340ByAyFqMF 求图示外伸梁中的11、22、33、44和55各截面上的内力m3m3m2kN61212AmkNq2343455CBmkN 6kNFA13kNFB538 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图39在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截在一般

9、情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即的函数，即)(),(xMMxFFSS称为称为剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程40AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDFByF必须必须分段分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的各段的分界点分界点为各段梁的为各段梁的控制截面控制截面。* * 控制截面：控制截面：外力规律发生变化的截面外力规律发生变化的截面集中力、集集中力、集中力偶作用处、分布载荷的起点和终点处的横截面。中力偶作用处、分布

10、载荷的起点和终点处的横截面。41xSFxM(+)(-)(+)(-)剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。梁轴线的变化情况。注意：注意：必须标明控制必须标明控制截面上的内力值截面上的内力值剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图qlABFAFBxqxqlFS2222qxxqlM2ql2ql82ql(+)(-)(+) 图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力图和弯矩图.lABFX FxFSLx 0 FxxMLx 0FFLkNkNm(-)(-)44)3(6)(220 xLLqxFs解：求支反力写内力

11、方程3 ; 600Lq RLqRBAq0RA根据方程画内力图RBL)xL(LxqxM2206)(xL33Fs(x)x620Lq320Lq27320LqM(x)画剪力图和弯矩图(+)(-)(+) 图示外伸梁,试作剪力图和弯矩图.m4mkN 40mkN10kN20m1AB35kN25kNX1 kNxFS201101 x 1120 xxM101xX2221025xxFS402 x 210252222xxxM402x20152520202.525.31kNkNm(-)(-)(+)(-)(+)46 载载荷荷集度集度、剪力和弯矩、剪力和弯矩间的微分关系间的微分关系47q(x)1F2F3F4F5F6FeM突

12、突 变变 规规 律律(从左向右画)1 1、集中力作用处，集中力作用处，FS图有突变，向下的集中图有突变，向下的集中力，剪力向下突变（向上的集中力，剪力向上力，剪力向下突变（向上的集中力，剪力向上突变），突变的大小与集中力值相同；突变），突变的大小与集中力值相同；M图形图形成一个尖角。成一个尖角。 q(x)1F2F3F4F5F6FeM突突 变变 规规 律律(从左向右画)2 2、集中力偶作用处，集中力偶作用处，M图有突变，顺时针图有突变，顺时针向下突变（逆时针向上突变），突变的大向下突变（逆时针向上突变），突变的大小与小与集中力偶值相同，集中力偶值相同，FS图无变化。图无变化。q(x)1F2F3F

13、4F5F6FeM50q(x)1F2F3F4F5F6FeM考察受任意载荷作用的梁。建立考察受任意载荷作用的梁。建立xy坐标系。坐标系。规定向上的规定向上的q(x)为正。为正。xy xdx51 考察考察dx微段的受力与平衡微段的受力与平衡)(xFS)(xM)()(xdFxFSS)()(xdMxM520yF0)()()()(xdFxFdxxqxFSSS)()(xqdxxdFS由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相 应点处的载荷集度应点处的载荷集度q。)(xFS)(xM)()(xdFxFSS)()(xdMxM530oM0)()(2)()()(xdMxM

14、dxdxxqdxxFxMS)()(xFdxxdMs略去二阶微量略去二阶微量 ，得：，得：2)(2dxxq 由此式知：由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等弯矩图曲线上一点的斜率等 于梁上相应截面处的剪力于梁上相应截面处的剪力 。SF)(xFS)(xM)()(xdFxFSS)()(xdMxM54)()(xFdxxdMS)()(xqdxxdFS)()(22xqdxxMd由此式知：由此式知：弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁上相应点处的载荷集度上相应点处的载荷集度q的符号决定。的符号决定。55载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()(22xqdxxMd1.

15、1. q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为水平直线；剪力图为水平直线；M M(x(x) ) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；M M(x(x) ) 为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上，抛物线呈分布载荷向上，抛物线呈凸凸形；形；分布载荷向下，抛物线呈分布载荷向下，抛物线呈凹凹形。形。3.3. 剪力剪力F Fs s=0=0处，弯矩有极值。处，弯矩有极值。4.4. 集中力作用

