九年级数学(下)三角函数的应用

1、三角函数的应用三角函数的应用伊战生伊战生古城中学古城中学w直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 A+ B=900.直角三角形的边角关系w直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. 回顾与思考回顾与思考驶向胜利的彼岸bABCacw互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB sinA=cosB. .w特殊角300,450,600角的三角函数值.w直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数锐角三角函数w同角之间的三角函数关系:wsin2A+cos2A=1. .cossintanAAA,cossincaBA,sincoscbBA已知斜边求直边，已知斜边求直边，已知直边求直边，已知直边求直边

2、，已知两边求一边，已知两边求一边，已知直边求斜边，已知直边求斜边，正弦余弦正弦余弦；运用正切运用正切；勾股定理；勾股定理；用正余弦用正余弦；优选关系式优选关系式CABabc 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角. 如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30 点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南方位角方位角船有无触礁的危险问题：海中有一个小岛问题：海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东

3、航行，在在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航方向上，航行行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏在北偏东东30方向上，如果渔船不改变航线继续方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行向东航行. 问题问题1驶向胜利的彼岸w要解决这个问题要解决这个问题,我们可以将其数学化。我们可以将其数学化。w请与同伴交流你是怎么想的请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做怎么去做?w你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗险吗?问题：海中有一个小岛问题：海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东

4、航行，在内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点点测得小岛测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行12海里到海里到达达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？礁的危险？BA ADF601230解：过解：过A作作AFBD于于F.设设AFx海里海里在在RtABF中中,BAF60 x=6 8在在RtADF中，中，DAF30DF=AFtan30= x33BFDF=BD ，即，即3312x33x3 没有触礁的危险没有触礁的危险BF=AFtan60 xxw猜一猜猜一猜,

5、这座古塔有多高这座古塔有多高w你能运用所学的数学知识测你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗出这座古塔的高吗?AB12w小明在小明在A A处仰望塔顶处仰望塔顶, ,测得测得11的大小为的大小为,再往塔的方向前进再往塔的方向前进50m50m到到B B处处, ,又测得又测得22的大小为的大小为,根据这些他就求出了塔根据这些他就求出了塔的高度的高度. .你会做的吗你会做的吗古塔究竟有多高w如图如图, ,小明想测量塔小明想测量塔CDCD的高度的高度. .他在他在A A处仰望塔顶处仰望塔顶, ,测得仰测得仰角为角为30300 0, ,再往塔的方向前进再往塔的方向前进50m50m至至B B处处, ,测得

6、仰角为测得仰角为60600 0, ,那那么该塔有多高么该塔有多高?(?(小明的身高忽略不计小明的身高忽略不计, ,结果精确到结果精确到1m).1m).问题问题2w要解决这问题要解决这问题, ,我们仍需将我们仍需将其数学化其数学化. .w请与同伴交流你是怎么想请与同伴交流你是怎么想的的? ? 准备怎么去做准备怎么去做? ?w现在你能完成这个任务吗现在你能完成这个任务吗? ?xACxBC 例题欣赏例题欣赏DABC50m300600.30tan,60tan00 xBCxAC.5030tan60tan00 xx .433253335030tan60tan5000mx答:该塔约有43m高.w解解法法1:

7、1:如图如图, ,根据题意根据题意,A=30,A=300 0,DBC=60,DBC=600 0,AB=50m.,AB=50m.老师期望:这道题你能有更简单的解法这道题你能有更简单的解法. .解：解：CD=x,ADC=60,BDC=30,在在RtADC中中,tan60=在在RtBDC中中,tan30=AC-BC=ABCABDABCE解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，三角形。解这类题关键是把实际

8、问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造常通过作辅助线构造直角三角形直角三角形来解来解.温馨提示温馨提示D怎样解决一般三角形中的问题呢？怎样解决一般三角形中的问题呢？楼梯加长了多少w某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). 我能行我能行w现在你能完成这个任务吗?驶向胜利的彼岸w请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?ABCD联想的功能这样做驶向胜利的彼岸w解:如图,根据题意可知,A=350,BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.ABCD4m35

9、0400,40sin) 1 (0BDBC解：.40sin0BDBC ,35sin0ABBC答:调整后的楼梯会加长约0.48m. .48. 45736. 06428. 0435sin45sin35sin000mBDBCAB .48. 0448. 4mBDAB联想的功能这样做驶向胜利的彼岸w解:如图,根据题意可知,A=350,BDC=400,DB=4m.求(2) AD的长.ABCD4m350400,40tan)2(0DCBC.40tan0BCDC ,35tan0ACBC答:楼梯多占约0.61m一段地面.35tan0BCAC DCACAD0040tan135tan1BC00040tan135tan1

10、40sinBD .61. 0m感悟：感悟：利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题 的一般步骤的一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.(有有“弦弦”用用“弦弦”; 无无“弦弦”用用“切切”)本节课你有收获吗？1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一在解直角三角形及应用时经常

11、接触到的一些概念些概念(方位角方位角; 等等) 2.实际问题向实际问题向数学模型数学模型的转化的转化 (解直角三角形解直角三角形)钢缆长几何w如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m). 随堂练习随堂练习驶向胜利的彼岸w怎么做?我先将它数学化!EBCD2m4005m真知在实践中诞生w解:如图,根据题意可知,CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE的长. 随堂练习随堂练习驶向胜利的彼岸就这样?BDE51.12.EBCD2m4005m,40tan0BDBC,12.51co

12、s0DEDBw答:钢缆ED的长度约为7.97m.40tan0BDBC ).(1955. 6240tan20mBDBCBE.24. 15240tan5tan0BDBEBDE .97. 76277. 0512.51cos0mDBDE大坝中的数学计算w2 如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,ADC=1350.w(1)求坡角ABC的大小;w(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ). 随堂练习随堂练习驶向胜利的彼岸w咋办w先构造直角三角形!ABCD解答问题需要有条有理w解:如图,(1)求坡角ABC的大小; 随堂练习随堂练习驶向胜利的彼岸w有两个直角三角形w先做辅助线!ABCD6m8m30m1350w过点D作DEBC于点E,过点A作AFBC于点F.EFABC13.,2445tan0DCDEEC则答:坡角ABC约为13. 2430,24BFDEAF.2324. 0243024tanBFAFABC计算需要空间想象力w解:如图,(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ). 随堂练习随堂练习驶向胜利的彼岸w再求体积!w先算面积!,2得由梯形面积公式AFBCADS答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3. 27222