倒数和微分参变量函数的导数PPT学习教案

1、会计学1倒数和微分参变量函数的导数倒数和微分参变量函数的导数设平面曲线 C 的参数方程为平面曲线两种方程之间的联系. ( ),.(1)( ),xttyt 如果函数 有反函数 则 (1) 式可( )xt ),(1xt 1( )( ).yxf x 确定复合函数确定复合函数由此说明( ),( ),tt如果都可导如果都可导, 0)( t 且且根据复合数.这种由参数方程 (1) 所表示的函数, 称为参变量函第1页/共22页函数和反函数的求导法则, 得到ddd( )dd.(2)dddd d( )yyttyxttxtxt (2) 式的几何意义如下: 设由 (1) 式表示的曲线 C0000( )(),( )(

2、)tttyxttt 的割线 的斜率为00( ),( )Qtttt PQ00( (),()Ptt在点在点 处有切线. 过点 及邻近点 P第2页/共22页,)()(00tt 如果0( ),( )ttt在点在点则切线, 0)(0 t 可导，000000 ( )() tanlimlim ( )() ttttttyxtttt ,0)(0时时当当 t 有.)()(cot00tt 的斜率为其中 是切线与 x 轴正向的夹角 ( 见下页图 ) . 第3页/共22页22( )( )0,tt则称曲线 C 为光滑曲线. 光滑曲线的每一点都存在, , 若若在在上都存在连续导数,且yQOyxPx C第4页/共22页例1

3、求由参数方程cos ,(0, )sin ,xattybt 切线, 且切线与 x 轴正向的夹角( ) tt 是 的连续是 的连续函数.解 由公式 (2) 得到( 这是上半椭圆方程 ) 所确定的函数 的( )yf x 导数, 并求此椭圆在 处的切线方程.4t 第5页/共22页( )cos ,( )sin.xy d( sin )ddcot ,ddd( cos )ybtbyxtttxata 4d.dtybax 故所求切线为:22().22bbayxa 例2 若曲线 由极坐标方程 ( ) 给出, 则C可以把它转化成以极角 为参数的参数方程第6页/共22页dd,ddxy如果存在如果存在, 0dd x且且则

4、d( ( )sin )( )sin( )cosd( ( )cos )( )cos( )sinyx ( )tan( ).(3)( )( )tan xOT HM C (3) 式表示的是曲线)( 线 MT 与极轴 Ox 的( , )M 在点处在点处的切第7页/共22页向径 ) 与切线 MT 的夹角 的正切是将 (3) 式代入 (4) 式, 化简后可得tantantantan().(4)1tantan ( )tan.(5)( ) 夹角 tan . 的正切的正切过 M 的射线 OH ( 即点M的径的夹角 是常数.例3 证明对数螺线上所有点处的切线与向2e 第8页/共22页证, 因为对每一值因为对每一值arctan2.常数常数所以这条曲线上任一点的切线与向径的夹角等于( )tan( ) 22e1e2 2 , OxHT M 2e 1第9页/共22页第10页/共22页第11页/共22页第12页/共22页第13页/共22页第14页/共22页第1