16、处，剪力图突变，弯矩图有尖角；集中力作用处，剪力图突变，弯矩图有尖角； 集中力偶作用处，集中力偶作用处，剪力图无变化，剪力图无变化，弯矩图突变。弯矩图突变。56内力内力FS 、M 的变化规律的变化规律, ,归纳如下：归纳如下：载荷载荷图SF图M0)(xqCq Cq FM水平直线水平直线+-oror上斜直线上斜直线下凸下凸抛物线抛物线上凸上凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无变化无变化)有尖角有尖角M斜直线斜直线)()(22xqdxxMd有突变有突变57 也可也可通过积分方法确定剪力、通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各弯矩图上各点处的数值。点处的数值。 SddFxMxFMddSbab

17、axFMddS baFAaMbMSqxFddSxqFddSbabaxqFddS baSSqAaFbFaFaFaF5425. 2Fam4kN3mkN23kNkNmkNkNm(+)(+)(+)(-)(-)(+)作图示梁的内力图kN3ACDBkNFB2EmkN5 . 4mkN 2kNFA10m1m2m2m156. 1x32344. 2722kNkNm(-)(+)(-)(-)(+)(-)4m2m1mkN 4mkN2kN6m14.51.55.55 . 87kNkNm(+)(-)(+)作图示梁的内力图kN160ACDBkN310EmkN40kN40kN130m1m2m4m2mkN 80Fm11303019

18、040120160280340210130kNmkN(+)(-)(+)(+)(-)62微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束反力的作用位置，确定根据载荷及约束反力的作用位置，确定控制截面。控制截面。计算控制截面上的剪力和弯矩数值。计算控制截面上的剪力和弯矩数值。应用微分关系确定各段剪力图和弯矩图的应用微分关系确定各段剪力图和弯矩图的形状，结合突变规律，画出剪力图与弯矩图。形状，结合突变规律，画出剪力图与弯矩图。 aaqaABCD223qaM aADaqaBC223qaM FBFBFAMAFDqaFD41qaFFBA47247qaMAqa47qa47q

19、a41qa41247qa245qa241qa2321qa241qa2321qa245qakNkNm64注意注意 1、不是简单形状叠加，是纵坐标值的叠加、不是简单形状叠加，是纵坐标值的叠加 2、要考虑正负不同符号纵坐标的重叠和相同、要考虑正负不同符号纵坐标的重叠和相同 符号纵坐标的累加符号纵坐标的累加 3、按纵坐标方向划出有效区标志线，正负抵、按纵坐标方向划出有效区标志线，正负抵消的部分不可划标志线消的部分不可划标志线 4、标明有效区的正负符号、标明有效区的正负符号 5、标注极值大小、标注极值大小、用叠加法作弯矩图、用叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图lABqFlABFAlBqFqLF+qLFL1/2

20、qL21/2qL2+FLACBFlm41F2l2lCABF2l2lACFlm41l+Fl41-Fl41+-Fl81Fl41kN6mkN2m2m2m2kN6ACDBmkN2m2m2m2+6-4+44-68一、平面刚架：一、平面刚架：由几根不同取向的直杆组成，而由几根不同取向的直杆组成，而各杆在其联接处的夹角各杆在其联接处的夹角不能改变不能改变，这种联接称为，这种联接称为刚节点刚节点。有刚节点的框架称为。有刚节点的框架称为刚架刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有的内力一般有轴力轴力、剪力剪力和和弯矩弯矩。74-3

21、 4-3 平面刚架和平面曲杆的内力平面刚架和平面曲杆的内力AxFAyFABByF立柱立柱刚节点刚节点横梁横梁69Bql22qlyq 已知平面刚架上的均布载荷集度已知平面刚架上的均布载荷集度q, ,长度长度l。B试：画出刚架的内力图。试：画出刚架的内力图。例题例题ql22ql解：解：1 1、确定约束力、确定约束力22ql2 2、写出各段的内力方程、写出各段的内力方程FN(y)FS(y)M(y)竖杆竖杆ABAB：A A点向上为点向上为y y lyqyqlyFqlqyyFFSSx000 lyqlyFqlyFFNNy02/02/0 lyqyqlyyMqlyyqyyMyM02/02/02y70横杆横杆C

22、BCB：C C点向左为点向左为x x lxqlxFqlxFFSSy02/02/0 lxxFFNx000 lxqlxxMqlxxMxM02/02/0Bql22ql22qlyB22qlFN(x)M(x)xFS(x)x 已知平面刚架上的均布载荷集度已知平面刚架上的均布载荷集度q, ,长度长度l。试：画出刚架的内力图。试：画出刚架的内力图。解：解：1 1、确定约束力、确定约束力2 2、写出各段的内力方程、写出各段的内力方程71竖杆竖杆ABAB： qyqlyFS 2/qlyFN 2/2qyqlyyMBql22ql22qly3 3、根据各段的内力方程画内力图、根据各段的内力方程画内力图横杆横杆CBCB：

