专题5--导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)名师制作优质教学资料

1、专题 5导数的应用含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视一、思想方法：f '( x)0xAf '( x)0xCxD时f '( x)0x D时f '( x) 0x D时f '( x) 0B .f ( x)增区间为和A, B .D .f (x)增区间为和C, D .f ( x)在区间 D上为增函数f (x)在区间 D上为减函数f ( x)在区间 D上为常函数讨论函数的单

2、调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论二、典例讲解典例 1 讨论 f ( x)ax的单调性，求其单调区间x解： f ( x)xa(,0)(0,)的定义域为xf ' ( x) 1ax 2a (x 0) (它与 g( x)x 2a 同号 )x 2x2I）当 a0时， f '( x)0( x0) 恒成立，此时 f ( x) 在 (,0) 和 (0,) 都是单调增函数，即 f ( x) 的增区间是 (,0) 和 (0,) ;II) 当 a0 时f ' (x)0( x0)xa或xaf '( x)0(x0)ax0或0 xa此时 f ( x) 在 ( ,a )

3、和 (a,)都是单调增函数，f ( x) 在 ( a ,0)和 (0,a) 都是单调减函数，即 f ( x) 的增区间为 (,a ) 和 (a, ) ;f (x) 的减区间为 (a ,0) 和 ( 0,a ) .步骤小结： 1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并变式练习1讨论 f ( x)xa ln x 的单调性，求其单调区间解： f ( x)xaln x 的定义域为 ( 0,)f ' (x) 1ax

4、a (x 0) (它与 g( x)x a 同号 )xxI）当 a 0 时， f '( x)0( x0)恒成立，此时 f ( x) 在 (0,) 为单调增函数，即 f ( x) 的增区间为 (0,) ，不存在减区间 ;II)当 a 0时f ' (x)0( x0)xa ;f '( x)0(x0)0xa此时 f ( x) 在 ( a,) 为单调增函数，f ( x) 在 (0, a) 是单调减函数，即 f ( x) 的增区间为 (a,) ;f (x) 的减区间为 (0, a) 典例 2讨论 f ( x)axln x 的单调性解： f ( x) ax lnx 的定义域为 (0,)

5、I）II ）1ax1(它与 g ( x)ax 1同号 )f ' (x) ax( x 0)x当 a0 时， f ' ( x)0( x0) 恒成立 （此时 f '( x) 0x1没有意a义）此时 f (x) 在 (0,) 为单调增函数，即f ( x) 的增区间为 (0,)当 a0 时， f ' ( x)0(x0) 恒成立，（此时 f ' ( x)0x1不在定义域内，没有意义）a此时 f ( x) 在 ( 0,) 为单调增函数，即f ( x) 的增区间为 (0,)III)当 a01时 , 令 f ' ( x) 0xa于是，当 x 变化时， f '

6、; (x), f (x) 的变化情况如下表：(结合 g(x) 图象定号 )x(0, 1)1( 1 ,)aaaf ' (x)0f (x)增减所以，此时 f ( x) 在 (0,1 ) 为单调增函数，f ( x) 在 (1 ,) 是单调减函数，aa即 f ( x) 的增区间为 (0,1 ) ; f ( x) 的减区间为 (1 ,) aa小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性即先求出f '( x)的零点，再其分区间然后定f '( x)在相应区间内的符号一般先讨论f ' ( x)0 无解情况，再讨论解f ' ( x)0 过程

7、产生增根的情况 （即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据f ' (x) 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性变式练习 2讨论 f ( x)1 ax 2ln x 的单调性2解： f (x)1 ax 2ln x 的定义域为 (0,)2f ' (x) ax1ax21 (x 0) , 它与g ( x)ax2同号 .xx1令 f '(x) 0ax210( x0) ，当 a0 时，无解；当 a0时 , x1aa(另一根不在定义域内a舍去 )i) 当

8、 a0 时， f ' ( x)0(x0) 恒成立（此时 f ' (x) 0x21没有意义）a此时 f (x) 在 (0,) 为单调增函数，即f ( x) 的增区间为 (0,)ii) 当 a0 时， f ' ( x)0( x0) 恒成立，(此时 方程 ax 210 判别式0,方程无解 )此时 f ( x) 在 ( 0,) 为单调增函数，即f ( x) 的增区间为 (0,)iii) 当 a 0 时 ,当 x 变化时，f ' (x), f (x) 的变化情况如下表：(结合 g(x) 图象定号 )x(0,111)(,aaaf ' (x)0f (x)增减所以，此时

9、 f ( x) 在 (0,1 ) 为单调增函数， f(x) 在 (1, ) 是单调减函数，aa即 f (x) 的增区间为 (0,1 ) ; f ( x) 的减区间为(1 ,) aa小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii) 可合并为一类结果对于二次型函数（如 g ( x) ax21）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论典例 3求 f ( x)a 2 x3ax2x1 的单调区间解：(2321 的定义域为 R，xaxaxxf)f '( x)3a 2 x 22ax1(3ax1)( ax1)I)当 a0 时， f ' ( x)10f ( x) 在 R 上单调递减，

10、 f ( x) 减区间为 R，无增区间II)当 a0 时 3a 20 ， f ' ( x) 是开口向上的二次函数，令 f ' ( x)0得 x1110) ,f ' ( x) 的图象）, x2( a因此可知（结合3aai)当 a0 时， x1x2f ' (x)0x11011或 x; f ' ( x)x3aa3aa所以此时， f (x) 的增区间为 (,1)和(1 ,) ； f ( x) 的减区间为 (1 ,1 )a3aa3aii)当 a0 时， x1x2f ' (x)0x1或 x1;3aaf ' (x)01x1a3a所以此时， f (x)

11、的增区间为 (, 1)和(1 ,) ；f ( x) 的减区间为 ( 1,1) 3aa3aa小结： 求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况） 。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负变式练习3 求 f ( x)1 x31 ax 2x1 的单调区间32解： f ( x) 的定义域为R，'()21fxxaxf ' ( x) 是开口向上的二次函数，a 24I)当02a 2 时， f

12、' (x)0 恒成立所以此时f (x) 在 R 上单调递增，f ( x) 增区间为 R，无减区间II)当0a2或 a2 时令 f '( x)0得x1aa24aa 24x22, x22, x1因此可知（结合f ' ( x) 的图象）f (x) 与 f ' ( x) 随 x 变化情况如下表x(, x1 )x1( x1 , x2 )x2( x2 , )x1 , x2 代f ' ( x)00f (x)增减增所以此时，f (x) 的增区间为 ( ,aa 24 )和(aa 24, )；22f (x) 的减区间为 (aa 24aa 242,2)小结： 三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论； 然后再讨论有两不等根的， 结合导函数图象列变化表， 注意用根的符号替复杂的式，最后结论才写回个别点处导数为0 不影响单调性只有在某区间内导数恒为 0 时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况总结 ：求单调区间要确定定义域 ，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同)；第二 有没有 根（二次的看判别式） ，第三是有根是否为增根（在不在