第10章材料的超弹性力学行为

1、第10章材料的超弹性力学行为10.1橡胶材料10.2超弹性材料的本构关系10.3橡胶变形力学行为10.4常用橡胶材料的本构关系10.5试验拟合超弹性本构模型系数10.6结论与讨论 目前，世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很目前，世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很多，例如，制造轮胎使用的丁苯橡胶（苯乙烯和丁二烯的共聚多，例如，制造轮胎使用的丁苯橡胶（苯乙烯和丁二烯的共聚物）或乙丙烯橡胶（物）或乙丙烯橡胶（ERP）；用于汽车配件的有）；用于汽车配件的有氯丁橡胶氯丁橡胶及另及另一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶。一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶。 在众多的合成橡胶中，在众多的

2、合成橡胶中，硅橡胶硅橡胶是其中的佼佼者。它具有无味是其中的佼佼者。它具有无味无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏300度和零下度和零下90度时能够度时能够“泰然自若泰然自若”、“面不改色面不改色”，仍不失原有的强度和弹性。例，仍不失原有的强度和弹性。例如生物材料。如生物材料。 橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的具橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的具有弹性、绝缘性、不透水和空气的材料。在半个世纪前，有弹性、绝缘性、不透水和空气的材料。在半个世纪前，“橡橡胶胶”一词是专指生橡胶，它是从热带植物巴西三叶胶的胶乳提一词是专指生橡胶，它是从

3、热带植物巴西三叶胶的胶乳提炼出来的。炼出来的。10.1.1固体橡胶10.1橡胶材料功能：(1)溶胀：橡胶将溶剂吸入体内而形成溶胀状态。(2)填料：橡胶加填料可以提高其强度、刚度和耐磨性。(3)应变诱发结晶：橡胶拉伸至一定程度时，橡胶网链沿拉伸方向作有序排列，有利于形成结晶。超弹性材料超弹性材料 1839年，年，Charle Goodyear发明了橡胶的硫化方法，其姓发明了橡胶的硫化方法，其姓氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标。氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标。 从从19世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而，世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而，橡胶材料的行为复杂，不同

4、于金属材料仅需要几个参数就可橡胶材料的行为复杂，不同于金属材料仅需要几个参数就可以描述材料特性。橡胶材料受力以后，变形是伴随着大位移以描述材料特性。橡胶材料受力以后，变形是伴随着大位移和大应变，其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积和大应变，其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积几乎保持不变。几乎保持不变。 橡胶具有许多特殊的性能，例如电绝缘性、耐氧老化性、耐橡胶具有许多特殊的性能，例如电绝缘性、耐氧老化性、耐光老化性、防霉性、化学稳定性等。光老化性、防霉性、化学稳定性等。超弹性材料超弹性材料 由于计算机以及有限元数值分析的飞速发展，我们可以借助由于计算机以及有限元数值分析的飞速发展，

5、我们可以借助计算机来对超弹性材料的工程应用进行深入研究以及优化设计。计算机来对超弹性材料的工程应用进行深入研究以及优化设计。可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算结果等。结果等。 橡胶是一种弹性聚合物，其特点是有很强的非线性粘弹性行橡胶是一种弹性聚合物，其特点是有很强的非线性粘弹性行为。它的力学行为对温度、环境、应变历史、加载速率都非为。它的力学行为对温度、环境、应变历史、加载速率都非常敏感，这样使得描述橡胶的行为变得

6、非常复杂。橡胶的制常敏感，这样使得描述橡胶的行为变得非常复杂。橡胶的制造工艺和成分也对橡胶的力学性能有着显著的影响。造工艺和成分也对橡胶的力学性能有着显著的影响。固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型 固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于0.5。可逆，可逆，大应变。大应变。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。超弹性材料超弹性材料 常用的橡胶性态可分为常用的橡胶性态可分为固体橡胶固体橡胶和和泡沫橡胶泡沫橡胶。超弹性材料超弹性材料 一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料

7、。弹性泡一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料。弹性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。 泡沫橡胶是由橡胶制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大泡沫橡胶是由橡胶制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大的弹性应变要求，拉伸时的应变可以达到的弹性应变要求，拉伸时的应变可以达到500或更大，压缩或更大，压缩时的应变可以达到时的应变可以达到90或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性相比，泡沫材料的多孔性则允许非常大的体积缩小变形，因此相比，泡沫材料的多孔性则允许非常大的体积缩小变形，因此具有良好的能量吸收性。具有

8、良好的能量吸收性。泡沫橡胶材料的多面体微元模型泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a) 开放腔室，开放腔室，b) 封闭腔室封闭腔室超弹性材料超弹性材料 泡沫橡胶材料的应力泡沫橡胶材料的应力-应变曲线应变曲线 a)压缩压缩 b)拉伸拉伸小应变小应变 5%，线弹性，泊松比为，线弹性，泊松比为0.3 。大应变，压缩时，泊松比为大应变，压缩时，泊松比为0.0； 拉伸时，泊松比大于拉伸时，泊松比大于0.0。图10-1固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型10.1.2泡沫橡胶(1)小应变时(5)，腔室壁弯曲，泡沫变形是线弹性的。(2)在常应力作用下，应变不断增长，呈非线性弹性状态，原因是腔室的边缘柱或腔室壁发