23、2/qlxFS 0 xFN 2/qlxxMFNFSql2ql2ql2ql2ql22qL22qLM求做图示刚架的内力图2kN/m4m4mABC2kN2kN8kN24kNm82)(kNFs2)(kNFN2488)(kNmM(+)(+)(-)73二、平面曲杆二、平面曲杆 某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有曲杆的内力有轴力轴力、剪力剪力和和弯矩弯矩。74画出该曲杆的内力图画出该曲杆的内力图 sinFFN解：解：写出曲杆的内力方程写出曲杆的内力方程FRmmF NF

24、 SF M cosFFS sinFRMFNF FSF FRM例题例题C2rrABF 图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆的内力图.AB:FrM2FFN0SFBC: cos1 FrM cosFFN sinFFSFr2Fr)(kNmM)(kNFsF)(kNFNFF纵向对称面纵向对称面PP4 44 4梁横截面上的正应力.梁的正应力强度条件PPaaAB 梁横截面上剪力等于零，弯矩为常量。PPaaABFsMxx2、纯弯曲1、横力弯曲梁横截面上既有弯矩又有剪力。1、实验现象（1 1）、变形前互相平行的纵向）、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸

25、长。纤维缩短、凸边纤维伸长。（2 2）、变形前垂直于纵向线的）、变形前垂直于纵向线的横向线横向线, ,变形后仍为直线，且仍与变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。向线间相对转动了一个角度。mmnnFF 纯纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，即中间必有一层纤维的长度不变，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线称中性轴，中性轴与横截面的对称轴垂直。中性轴中性轴中性层中性层中性轴中性轴80平面假设：横截面变形后仍为平面，且仍然垂直于变形后的轴线，横截面绕中性轴发生

26、转动。纵向纤维间无正应力假设：假设各纵向纤维之间无相互作用的正应力。3、两个假设4、结论：纯弯曲时横截面上只有正应力。5. 几何方程： y ABA1B1O1Od xy11111OOBAABABBA) ) ) )OO1) )yyddd)(OO1yy 6. 物理关系：物理关系：假设纵向纤维间互不挤压，于是，任意一点均处于单向拉伸或压缩。 EyE MM中性轴M837. 静力关系：静力关系：0dddzAAAxESAyEAEyAN中性轴）通过截面形心轴( zyAydASAz 静矩则0y0dd)d(yzAAAyEIAyzEAEyzzAMMEIAyEAEyyAMzAAAzdd)d(22zEIM1EIz 抗弯

27、刚度。抗弯刚度。惯性积AyzyzdAI因y轴是对称轴，则0yzIdAyIAz2横截面对Z轴的惯性矩85zIMyMM: M: 横截面上的弯矩横截面上的弯矩y y: : 到中性轴的距离到中性轴的距离I IZ Z: : 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩二、最大正应力二、最大正应力 横力弯曲时梁横截面上的正应力横力弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲理论的推广一、纯弯曲理论的推广当梁的跨长与截面高度之比当梁的跨长与截面高度之比 l/h5 时，其误差不超过时，其误差不超过1% ，梁的跨高比梁的跨高比l/h越大，其误差就越小。越大，其误差就越小。横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力zIyMzIyMm

28、axmaxmaxzWMmaxmaxmaxyIWzz令令抗弯截面系数抗弯截面系数87三、惯性矩和抗弯截面系数三、惯性矩和抗弯截面系数dAyIAz2maxyIWzzbzhy单位：单位：m4单位：单位：m31232222bhbdyydAyIhhAz6212223bhhbhhIWzz88DdDda)1 (32 43maxaDyIWzzD6442DdAyIAz32264234DDDDIWzz)1 (6464644444aDdDIz89 注意注意：（1 1）在计算正应力前，）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截面上的必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴

29、的惯性从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩矩；以及；以及所求的是该截面上哪一点的正应力所求的是该截面上哪一点的正应力，并，并确定该点到确定该点到中性轴的距离中性轴的距离。（2 2）要特别注意）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律，在中性轴上为零，而在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大在梁的上下边缘处正应力最大。（3 3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正负号正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定。（4 4）必须熟记矩形

30、截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算。）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算。M90、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计许可载荷：maxmaxMWzmaxzWM、梁的弯曲正应力强度条件、梁的弯曲正应力强度条件 zWMmaxmax91弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttmax,ccmax,3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与MzI IyMzmaxmaxmax zWMmaxmax或或92BAl =

