信息光学(傅里叶光学)Chap3-2

1、3-1 光波的数学描述光波的数学描述二、球面波二、球面波 : 近轴近似近轴近似已将球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z 轴正方向传播.如果 z 0, 上式代表从 S 发散的球面波.如果 z 0, 上式代表向 S 会聚的球面波.20200)()(2exp)exp(),()(yyxxzkjjkzzayxUPU对给定平面是常量随x, y变化的二次位相因子球面波特征位相)(2exp)exp(),(220yxzkjjkzzayxU球面波中心在原点:Cyyxxx-y 平面上等位相线方程 :光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率: 一般情形一般情形定义定义:复振幅变化空间周

2、期的倒数称为平面波的空间频率复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率平面波在x和y方向的空间频率分别为:cos1 ;cos1YfXfyxcos, cos 为波矢的方向余弦若波矢在x-z平面(或y-z平面)中, 或 又常用它们的余角qx (或qy)表示,故:qqyyxxYfXfsin1 sin1或)coscos(exp ),(yxjkAyxU引入空间频率概念后, 单色平面波在xy 平面的复振幅分布可以表示为 )(2exp ),(yfxfjAyxUyx#2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播 1、复振幅分布的角谱、复振幅分布的角谱Angular Spectrum of

3、 Complex Amplitude Distribution即: 把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数expj2(fxx+fyy) 之和, 各分量的叠加权重是A(fx, fy,z). dxdyyfxfjzyxUzffAyxyx)(2exp),( ),(称为x-y平面上复振幅分布的频谱 对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)进行傅里叶分析:yxyxyxdfdfyfxfjzffAzyxU)(2exp),(),( 物理上, expj2(fxx+fyy) 代表传播方向余弦为cos=fx, cos=fy 的单色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y)是不同平面

4、波分量分布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy)决定. #2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播1、复振幅分布的角谱、复振幅分布的角谱根据cos ;cosyxff可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量： dxdyyxjzyxUzA)coscos(2exp),( ),cos,cos( ),cos,cos(zA称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不同传播方向(,)的单色平面波的振幅(|A|)和初位相(argA)#角谱是角谱是xyz平面上复振幅分布平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱的空间频谱, 其空其空间频率

5、宗量用传播矢量的方向余弦表示间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示复振幅分布的角谱：复振幅分布的角谱： 例例在x-y平面上, 光场复振幅分布为余弦型:)2cos( ),(0 xfAyxU可以分解为:)2exp()2exp(2)( ),(00 xfjxfjAxUyxUU(x,y)的空间频谱函数:)()(2)2cos( ),(000ffffAxfAffAxxyxU(x,y)的空间角谱函数:cos,cos),( )cos,cos(yxffyxffAA#00coscos2)cos,cos(ffAAz2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播Pro

6、pagation of Plane-Wave Angular Spectrum 光场分布U0(x,y,0)孔径平面（ z =0）P(x,y,0)光场分布U (x,y,z)观察平面（ z =z）P(x,y,z)U0(x,y,0)与U (x,y,z)的关系如何？传播的问题先找到相应的角谱A(fx, fy,0)和A(fx, fy,z)之间的关系角谱的传播角谱是xy平面上复振幅分布U(x,y)的空间频谱, 其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示按角谱的观点: 孔径平面和观察平面上的光场, 均看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合.每一平面波的相对振幅和位相取决于相应的角谱2、平面波角谱的传播、

7、平面波角谱的传播角谱是传播距离角谱是传播距离 z 的函数的函数在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :传播距离z后到达(xyz)平面, 光场变化为U(x,y,z), A是空间频率(角度)的函数, 同时是z的函数. #)cos()cos()coscos(2exp)0 ,cos,cos()0 ,(0ddyxjAyxU )cos()cos()coscos(exp),cos,cos(),(ddyxjzAzyxU 传播的效应体现为角谱由 变化为 . )0 ,cos,cos(A ),cos,cos(zA2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播找出角谱随找出角谱随 z 变化的函数关系变化的

8、函数关系思路思路: 找出并求解找出并求解A满足的对满足的对z的微分方程的微分方程. 0coscoscoscos2exp,cos,cos)(22 ddyxjzAk22z2222yx对任何 x,y,z 均应成立, 故0,cos,cos,cos,coscoscos4,cos,cos22222zAkzAdzdzA#代入亥姆霍兹方程 (2+k2)U(x,y)=0, 并交换积分和微分的顺序)cos()cos()coscos(exp),cos,cos(),(ddyxjzAzyxU 将U(x,y,z)的表达式 2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播角谱沿角谱沿 z 传播遵循的规律传播遵循的规律0,cos,co