9、生弹性屈曲。(3)最终腔室压溃，引起压应力迅速增加。(4)小应变时(5)的变形是线弹性的，类似压缩时的情形。(5)应变增加时，应力-应变呈非线性弹性，由于腔室壁旋转和有序排列，导致材料刚度提高，在大约1/3拉伸应变时，腔室壁重新排列，材料轴向刚度不断增加。图10-2泡沫橡胶材料的多面体微元模型a)开放腔室b)封闭腔室图10-3泡沫橡胶材料的应力-应变曲线a)压缩b)拉伸10.2超弹性材料的本构关系图10-4一个物体的参考(未变形)和当前(变形)构形a)参考(未变形)构形b)当前(变形)构形超弹性材料超弹性材料 平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形，如应变。如果本构行为仅是变形的当

10、前状态的函数，为与时间无关的弹性本构。而对于接近不可压缩的材料，仅依赖变形（应变）不一定能够得到应力。 储存在材料中的能量（功）仅取决于变形的初始和最终状态，并且是独立于变形（或荷载）路径，称这种弹性材料为超弹性（hyper-elastic）材料，或者为Green弹性，例如常用的工业橡胶。动物的肌肉也具有超弹性的力学性质。这里主要讨论橡胶材料的超弹性力学行为。超弹性材料超弹性材料 EECCS)()(2w 对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（Green弹弹性）材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在（或应变）能量性）材料。超弹性材料的特征是存在一个

11、潜在（或应变）能量函数，它是应力的势能：函数，它是应力的势能： 通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式 TTTwJFEEFFCCFFSF)()(2PFST 由于变形梯度张量由于变形梯度张量F是不对称的，因此名义应力张量是不对称的，因此名义应力张量P的的9个个分量是不对称的。分量是不对称的。 在橡胶大变形中应用在橡胶大变形中应用多项式模型多项式模型和和Ogden指数模型指数模型。100%典型固体橡胶材料单轴拉伸应力典型固体橡胶材料单轴拉伸应力-应变曲线应变曲线 橡胶本构模型橡胶本构模型 10.3橡胶变形力学行为小变形小变形 以多项式形式本构模型为例，

12、其应变能密度表达式为以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为NiiiNjijiijJDIICU12121) 1(1) 3() 3(31I32I1J21201110) 1(1)3()3(JDICICU忽略二阶及二阶以上小量，变为忽略二阶及二阶以上小量，变为弹性常数为弹性常数为 101102),(2DKCCGGKGKGKKGE262339K5 . 0,3GE当当 橡胶本构模型橡胶本构模型 10.4常用橡胶材料的本构关系3211)(AI1332212)(AI3213)(AI0LLx定义伸长定义伸长 工程应变定义为工程应变定义为 10 xxL1xx二阶张量基本不变量二阶张量基本不变量 31I32

13、I小变形，有小变形，有 13I小变形小变形 橡胶本构模型橡胶本构模型 例题例题 在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，应变能密度表达式为应变能密度表达式为3110)3(iiiICU100 461312C = .200 01752C= . 53010818.=C若取若取（单位为（单位为MPa），求材料弹性常数。），求材料弹性常数。 利用公式利用公式解：解：101102),(2DKCCGGKGKGKKGE2623,39解出橡胶的弹性常数为解出橡胶的弹性常数为 ， E=1.384MPa，= 0.5 小变形小变形 橡胶本构模型橡胶本

14、构模型 K 常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基于常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基于热力学统计热力学统计的方法，另一类是基于橡胶为连续介质的的方法，另一类是基于橡胶为连续介质的唯象学唯象学描描述方法。述方法。 热力学统计方法的基础为观察到橡胶中的弹性恢复力主要热力学统计方法的基础为观察到橡胶中的弹性恢复力主要来自熵的减少。橡胶在承受荷载时分子结构无序，熵的减少是来自熵的减少。橡胶在承受荷载时分子结构无序，熵的减少是由于橡胶伸长使得橡胶结构由高度无序变得有序。由对橡胶中由于橡胶伸长使得橡胶结构由高度无序变得有序。由对橡胶中分子链的长度、方向以及结构的统计得到本构关系。

15、分子链的长度、方向以及结构的统计得到本构关系。橡胶本构模型橡胶本构模型 唯象学描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料，唯象学描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料，即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设是用单位体积（弹性）应变能函数（是用单位体积（弹性）应变能函数（U）来描述橡胶特性的基）来描述橡胶特性的基础，其本构模型为多项式形式模型和础，其本构模型为多项式形式模型和Ogden形式模型。形式模型。NiiiNjijiijJDIICU12121) 1(1) 3() 3(典型的典型的本构模型本构模型为多项式形式，其应