31、3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：例题193BAl = 3mq

32、=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN2. C 截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCC94BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN3. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 510218010

33、5 .676533ZmaxmaxmaxIyM95BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM196 zIyMmaxmaxmax分析（分析（1 1）（2 2）弯矩）弯矩 最大的截面最大的截面M（3 3）抗弯截面系数）抗弯截面系数 最最 小的截面小的截面zW 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度

34、。已知,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,1302Fbammd材料的许用应力材料的许用应力.MPa60mm1601d？ zWMmaxmax例题297（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核B B截面：截面： MPa5 .41Pa105 .4116. 0322675 .62326331maxdFaWMzBB MPa4 .46Pa104 .4613. 0321605 .62326332maxdFbWMzCCC C截面：截面：（5 5）结论）结论: :强度足够强度足够（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图F Fa aF Fb b

35、解：解：98分析分析（1 1）确定危险截面）确定危险截面（3 3）计算）计算maxM（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号zW 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重自重材料的许用应力材料的许用应力MPa,140kN,7 . 61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。 zWMmaxmax（2 2）例题399（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（5 5）讨论）讨论（3 3）根据）根据 zWMmaxmax计算计算 33663maxcm962m1096210140

36、45 . 910)507 . 6(MWz （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：36c36c工字钢工字钢3cm962zWkg/m2 .71q100例例3 3 T形截面铸铁梁，t=30MPa，c=160MPa。Iz=763cm4，且|y1|=52mm。校核梁的强度。101解解102危险截面与危险点103104RFqRF 5梁横截面上的切应力.梁的切应力强度条件kNkNm一、矩形截面梁的切应力一、矩形截面梁的切应力1、横截面上的方向与FS平行2、沿截面宽度是均匀分布的zyFsdxx3、研究方法：分离体平衡。 在梁上取一微段。 在微段上取一块。byyz2h2hFaa1NF2

37、NFxdx112212aayyMdMM yaa12dxbbyyz2h2hdA1yA1NF2NF12aayyyaa12dxb0*1*2bdxFFyNN*1*1ANdAF*1AzdAIMy*1AzdAyIM*2*2ANdAF*1AzdAIydMMbdxdAyIdMyAz*1zSdxdMbISzzy*bISFzzs*1)(AzdAyIdMMF Fs s 横截面上的剪力横截面上的剪力；I IZ Z 截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩；b b 截面的宽度；截面的宽度； S SZ Z 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩宽度线一侧的面积对中性轴的静矩. . bISFZzs*bzyA2h2hycy)4(2

38、22yhIFZsy 对于矩形：对于矩形：czyAS*22)2(yhyyhb)4(222yhbAFbhFss5 . 123max)4(222yhIFzs矩 方向：与横截面上剪力方向相同； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h按抛物线分布。 最大切应力为平均切应力的1.5倍，发生于中性轴上。 在截面上、下边缘各点处，切应力等于零。111二、工字形二、工字形截面梁的弯曲切应力截面梁的弯曲切应力翼缘翼缘1、腹板、腹板dISFyzzS*)()(yz腹板腹板式中式中 (y)：截面上距中性轴：截面上距中性轴y处的切应力处的切应力 ：y处横线外侧的部分面积对中性轴处横线外侧的部分面积对中性轴Z的静矩的静矩*zS

39、 ：整个截面对中性轴：整个截面对中性轴Z的惯性矩的惯性矩zId：y处的宽度处的宽度dy1122、翼缘、翼缘)(z)(y翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向切应力形成的竖向切应力形成“切应力流切应力流” 。 翼缘部分还有平行于剪力翼缘部分还有平行于剪力FS的切的切应力，但数值很小。应力，但数值很小。翼缘部分的切应力在强度计算时一翼缘部分的切应力在强度计算时一般不予考虑。般不予考虑。腹板与翼缘交界处腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角的应力较复杂，在连接处的转角上发生应力集中，以圆弧连接。上发生应力集中，

40、以圆弧连接。maxmindISFZzs*dIFZS22020242442yhdhhbzdbhh0t88820202maxdhbhbhdIFZS88202minbhbhdIFZSmaxminAf 腹板的面积。; maxA Fs f 沿腹板高度，切应力按抛物线规律分布，最大切应力发沿腹板高度，切应力按抛物线规律分布，最大切应力发生在中性轴上，可以认为在腹板上切应力是均匀分布的。生在中性轴上，可以认为在腹板上切应力是均匀分布的。dISFyzzS*)(腹板承担横截面上(95-97)的切应力,而翼缘仅承担了(3-5)的切应力.对轧制工字钢截面dSIFdISFzzszzS*max,*max,max三、薄壁

