2019年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准(B卷)

1、2019 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1.1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分2.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，1010 分为一个档次，不要增加其他中间档次。ND二MD，故 DMNDMNs DCBDCB，于是/ DMN DCB，所以 BCBC / MNMN，故 OKOK 丄 BCBC,BD DC即 K K 为 BCBC 的中点，矛盾！从而A, B,D,C四点共圆. .注 1 1:PK2= =P P 的幕（关于OO O） K K 的幕（关于O0 0） ”的证明：延长 PK

2、PK 至点 F F，使一、（本题满分 4040 分）如图，锐角三角形 ABCABC 的外心为 O O, K K 是边 BCBC 上一点（不是边 段 AKAK 延长线上一点，直线 BDBD 与 ACAC 交于点 N N, ,直线 CDCD 与 ABAB 交于点 则 A A, B B, D D, C C 四点共圆.证明：用反证法.若 A A, B B, D D, C C 不四点共圆，设 三角形 ABCABC 的外接圆与 A AD D交于点 E E,连接 BEBE 并延长交ANAN 于点 Q Q,连接 CECE 并延长交直线 AMAM 于点 P P,连接BCBC 的中点），D D 是线M M .求证

3、：若 OKOK 丄 MNMN ,直线PQPQ.因为PKP P 的幕（关于OO O）- - K K 的幕（关于OO O）2 2 2二PO-rKO -r同理所以PO2-PK -QO-Q,KOK丄PQ.由题设,OKOK 丄 MNMN，所以 PQPQ / MNMN，于是AQ AP由，可得QNP定理，得NBDEBDEAMCDECDEANB MCBD CD,（3030 分）所以（4040 分）PK KF = AK KE,则 P P, E E, F F, A A 四点共圆，故PFE = . PAE = . BCE,从而 E E, C C, F F, K K 四点共圆，于是PK PF = PE PC,2- -

4、，得PK =PE PC - AK KE= =P P 的幕（关于OO O） K K 的幕（关于OO O）.注 2 2 :若点 E E 在线段 ADAD 的延长线上，完全类似.（本题满分 4040 分）设m和n是大于 1 1 的整数，求证：1mk k.nim2m川n丄n Dsn “ cmr iJ）m +1 lkmJ=Ii = im +证明：由（q 7）m1得到0m（q 1）m1-qm1八Cm0分别将 q =1,2,川,n 代入上式得：m2m1T八cm.!,J =0mm 1 m 13-2= Cm i2 ,J mANnm1-（nl）m1八况1（n-1）J,02m(n1)m1-nm1八 nj.j=o将上

5、面 n 个等式两边分别相加得到:mn(n 1)m1一 1 八心1、ij),j =0i4m_1(n 1)(n 1)m一 1 工 n (ij)(m 1 尸j4i二222 222. x2- xy y(x -xy y )x y (x -xy y ) xy xy _ (20(20 分)1m mm12nm + 1mknkz1(n +1返CmJn|(Cmi)j=1i=1(40(40 分)、(本题满分 5050 分)设x, y, z为非负实数，求证:(xy丫zx)3乞(x2- xy y2)(y2- yz z2)(z2-zx x ) _ (2、.，x2y2z2、3证明：首先证明左边不等式因为x2_xy+ y2=

6、 (x + y)2+3(x_y) (x + y), ,244同理，有y2- yz z2_ 丄(y z)2z2- zx x2_1(z x)2；44(10(10 分)2 2 2 2 2 21(xw+y )y一心zx+ x鴛曲皿x()12(x y z )xy yz zx Txyz; ; 64(20(20 分)1由算术- -几何平均不等式，得xyz (x y z)(xy yz zx)，所以92 2 2 2 2(x -xy y ) (y yz z p( _zx x2x ( y z xy (yz zx=丄(x2+ y2+ z2+ 2xy 十 gz 十 zx xy 十 yz + zx2)( 81左边不等式获

7、证，其中等号当且仅当x = y = z时成立 下面证明右边不等式. .根据欲证不等式关于x, y, z对称，不妨设 x x y - z, ,于是(z2_ zx x) ( y y z2z 込2x y所以(x2xy y)(y_yz2z(2z zx2) (2x运用算术- -几何平均不等式，得xy + yz十 ZX)3xy2) y(30(30 分)(40(40 分)2 .xy)2xy2 2 22 22 2 2 2x -xy y xy2肿y x y3.x y z3-( )()-( ). .2 2 2 2右边不等式获证，其中等号当且仅当x, y,z中有一个为 0,0,且另外两个相等时成立四、(本题满分 5

8、050 分)1设 k k 是给定的正整数，r =k1.记f(r) = f(r) = r r，f(r) =f (f 2)(r),丨丄2.证明：存在正整数 m m,使得f(m)(r)为一个整数.这里，x表示不小证明：记V2(n)表示正整数 n n 所含的 2 2 的幕次.则当m=V2(k)1时，f(m)(r)为整数.F面我们对v2(k)二v用数学归纳法.整数.假设命题对v-1(v_1)成立.对于v _1，设 k k 的二进制表示具有形式k =2 :-v.1 2v :v.2八山,这里，= 0或者 1 1,v 1, v 2川1.k2-2v4Gv11） 2v（v1 = 2）2v1川-22vIII21=k -,（4040 分）2这里=2vJCv11） 2v- Cv:v-2）2v1 |l22v71显然k中所含的2的幕次（5050 分）当v =0时，k k 为k 1为偶数,此