正弦、余弦定理

1、第七节 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理, ,并能解决一些简单的三并能解决一些简单的三角形度量问题角形度量问题. .1.1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点积问题是高考考查的热点. .2.2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等的边与角、三角形形状的判断等. .1.1.正弦定理正弦定理分类分类内容内容定理定理变形公变形公式式解决的解决的问题问题a_2R RABCsinA（ 是外接圆的半径）bsinBcsinCa_,b_,c

2、_，2RsinA2RsinB2RsinCsinA sinB sinC_，已知两角和任一边，求其他两边和另一角已知两角和任一边，求其他两边和另一角. .已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角. .a b cb2Rc2RasinA,sinB_,sinC_2R2.2.余弦定理余弦定理分类分类内容内容定理定理变形变形公式公式解决的解决的问题问题222ABCa_;b_c_在中，有；22bc2bccosA22ca2cacosBcosA=_;cosB=_;cosC=_222b +c -a2bc222a +c -b2ac222a +b -c2ab已知三边已知三边, ,

3、求各角求各角. .已知两边和它们的夹角已知两边和它们的夹角, ,求第三边和其他两个角求第三边和其他两个角. .22ab2abcosC3 3、在、在ABCABC中，中，sinAsinBsinAsinB是是ABAB的什么条件？的什么条件？2 2、在、在ABCABC中，中，B B3030，C C120120，则，则abcabc_._.1 1、在、在ABCABC中，中，A= A= 6060 ， ，则，则B B _._., 34a24b题型一、利用正、余弦定理解三角形题型一、利用正、余弦定理解三角形4 4、如果等腰三角形的腰长是底边长的、如果等腰三角形的腰长是底边长的2 2倍，那么倍，那么它的顶角的余弦

4、值为它的顶角的余弦值为 . .5 5、在、在ABCABC中，已知中，已知a a2 2b b2 2bcbcc c2 2，则角，则角A A为为_._.6 6、在、在ABCABC中，中，B= B= 4545 ， ，则则 ，C C _._.,2b1ca3.3.三角形中常用的面积公式三角形中常用的面积公式(1)S= =_=_(1)S= =_=_；1bcsinA21absinC21acsinB27 7、在、在ABCABC中，中，A A6060，ABAB1 1，ACAC2 2，则，则S SABCABC的值为的值为_._.8 8、在、在ABCABC中，中， 则则S SABCABC_._.2 5AC5AB2co

5、sA5 ，题型二、与三角形面积有关的问题题型二、与三角形面积有关的问题9 9、(2011(2011山东高考山东高考) )在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对的对边分别为边分别为a a，b b，c.c.已知已知求求 的值；的值；若若cosBcosB= b=2,= b=2,求求ABCABC的面积的面积S.S.cosA2cosC2ca.cosBbsinCsinA14，9 9、方法一方法一: :在在ABCABC中，由中，由及正弦定理可得及正弦定理可得即即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosBcosAsinB-2cosCsinB=2sinCcos

6、B-sinAcosB，则则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinBcosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB，sin(A+B)=2sin(C+B)sin(A+B)=2sin(C+B)，而，而A+B+C=A+B+C=，则，则sinC=2sinAsinC=2sinA，即即cosA2cosC2cacosBbcosA2cosC2sinCsinAcosBsinB，sinC2.sinA方法二方法二：在：在ABCABC中，由中，由 可得可得bcosA-2bcosC=2ccosB-acosBbcosA-2bcosC=2ccosB-acosB，由

7、余弦定理可得由余弦定理可得整理可得整理可得c=2ac=2a，由正弦定理可得，由正弦定理可得cosA2cosC2cacosBb222222bcaabc2casinCc2.sinAa222222acbacba2c，由由c=2ac=2a及及cosB= b=2cosB= b=2可得可得4=c4=c2 2+a+a2 2-2accosB=4a-2accosB=4a2 2+a+a2 2-a-a2 2=4a=4a2 2, ,则则a=1a=1，c=2c=2，S=S=即即S=S=1,421115acsinB1 21 cos B224 ，15.41010、在在ABCABC中，中，BC=a, AC=b, a, bBC

8、=a, AC=b, a, b是方程是方程 =0=0的两个根，且的两个根，且2cos(A+B)=1, 2cos(A+B)=1, 求求:(1):(1)角角C C的度的度数数;(2)AB;(2)AB的长度的长度;(3);(3)ABCABC的面积的面积. .2x2 3x2【解析【解析】(1)cosC=cos(1)cosC=cos-(A+B)-(A+B)=-cos(A+B=-cos(A+B)=)=C=120C=120. .(2)(2)由题设：由题设：cc2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcos120-2abcos120 =a=a2 2+b+b2 2+ab=(a+b)+ab=(a+b)2 2-ab

9、=-ab=即即AB=AB=(3)(3)1,2ab2 3,ab22(2 3)210,10.ABC11SabsinCabsin120221332.222 备备考考建建议议在解决三角形问题时还有以下几点容易造成失分在解决三角形问题时还有以下几点容易造成失分, ,在在备考时要高度关注备考时要高度关注: :(1)(1)忘记或不会应用三角形中的隐含条件忘记或不会应用三角形中的隐含条件. .(2)(2)求边、角时求边、角时, ,忽略其范围忽略其范围. .(3)(3)应用正、余弦定理时计算失误应用正、余弦定理时计算失误. .另外另外, ,要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒要熟练掌握正、余弦定理的几种变形

10、和三角恒等变换等变换, ,才能快速正确地解决解三角形问题才能快速正确地解决解三角形问题. .题型三、利用正、余弦定理判断三角形形状题型三、利用正、余弦定理判断三角形形状 1 1、判定三角形形状的两种常用途径、判定三角形形状的两种常用途径通过正弦定理和余弦定理，化边为角通过正弦定理和余弦定理，化边为角, ,利用三角变换得出三角利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；形内角之间的关系进行判断；利用正弦定理、余弦定理，化角为边利用正弦定理、余弦定理，化角为边, ,通过代数恒等变换，求通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断出三条边之间的关系进行判断. .【提醒【提醒】在判断三角形形状时一

11、定要注意解是否唯一，并注重在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件挖掘隐含条件. .另外另外, ,在变形过程中要注意角在变形过程中要注意角A A、B B、C C 的范围对的范围对三角函数值的影响三角函数值的影响. .1111、(2012(2012韶关模拟韶关模拟) )已知已知ABCABC三个内角三个内角A A、B B、C C的对边为的对边为a a、b b、c,c,m=(a,cosB),=(a,cosB),n=(cosA,-b),ab=(cosA,-b),ab, ,已知已知mn. .判断三角形的形状判断三角形的形状, ,并说明理由并说明理由. .【规范解答【规范解答】方法一方法

12、一( (边化角边化角) )mn,mn=0,acosA-bcosB=0.=0,acosA-bcosB=0.由正弦定理知由正弦定理知, (R, (R为为ABCABC外接圆的半径外接圆的半径),),a=2RsinA,b=2RsinB.a=2RsinA,b=2RsinB.sinAcosA=sinBcosB,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B.sin2A=sin2B.A,B(0,),2A=2BA,B(0,),2A=2B或或2A+2B=,2A+2B=,又又ab,AB.A+B=ab,AB.A+B=所以所以ABCABC是直角三角形是直角三角形. .ab2RsinAsinB,2方法二方法二( (角化边角化边) )mn,mn=0.=0.acosA-bcosBaco