基本初等函数定义域、值域

1、主讲：宁老师主讲：宁老师电话：电话：1523448597015234485970Q QQ Q：619335132619335132一、函数的概念一、函数的概念.),(:)(,AxxfyBABAfxfBxAfBA的一个函数，记作到集合为集合和它对应，那么就称都有唯一确定的数中在集合中的任意一个数使对于集合关系照某种确定的对应是非空的数集，如果按、设函数概念强调三点函数概念强调三点值的唯一性和确定性。中的所有元素；遍取值的任意性，它能取都是非空数集；、)()3()2() 1 (xfAxBA5,1613,16)(5, 2,103,10, 13103 , 72 , 41(424kkaaaaaNakk解

2、得：所以所以舍去解得：所以所以又，定义法）由对应法则：【例【例1】已知集合A1,2,3，k，B4,7，a4，a23a，其中aN，kN，f：xy3x1，xA，yB是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值 【解析】二、相等函数二、相等函数判断两个函数是否是相等函数的三要素：(1)定义域(2)对应法则(3)值域当且仅当这三个要素都相同时，才表示相等函数。如果三要素中有一个不同，则不是相等函数。 323212121*21212()()32111(0)|41(0)2nnnnfxxg xxfxxg xxnfxxxg xxxxfxg xxxN判断下列函数是否表示同一函数：，；，；， ；，【例 】 323

3、*21212121221,21()21|1 |1|(0123)(0)1(0)1(0)4nnnnfxxxgxxxnnnfxxxgxxxfxxxxgxxxfxxxgxxN， ，它 们 的 对 应 法 则 不 同 ， 故 不 是 同 一 函 数 ；时 ， 都 是 奇 数 ， 故 ， ，它 们 的 三 要 素 都 相 同 ， 故 是 同 一 函 数 ；， ，它 们 的 对 应 法 则 不 同 ， 故 不 是 同 一 函 数 ；因 为的 定 义 域 是 ， ，【 解 析 】R的 定 义 域 是，它 们 的 定 义 域 不 同 ， 故 不 是 同 一 函 数 函数的表示方法有三种：（1）图像法（2）列表法

4、（3）解析式法图像法：可以直观地表示函数的变化规律；列表法：可以直观地反映两个变量的对应关系；解析式法：表示的函数关系能方便地通过计算研究函数的性质。三、函数的表示方法三、函数的表示方法)( ,2tan)(5)0( ,)(4)0( ,)(3)0( ,log)(2)0( ,)(10Nkkxxxfxxxfxxxfxxxfxxaxfa的定义域是）正切函数（零；例如：）零次方的底数不能为（大于等于零；例如：）偶次方根的被开方数（例如：）对数的真数大于零；（；例如：）分数的分母不能为零（一、具体函数的定义域一、具体函数的定义域具体函数定义域的五种限制条件具体函数定义域的五种限制条件xxxyxxyxxyx

5、y202214412)1 (3)lg(cos162)23(log1）（）（）（）（求下列函数的定义域【例【例3】 1211222log (32)0.320log (32)log 12(134416022cos022(,)2(1)2210(1)103xxxxxkxkkxxxZ由偶次方根的意义，知由对数的性质，得，解此不等式组得原函数的定义域为，由，得故原函数的定义域为 由，得【解析】原函数的定义域为 ，2,0,00-42得原函数的定义域为由xxx（4） xf的定义域。求函数，的定义域为）已知函数（的定义域。求函数，的定义域是已知函数)(11, 3)3(log2)3(21log2 , 1-)()

6、1 (xfxfxfxf二、抽象函数的定义域二、抽象函数的定义域（1）已知f(x)的定义域是A，求函数定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。（2）已知函数 的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。【例【例4 4】11log1)(11loglog1113)2(4111)3(log4111032)3(log12 , 1-)的定义域为，的定义域为解得：的定义域为）（xfxxxfxxxxf【解析】【解析】。的集合叫做函数的值域叫做函数的值，函数值的值的值对应的中，与自变量在函数yxxfy)(一、函数值域的概念一、函数值域的概念二、函数值域的求解方法二、函数

7、值域的求解方法求函数的值域，首先要看函数的定义域，然后在定义域范围内再求函数的值域。RRaaxyaaayyRyyxxkyabacaabacaacbxaxyRkbkxyax为，正、余切函数的值域为正、余弦函数的值域的值域为且对数函数的值域为且指数函数且的值域为反比例函数，时值域为当时值域为当二次函数；的值域是一次函数1 , 1-) 1, 0(log, 0) 1, 0(0)0(44-0;,440),0()0(222求函数值域的常用方法求函数值域的常用方法（1 1）利用基本函数直接求函数的值域）利用基本函数直接求函数的值域的值域。利用余弦函数来求函数令为常数形如的值域。利用二次函数来求函数令均为常数

8、，形如数的值域。利用反比例函数来求函然后令先变形为均为常数，形如cos)(2,2,sin)()()()0,()()(,)()();0,()(222axfaxaxaxfcadbttcaxfcdtxtdcxacdcbadcxbaxxftabcadacxftbaxbaxabcadacxfadcbabaxdcxxf（2 2）换元法）换元法利用代数或三角换元，将所给函数转化为基本函数来求函数的值域。函数图像如下：对勾函数的定义式：)0( ,)(axaxxfaa2a（3 3）利用对勾函数求函数的值域）利用对勾函数求函数的值域a2xy,22,0,aaxRxx值域是且对勾函数的定义域是出函数的值域。利用对勾函

9、数就可以求悉的对勾函数。分母就转化成了我们熟即令变形，先将例如：形转化为对勾函数。型的函数，可以通过变一次二次; 12)(,1112112) 1() 1()()()(143)()(22tttftxxxxxxxfxfRxxxxxfxf常见的可转化为对勾函数的函数常见的可转化为对勾函数的函数出函数的值域。利用对勾函数就可以求悉的对勾函数。分母就转化成了我们熟即令变形，先将例如：形转化为对勾函数。型的函数，可以通过变二次一次;11)(,111111) 1(1221)()()(221)()(222tttftxxxxxxxxxfxfRxxxxxfxf出函数的值域。利用对勾函数就可以求悉的对勾函数。分母就

10、转化成了我们熟令变形，先将例如：形转化为对勾函数。型的函数，可以通过变二次二次某些;411)(,1141114) 1(115211521525263)()()( ,1263)()(22222222tttftxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfRxxxxxxfxf753615354426123);0(1321212222xxxyxxxyxyxxyxxxxyxxy）（）（）（）（）（）（【例【例5】）的值域是（），（），的值域是（令）（1 , 021; 011313)2(2121-21)11 (21; 01)11 (21,12)1211 (211212yxxxxxxxxyyuuuyuxxxxy【解析】【解析】202cos20; 1cos1cos2sin12sin4442,2,sin245-50421)21(51-)23(22-61223),0(2-63222max2222，的值域为）令（，的取值范围是时，当则）令（yxxxxxxyxxxyyttttttxx