高中数学选修2-1优质学案9：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

1、高中数学选修 2-1 学案3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1. 了解空间向量基本定理及其意义.2. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(重点 )3. 掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法.(难点 )基础初探教材整理 1 空间向量基本定理如果三个向量a, b, C不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x, y, z,使得P其中a，b， c叫做空间的一个 ， a， b， C都叫做基向量.预习自测判断(正确的打“”错误的打“X”)(1) 若a, b, c为空间一个基底，则 a, b,2c也可构成空间一个基底.()(2) 若a, b, c为空间一

2、个基底，且 P = xa+ yb+ zc.若 P = 0,贝U X = y= Z= 0.()(3) 若三个非零向量a, b, C不能构成空间的一个基底，贝Ua, b, C共面.()教材整理 2 空间向量的正交分解及其坐标表示1. 单位正交基底有公共起点 O 的三个 e1， e2， e3 称为单位正交基底 .2. 空间向量的坐标表示以e, e2, es的公共起点O为原点，分别以 的方向为X轴，y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.对于空间任意一个向量p,定可以把它平移，使它的起点与原点 O重合，得到向量OP = P,由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x, y, z,使得.把x, y

3、, Z称作向量P在单位正交基底 e1, e2, e3 下的坐标,记作 .预习自测判断(正确的打“”错误的打“X”)(1)以原点O为起点的向量OP的坐标和点P的坐标相同.()若OP= (2,3,0),则点P在平面XOy内.()若OP= (0,0,1),则点P在Z轴的正半轴上.()(4) 设e, e2, e3是空间向量的一个单位正交基底，a = 2e 3e2 + 7e3,贝U a = ( 2,3,7).()合作探究高中数学选修 2-1 学案类型 1 基底的概念与判断例1设X = a + b, y= b + c, Z= c+ a,且a, b, c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x,x，y，

4、z,b，C，z,x，y，a+ b+ c.其中可以作为空间一个基底的向量组有 ()A.1 个B.2 个C.3个D.4 个名师指导1. 判断一组向量能否作为空间向量的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面， 若不共面，就可以作为一个基底 .2. 判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.跟踪训练 1. 已知ei， e2， e3为空间一基底，且 OA = e + 2e2 e3， OB = 3e+ e2+ 2e3， OC = e + e2 e3,能否以OA，OB，OC作为空间的一个基底？类型 2

5、 空间向量基本定理的应用例2 四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO丄平面 OABC ,设OA = a，OC = b，OP= C，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，C表示BF，BE，AE，F.名师指导1. 本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法3高中数学选修2-1学案11则和公式等，再对照目标及基底a, b, c,将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止 2基向量的选择和使用方法 尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底(2)用基向量表示一个向量时， 如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法,否则考虑减法；如果

6、此向量与一个易求的向量共线，可用数乘 跟踪训练2点P是矩形ABCD所在平面外一点，且 PA丄平面ABCD，M，N分别是PC, PD上的点,且PM = IPC, PN = ND ,则满足MN = xAB+ yAD + ZAP的实数X, y, Z的值分别为()32 1 13，6，62B.3,1 16，6探究共研型探究点空间向量的坐标表示探究1在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AABC的边长为1 ,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系探究2用坐标表示空间向量的步骤是什么?例3 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面AABC中，CA = CB= 1 , BCA = 90 °棱A

7、A1 =2 , M , N分别为A1B1 , A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN , B1 , AB的坐标.名师指导在空间坐标系中确定向量坐标的方法，用坐标形式表示向量需解决两个问题：一是恰当建立空间直角坐标系， 通常选取互相垂直的直线为坐标轴，顶点或中点为原点； 二是正确求出向量的坐标确定向量的坐标一般有两种方法：运用基底法，即把空间向量正交分解，用相互垂直的三向量为一组基底表达某一向量，进而得坐标；运用投影法，求出起点和终点坐标.跟踪训练3. 已知正方体 ABCD-AIBiCiDi的棱长为2，E, F分别为棱 BBi，DC的中点，如图3-1-28所 示建立空间直角坐标系.（1）写出

8、各顶点的坐标；写出向量EF，BF，AE的坐标.课堂检测1.在正方体ABCD-AI B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是（）a.Ab, Ac, ADB.AB，BC1, AGC.AB1, A1, CDD.AB，AD, C1a= i + j, b=j + k, C= k + i ,则点 A 在2. 已知点A在基底a, b, c下的坐标为（8,6,4）,其中基底i, j, k下的坐标为（）A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,10,12)D.(4,2,3)3. 三棱锥 P-ABC中， ABC为直角，PB平面 ABC, AB= BC = PB= 1, M为PC的中点,N为