9、s)coscos1 (,cos,cos22222zAkzAdzd)coscos1exp(0 ,cos,cos,cos,cos22jkzAzA方向余弦 cos2 cos2 1: 代表倏逝波 #0,cos,cos,cos,coscoscos4,cos,cos22222zAkzAdzdzA初始条件: z = 0 时, A = (孔径平面). 微分方程的解为: )0 ,cos,cos(A2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统传播现象作为线性空不变系统 )coscos1exp(0 ,cos,cos,cos,cos22jkzAzAffyxcos ,cos表征系统频谱特性的传递函数

10、 ：1yxyxyxyxffjkzffAffAffHexp),(),(,系统的传递函数:他其011exp,22222yxyxyxffffjkzffHyxffA,系统的输出yxffA,0系统的输入2、平面波角谱的传播、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统传播现象作为线性空不变系统 1/fxfy0把光波的传播现象看作一个带宽有限的空间滤波器。在频率平面上的半径为1/的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响。但对各频率分量的振幅没有影响。但要引入与频率有关的相移要引入与频率有关的相移。在这一圆形区域外，传递函数为零。对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于1/的信息，

11、在单色光照明下不能沿z方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。系统的传递函数:他其011exp,22222yxyxyxffffjkzffHt (x0,y0)2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用、衍射孔径对角谱的作用Effect of Diffraction Aperture on Angular Spectrum孔径的复振幅透过率：t (x0,y0) = 1 在 内0 其它光场通过衍射屏后的变化：Ut (x0,y0) = Ui (x0,y0) t (x0,y0) 角谱的变化：At

12、(fx,fy) = Ai (fx,fy) T (fx,fy) F.T.由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用、衍射孔径对角谱的作用Ui (x0,y0)Ut(x0,y0)例: 单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔, 求角谱的变化At (fx,fy) = (fx,fy) T (fx,fy) = T (fx,fy) 角谱展宽角谱展宽孔径限制了入射波面的范围, 展宽了入射角谱故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的故角谱的展宽就是在出射波

13、增加了与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波衍射波。 Ai (fx,fy)= (fx,fy)Ui (x0,y0) = 1 T (fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy)t (x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b) (2)衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复振幅 U(P) 能否用光场中各源点的复振幅表示出来。 P PU2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 几何阴影区平面波入射衍射现象2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到

14、基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式(2)1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.可以解释光的反射和折射, 预见光在通过简单孔径时的衍射现象,判断光的传播方向.不能定量计算.#衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。 P PU2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式2. 菲涅耳子波干涉说 (1818): 子波间应当互相干涉

15、,并且应当考虑不同方向子波的差异. 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理: 波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个与原波频率相同的子波. 此后空间任何一点的光振动是这些子波叠加的结果. 其数学表述为:dsreKPUcPUjkr)()()(0q常数幅相因子倾斜因子球面子波表达式源点光扰动相干叠加观察点(场点)复振幅2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式在单色点光源照明平面孔径的情况下:P0nPPrrdsreKPUcPUjkr)()()(0q惠-菲原理常数幅相因子 1/j 自动出现，K(q)函数形式确定#dsreP

16、UjPUjkr2) cos()cos()(1)(0rn,rn,基尔霍夫衍射公式基尔霍夫边界条件2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式随近似程度的不同, 将衍射现象分为菲涅耳衍射和夫琅和费衍射.#在傍轴近似下20202)()(yyxxzr基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式dsrePUjPUjkr2) cos()cos()(1)(0rn,rn,12) cos()cos(rn,rn,2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳衍

17、射公式略去 (x-x0)/z 和 (y-y0)/z 的二次以上的项, 则202021211zyyzxxzr在振幅部分取r的一级近似, 位相因子用r的二级近似,代入基尔霍夫公式, 即得菲涅耳衍射公式0020200,0,)()(2exp)()exp(1)(dydxyyxxzkjyxUjkzzjyxU 在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 1coscosexp),cos,cos(),cos,cos(jkzAzAxyz平面的光场分布的角谱与

18、x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：注意fx=cos /, fy=cos / ，上式可写为:222201exp),(),(yxyxyxffjkzffAffA这就是衍射现象的频域（角谱）表达式。 衍射现象的传递函数：22221exp),(yxyxffjkzffH2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 )cos()cos()coscos(exp),cos,cos(),(ddyxjzAzyxU xyz平面的光场分布按其角谱展开：1coscosexp),cos,cos(),cos,cos(jkzAzAxyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：yxyxyxyxdfdfyfxfjffzjffAzyxU)(exp)exp(),(),(1综合得到（注意fx=cos /,