41、圆环形截面梁的最大切应力三、薄壁圆环形截面梁的最大切应力AFrFSs2220maxA为圆环形截面面积bISFZzs*最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上20*max,2rSz30rIz2br0 四、圆形截面梁 由于材料边缘上各点的切应力必与圆周相切，故假设: 同一水平线上各点的切应力的方向指向同一点 同一水平线上各点的切应力在y方向的分量相同bISFZzsy*117最大切应力发最大切应力发生在中性轴上生在中性轴上bISFZzsy*123*max,dSz644dIzdb AFRFss34342max1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：等截面梁，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截

42、面的上下边缘处；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Fs M 五、梁的正应力和切应力强度条件五、梁的正应力和切应力强度条件2 2、弯曲正应力和切应力强度条件：、弯曲正应力和切应力强度条件：还有一个可能危险的点，在Fs和M均很大的截面的腹、翼板相交处，(以后讲) zzsIbSFmaxmaxmax zWMmaxmax MFs 对矩形截面梁：对矩形截面梁： AFbhFss5 . 123max4 4、需要校核弯曲切应力的几种特殊情况：、需要校核弯曲切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的工字梁，其腹板的厚度与高度之比值小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷。

43、各向异性材料（如木材）、胶合梁的胶合面等，其抗剪能力较差，要校核切应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计许可外载荷： ;maxmaxmaxMWzmaxzWM3 3、强度条件应用、强度条件应用解：画内力图确定危险截面内力矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试校核梁的强度，求最大正应力和最大切应力之比。N54002336002maxqLFSNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mFs2qL2qL+x求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhLFAWMSzq=3.6kN/mxM+8

44、2qLFs2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAFS123例 图示简支梁，图示简支梁，l=2m，a=0.2m。q=10kN/m，P=200kN。 =160MPa， =100MPa。 选择工字钢型号。选择工字钢型号。124解：解：125首先由弯曲正应力强度首先由弯曲正应力强度条件选择工字钢型号条件选择工字钢型号126选选22a工字钢工字钢127切应力校核不满足强度要求，需重选材料128重选25b工字钢同时满足正应力和切应力强度条件。同时满

45、足正应力和切应力强度条件。FLbh 两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许用应力为,其许可荷载F为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则其许可荷载F为多少?若螺栓材料许用切应力为,求螺栓的最小直径.两梁叠加:zzzWM2maxmax622bhFL23bhFL max 23bhFL LbhF32两梁用螺栓连接两梁只有一个中性轴zWMmaxmax622hbFL223bhFL LbhF322 将两个梁连接成一个整体后,承载能力提高一倍.梁中性层处切应力AFs23max bhLbh232232 Lh2中性层剪力bLFsmaxAFs 422dbh hbd21304-4-6 梁的

46、合理设计梁的合理设计ZmaxmaxWM1. 1. 降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷6-7131 (1)合理布置支座合理布置支座FFF132133 (2) (2)合理布置载荷合理布置载荷F134载荷尽量靠近支座：载荷尽量靠近支座：LABF0.5L图M(+)0.25FLLABF0.8L图M(+)0.16FL135LABF0.9L图M(+)0.09FLLABF图M136将集中力分解为分力或均布力。将集中力分解为分力或均布力。LABF0.5L图M(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L图M0.125FL(+)137合理安排支座位置及增加支座合理

47、安排支座位置及增加支座减小跨度，减小减小跨度，减小 。maxMABF0.6L0.2L0.2L图M0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL图M0.125FL(+)138ABF0.5L0.5L图M(+)(+)FL321FL5129FL51291394-4-6 梁的合理设计梁的合理设计ZmaxmaxWM2. 2. 增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计截面考虑材料特性考虑材料特性6-7140(1)(1)合理设计截面合理设计截面141比值比值Wz/A较大，则截面的形状就较为经济合理。较大，则截面的形状就较为经济合理。 工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理14262bhWZ左62hbWZ右(2)(2)合理放置截面合理放置截面62bh62hb349 cm10ON372.9cm3167.0a3118.0a144(3)、根据材料特性选择：、根据材料特性选择：塑性材料：塑性材料：,ct宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。145(3)、根据材料特性选择：、根据材料特性选择：脆性材料：脆性材料：,ct宜采用中性轴为非对称轴的截面，宜采用中性轴为非对称轴的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：ycz1y2y拉边