9、AC的中点，以BA, BC, BP为基底，则MN的坐标为4. 如图，已知 ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，E, F分别是BB1和DC的中点，试找空间的基底，并写出向量 EF, BF, AE在此基底下的坐标.基础初探教材整理1参考答案空间向量基本定理答案xa+ yb+ ZC 基底预习自测答案教材整理2空间向量的正交分解及其坐标表示1. 答案两两垂直的单位向量2. 答案 e, e2, e3 P= xe + ye2+ ze3 P= (x, y, Z)预习自测答案 (2) (3) (4) 合作探究类型1基底的概念与判断例1答案C解析如图所示，令a= AB, b = AA1, C= AD

10、,则 X= AB1, y = AD1, Z= AC,a+ b + C= AC1.由于A, B1, C, D1四点不共面，可知向量 X, y, Z也不共面，同理 b, c, Z 和x, y, a+ b+ C也不共面，故选 C.跟踪训练1.解：假设0A, OB , OC共面，根据向量共面的充分必要条件有：OA= XOB + yOC ,即 e1 + 2e2 e3= x( 3e1+ e2+ 2e3)+ y(e1 + e2 e3)=(3x+ y)e1 + (x+ y)e2+ (2x y)e3.3x+ y= 1, x+ y= 2,此方程组无解.2x y= 1, OA, OB, OC不共面，- -OA, O

11、B, OC可作为空间的一个基底.类型2 空间向量基本定理的应用1 1 1 1 1 1例 2 解：连接 BO,则BF = 2BP= 2(BO+ OP)= ?(BA + AO+ OP)= ?(c b a) = "a ?b +1 y 1 1 ；1 12c.BE = BC + CE = a+ 尹=a+ (CO + OP)= ab+ 尹- - - - - 1 - - 1 11 AE = AP+ PE = Ao + OP+ 尹0 + OC)=- a + c+ 空(c+ b)= a+ qb+ qc. 1 1 1 EF = qCB = qOA= qa.跟踪训练 2.答案D 解析如图所示，取PC的中点

12、E,连接NE,则MN = EN EM = ICD (PMl-PI)= 1CD 2PC 1PC=IClD 6pc = AB !( AP+ Ab+ AD) = IAB AD + *AP,比较知 X=2 1 y 3, y 6'Z=1 ,故选D.6探究共研型探究点空间向量的坐标表示探究1【提示】方向为X轴、y轴、B1C1的中点D, D1,以D为原点，分别以DC , DA, DDI的 Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.分别取BC,探究2【提示】用坐标表示空间向量的方法步骤为: 直 的三推a域征建宣空闵 XJ¾M宅向* 的坐标例 3 解：I CC1 AC, CC1 BC, AC丄

13、BC,且 CA= CB = 1, CCl 2,二以 CA, CB, CCI为单位正交基底建立空间坐标系Cxyz,如图所示,-1 -cb + 2CC1- - - 1 - - - -. BN = AN- AB= gCC + CA- CB = CA .BN的坐标为(1,- 1,1), 而 BA1 = CA CB = CA CB + CC1 .BXI的坐标为(1 , - 1,2).又 A-B=- BA1,. A-B的坐标为(一1,1,- 2).跟踪训练3解：(1)设X轴，y轴，Z轴的单位向量分别为i, j, k.因为正方体的棱长为2,所以 DA = 2i ,DC = 2j,DD1 = 2k.因为 D(

14、0,0,0),所以 A(2,0,0) ,C(0,2,0),D1(0,0,2).又因为 DB = DA + DC = 2i + 2j ,所以 B(2,2,0).同理可得，A1(2,0,2), B1(2,2,2), C1(0,2,2).因为E, F分别为棱BB1, DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1), F(0,1,0).所以 EF = (-2,- 1,- 1), B-F= ( 2,- 1,- 2), A-E= (0,2 , - 1).课堂检测1. 答案D解析由条件知，AB, Ab , CCI不共面，故选D.2. 答案A解析8a + 6b + 4c= 8(i + j) + 6(j + k) + 4(k + i) = 12i + 14j + 10k,点 A 在i , j , k下的坐标为(12,14,10).1 13. 答案2 , 0, 2 解析MN = BN - BM1 1 =2(BA + BC