八年级数学下册第六章平行四边形6.3三角形的中位线导学案(新版)北师大版

1、6.3 三角形的中位线导学案学习目标1. 知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同；2. 理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算一.自学释疑1. 三角形的中位线与中线有什么区别？2. 一个三角形你能作出几条中位线？这些中位线围成的三角形与原三角形比较，其周长和面积有什么关系？二.合作探究探究点一问题 1 :怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形?问题 2:什么是三角形的中位线？ 它与三角形的中线的区别？三角形的中位线有什么 特征？请你说明理由2探究点二问题 1:如图，顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？请你说明理由问题 2

2、:如图所示，在 ABC 中，AB= AC E 为 AB 的中点，在 AB 的延长线上取一点 D,使 BA AB 求证：CD= 2CE.温馨提示：在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题.探究点三问题 1 : 在梯形 ABCD 中, AD/ BC, ADXBC, F, E 分别是对角线 AC, BD 的中点.3求证：EF= ? ( BC-AD.问题 2 :如图， ABC 的周长为 26,点 D, E 都在边 BC 上，/ ABC 的平分线垂直于 AE 垂足为 Q / ACB 的平分线垂直于 AD 垂足为 P,若 BC=10 求 PQ 的长.4强化训练1.

3、如图，在四边形 ABCD 中,P 是对角线 BD 的中点，E,F 分别是 AB,CD 的中点，AD=BC,/PEF=18 ,求/ PFE 的度数.2.如图，在四边形 ABCD 中 ,AB=CD,E,F 分别是 BC,AD 的中点，连接 EF 并延长，分别与 BA,CD的延长线交于点 M,N,则/ BME=/ CNE 不需证明）.小明的思路是：在图中，连接 BD,取 BD 的中点 H,连接 HE,HF,根据三角形中位线定理和 平行线性质，可证得/ BME=/ CNE.问题：如图，在厶 ABC 中,ACAB,D 点在 AC 上 ,AB=CD,E,F 分别是 BC,AD 的中点，连接 EF并延长，与

4、 BA 的延长线交于点 G,若/EFC=60 ,连接 GD,判断 AGD 的形状并证明.图5随堂检测=3，贝 U AC 的长为（C ）3A.2DE= DF1 EF= -AB2SABD= SA ACDD . AD 平分/ BACD. 581.如图，在 ABC 中，D、 E 分别为 AC BC 的中点，AF 平分/CAB 交 DE 于点 F.若 DF2.如图,C D 分别为 EAA .80EB 的中点，/ E= 30, / 1 = 110则/ 2 的度数为90.1103.如图，点 D, E, F 分别为ABC 各边中点，下列说法正确的是4.如图，D, E 分别为 ABC 的AC, BC 边的中点，

5、将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点 P 处.若/ CDE= 48,则/APD 等于 ()A . 4248.526/IP B5 .如图，在厶 ABC 中，/ABC= 90,AB= 8, BC= 6,若DE ABC 的中位线，F 在DE 延长线上， EO EF,则线段DF 的长为（)A. 7B.8C. 9D.106.如图所示，在四边形 ABCD 中, AC= BD, E、F 分别为 AB CD 的中点，AC 与 BD 交于点 O, EF 分别交 AC BD 于 M N.求证：/ 0N 申/OMN.我的收获:8参考答案探究点一 问题 1 操作：(1)剪一个三角形，记为 ABC(2)

6、分别取 AB,AC 中点 D,E，连接 DE(3) 沿。丘将厶 ABC 剪成两部分，并将 ABC 绕点 E 旋转 180,得到四边形 BCFD.四边形 BCFD 是平行四边形问题 2:三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段三角形的中线：连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 几何语言：如图，点 D E 分别是 AB AC 的中点 DE/ BC, DE=? BC已知：如图(1),。丘是厶 ABC 的中位线.求证:DE/ BC,DE=?BC证明：如图(2),延长 DE 到 F,使EF=DE 连接 CF.在厶 ADED C

7、FE 中 AE=CE/ 1 = / 2,DE=FEADEA CFE/ A=Z ECF,AD=CF9 CF/ AB/ BD=AD BD=CF四边形 DBCF 是平行四边形 DF/ BC,DF=BC DE/ BC,DE= ? BC证 2 :延长 DE 至点 F,使 EF=DE 连接 CF, DC, AF/ EF=DEAE=EC四边形 ADCF 是平行四边形 AD/ CF,AD=CF/ AD=DB FC/ BD FC=BD四边形 BCFD 是平行四边形 DF/ BC,DF=BCDE/ BC,DE= ? BC证 3 :过点 E 作 MN/ AB 过点 A 作 AM/ BC四边形 ABNK 是平行四边形

8、/ AM/ BC / M=Z MNC在厶 AEMDA CEN 中/M=ZENC/AEMMCEN ,AE=EC.AEMACEN ME=NE10易证四边形 ADEM 和 BDEN 是平行四边形 DE=AM=NC=BN DE/ BC,DE= ? BC探究点二问题 1 :解：四边形 EFQH 是平行四边形已知：如图，在四边形 ABCD 中, E, F, G H 分别是 AB, BC, CD DA 的中点.求证: 四边形EFGH 是平行四边形.解：EFGH 是平行四边形.理由：如图，连接 AC. EF是厶ABC 的中位线， EF= AC 且 EF/ AC.同理，GH= AC 且 GH/ AC.11 EF

9、/ GH 且 EF= GH.四边形 EFGH 为平行四边形.问题 2:证明：取 AC 的中点 F,连接 BF./ BA AB, BFADC 的中位线， DC= 2BF. E 为 AB 的中点，AB= AC BE=CF,ZABC=ZACB./ BC= CBEBCAFCB. CE= BF, CD= 2CE.探究点三问题 1证明：方法一：如图所示，连接 AE 并延长，交 BC 于点 G.12TAD/ BC,/ADENGBE/EAD 玄 EGB又 E 为 BD 中点， AEDAGEB BG=AD AE=EG在厶 AGC 中, F, E 分别是对角线 AC BD 的中点 F、E 是厶 AGC 的为中位线

10、,1即 EF=1( BC-AD .2 GD=CB GE=CE111 EF=丄 GA=- (GD-AD =丄222即 EF=1( BC-AD .2问题 2 解：TBQ 平分/ ABC BQLAE, BAE 是等腰三角形。同理 CAD 是等腰三角形。点 Q 是 AE 中点，点 P 是 AD 中点（三线合一） PQ ADE 的中位线。 EF/ BC, EF=1GC=21(BC-BG =1(BC-AD,2方法二：如图所示，设 E 为 BD 中点，AD/ BC,易得在厶 CAG 中，TE, F 分别为 CGCA 中点,(BC-AD),CEGEDACEB4.B13/ BE+CD=AB+AC=26BC=26

11、- 10=16, DE=BE+CD BC=61 PQ=丄 DE=3.2强化训练1. 解：/ PF 是厶 DBO 的中位线,PE 是厶 BAD 的中位线， PF=BC,PE=AD./ AD=BC, PF=PE, / PFE=/ PEF=182. 解：AGD 是直角三角形证明如下：如图，连接 BD,取 BD 的中点 H,连接 HF,HE./ F 是 AD 的中点, HF/ AB,HF=AB, / 1=/ 3.同理 HE/ CD,HE=CD, / 2=/ EFC./ AB=CD/. HF=HE/-Z1=/2./ EFC=60，/ 3= / EFC 玄 AFG=60 , AGF 为等边三角形./ AF=FD/.GF=FD/-ZFGD/FDG=30, / AGD=90 ,即厶 AGD 是直角三角