16、变能密度表达式为为多项式形式，其应变能密度表达式为特殊形式可以由设定某些参数为特殊形式可以由设定某些参数为0来得到。如果所有来得到。如果所有 0ijC0j则得到减缩多项式模型则得到减缩多项式模型 iNiNiiiiJDICU21010) 1(1)3(21201110) 1(1)3()3(JDICICU对于完全多项式对于完全多项式，如果，如果N1, 则只有线性部分的应变能量，则只有线性部分的应变能量，即即Mooney-Rivlin形式形式橡胶本构模型橡胶本构模型 ，则得到，则得到Neo-Hookean形式形式 对于减缩多项式对于减缩多项式，如果，如果 N121110) 1(1)3(JDICU100

17、%100%Mooney-Rivlin形式和形式和Neo-Hooken形式本构模型形式本构模型（后者是将（后者是将Hooke定律扩展至大变形）定律扩展至大变形）橡胶本构模型橡胶本构模型 Yeoh形式本构模型是形式本构模型是 N3时减缩多项式的特殊形式时减缩多项式的特殊形式 iiiiiiJDICU2313010) 1(1) 3(100%典型的典型的S形橡胶应力形橡胶应力-应变曲线应变曲线 ，C10正值，在小变形时为切线模量；正值，在小变形时为切线模量；C20为负值，中等变形时软化；为负值，中等变形时软化；C30正值，大变形时硬化。正值，大变形时硬化。橡胶本构模型橡胶本构模型 Ogden形式本构模型

18、形式本构模型 Arruda-Boyce形式本构模型形式本构模型 Van der Waals模型模型 JJDIUmln2112332)1ln()3(2232JJDICUiiiimiln211)3(251122212321121(3)(1)iiiNNiiiiiiUJD橡胶本构模型橡胶本构模型 其他形式的本构模型有：其他形式的本构模型有：图10-8二次Ogden形式本构模型图10-9Arruda-Boyce形式本构模型图10-10Van der Waals形式本构模型 橡胶类材料的本构关系除具有超弹性、大变形的特征外，橡胶类材料的本构关系除具有超弹性、大变形的特征外，其本构关系与生产加工过程有直接关

19、系，如橡胶配方和硫化工其本构关系与生产加工过程有直接关系，如橡胶配方和硫化工艺。确定每一批新加工出来的橡胶的本构关系，都要依赖于精艺。确定每一批新加工出来的橡胶的本构关系，都要依赖于精确和充分的橡胶试验。确和充分的橡胶试验。10.5试验拟合超弹性本构模型系数 通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力-应变曲线，应变曲线，这样可以选择出最合适的本构模型以及描述这种模型的参数。这样可以选择出最合适的本构模型以及描述这种模型的参数。 同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力-应变曲线图，应变曲线图，对比试验曲线，

20、由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数。对比试验曲线，由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数。试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数图10-13应力状态的叠加试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数 给出实验数据，应力表达式的系数通过最小二乘法拟合确给出实验数据，应力表达式的系数通过最小二乘法拟合确定，这样可以使得误差最小。即对于定，这样可以使得误差最小。即对于n 组应力组应力-应变的试验数应变的试验数据，取相对误差据，取相对误差E 的最小值，拟合应力表达式中的系数，得的最小值，拟合应力表达式中的系数，得到理论本构模型。到理论本构模型。2thtest11niiiETT按照本构关系与伸长率对应

21、的应力表达式按照本构关系与伸长率对应的应力表达式 实验数据中的应力值实验数据中的应力值 确定材料常数的经验公式确定材料常数的经验公式 试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数0rlog0.01840.4575EH010010110230.05EGCCCC 对于已经成型的橡胶元件，通常不容易通过上述试验来确定对于已经成型的橡胶元件，通常不容易通过上述试验来确定其材料常数。经验公式是通过橡胶的其材料常数。经验公式是通过橡胶的IRHD硬度指标来确定材料硬度指标来确定材料的弹性模量和切变模量，再由材料常数和弹性模量的关系来确的弹性模量和切变模量，再由材料常数和弹性模量的关系来确定材料常数。基本公式为（

22、小应变条件）定材料常数。基本公式为（小应变条件）将得到的材料常数代入将得到的材料常数代入Mooney-Rivlin模型进行计算。模型进行计算。 例子例子 采用氢化丁腈橡胶采用氢化丁腈橡胶H-NBR75，硬度为，硬度为75MPa，解得，解得 08.366MPaE 101.328MPaC010.0664MPaC 由于大型有限元软件的迅速发展，使得复杂的超弹性模型计由于大型有限元软件的迅速发展，使得复杂的超弹性模型计算过程由计算机程序完成，在算过程由计算机程序完成，在ABAQUS等商用软件中给出了具体等商用软件中给出了具体的计算。用户要熟悉如何输入数据文件，根据试验数据拟合和选的计算。用户要熟悉如何输入数据文件，根据试验数据拟合和选用合适的本构模型，如何处理输出结果并检验其是否正确。对于用合适的本构模型，如何处理输出结果并检验其是否正确。对于初学者来说，商用软件是一个初学者来说，商用软件是一个“黑匣子黑匣子”，因此，掌握超弹性材，因此，掌