第八章无穷级数 - 副本

1、第八章 无穷级数本章知识结构导图 §8.2 常数项级数 一、常数项级数的概念在初等数学中知道: 有限个实数相加, 其结果是一个实数. 本章将在这个基础上继续推广, 讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其有关特性. 1、 定义： 【定义 1】 设有一个无穷数列 , 则称 (1)为常数项级数或无穷级数（也常简称级数）, 其中称为常数项级数(1)的通项. 常数项级数(1)也常写作 或简单写作. 作常数项级数(1)的前项之和称为级数(1)的第个部分和, 也简称部分和. 当依次取时, 它们构成一个新的数列: . 【定义2】 若常数项级数(1)的部分和数列收敛于（即）, 则称常数项级数(1)

2、收敛, 称为常数项级数(1)的和, 即或; 若部分和数列是发散的, 则称常数项级数(1)发散. 【例1】 判断以下级数是否收敛, 若收敛求出其和. (1) (2) 【解】 (1) 这个级数的部分和为 , 显然有, 因此所给级数是发散的. (2) 由于这个级数的部分和为,从而 .故这个级数是收敛的, 它的和是1. 【例2】 讨论几何级数（也称为等比级数）:的敛散性.【解】 作,若, 则.下面考虑的问题: 若, 即当时, , 则; 若, 即当时, , 故不存在; 若, 当时, , 故不存在; 若, 当时, , 故不存在; 综上所述, . 注1 当级数收敛时, 其部分和是级数的和的近似值, 它们之间

3、的误差为: 叫做级数(1)的余项. 注2 级数与数列极限有着紧密的联系. 给定级数, 就有部分和数列; 反之, 给定数列, 就有以为部分和数列的级数其中 . 因此, 级数与数列同时收敛或同时发散, 且在收敛时, 有, 即. 基于级数与数列极限的这种关系, 我们不难根据数列极限的性质推出下面有关级数的一些性质. 2、 性质【性质 1】 若级数与分别收敛于和, 为常数, 则由它们的项的线性组合所得到的级数也收敛, 且, 即其和为. *【证】 设的部分和是, 的部分和为, 则有则级数的部分和为 所以. 这就表明级数也收敛, 且其和为. 【性质 2】 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性

4、. *【证】 我们只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项, 不会改变级数的敛散性”, 则其他情形可以类似证明. 设将级数的前项去掉, 则得到级数于是新得到的级数的部分和为, 其中为原级数的前项的和. 由于为常数, 所以当时, 与或者同时具有极限, 或者同时没有极限. 同理可以证明在级数的前面加上有限项, 不会改变级数的收敛性. 注3 由此可见, 一个级数是否收敛与级数前面有限项的取值无关. 但是对于收敛级数来说, 去掉或增加有限项后, 级数的和一般是发生了变化的. 【性质3】 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变级数的收敛性, 也不改变它的和. 注4 需要注意的是, 从级数加括号后的收敛

5、性, 不能推断它在未加括号前也收敛. 例如, 收敛,但级数却是发散的. 【性质4】 （收敛级数的必要条件）: 若级数收敛, 则有. *【证】 设级数收敛, 其和为, 显然 于是. 注5 性质4的逆命题是不成立的. 即有些级数虽然通项趋于零, 但仍然是发散的. 【例3】 证明调和级数 是发散的. *【证】 这里调和级数虽然满足推论的结论, 即, 但是它是发散的. 我们用反证法来证明. 假设级数(2)收敛, 设它的第个部分和为, 且 , 显然, 对级数(2)的第个部分和为, 也有. 于是 . (3) 但是 .故与(3)式矛盾, 则假设不成立, 说明原级数发散. 注6 性质4的逆否命题是成立的. 即

6、如果, 则必定发散. 例如, 级数, 它的通项, 因此该级数发散. 二、正项级数收敛性判别法一般的常数项级数, 它的各项可以是正数、 负数或者零. 现在我们先讨论各项都是正数或零的级数, 这种级数称为正项级数. 下面我们讨论正项级数 , 其中. （1）设其部分和为, 显然部分和数列是单调增加的, 也就是: 从而只有两种变化情况: 1) 无限增大, 于是不存在;2) 存在一个正数, 使得. 此时, 根据数列极限存在准则, 存在.对于情况1)表明级数(1)发散; 对于情况2)表明级数是收敛的. 因此正项级数是否收敛只要判定是否存在一个正数, 使得就行了. 【定理1】 比较判别法设和是两个正项级数,

7、 如果存在某正数, 对一切, 都有 , 那么: (1) 若级数收敛, 则级数也收敛;(2) 若级数发散, 则级数也发散.注7 比较判别法的特点就是要找出合适的级数来比较. 【例4 】 判断以下正项级数的敛散性. (1) (2) 【解】 (1) 由于, 而几何级数是收敛的, 则有比较原则知: 收敛. (2)由于, , 而调和级数是发散的, 则也发散. 则由比较判别法知也发散. 【例5】 判断下列级数的敛散性. (1) (2)【解】 (1) 由于, 而是收敛的, 故也收敛. (2) 由于. 而发散, 故也发散. 【例6】 讨论-级数1+的敛散性.【解】 当 时, , 由于调和级数发散.由比较判别法

8、, 当1时, 该级数是发散的.当时, 按顺序把该级数的1项、2项、4项、8项括在一起. (4) 它的各项显然小于下列级数的各项.即 (5) 而后一个级数是等比级数, 其比 , 所以级数(5)收敛. 于是根据级数收敛的比较判别法, 当时, 级数(4)收敛, 而级数(4)是正项级数, 所以加括号不影响其敛散性, 故原-级数收敛.综上所述, -级数当时, 发散; 当时, 收敛. 注8 -级数是一个用处很广的级数, 要牢记它的敛散性.【定理2】 比式判别法若为正项级数, 且 则: (1) 当时, 级数收敛;(2) 当或时, 级数发散;(3) 当时, 级数可能收敛也可能发散. (证明略) 【例7】 判断

9、下列级数的敛散性. (1) (2) (3) 【解】 (1) 由于, 由比式判别法知, 原级数收敛. (2) 由于, 故由比式判别法知: 当时, 收敛; 当 时, 发散; 当 时, 发散. (3) 由于 .故原级数发散. *【定理3】 根式判别法设为正项级数, 如果, 则有(1) 当时, 级数收敛; (2) 当时, 级数发散; (3) 当时, 级数可能收敛也可能发散.(证明略)【例8】 讨论级数的敛散性. 【解】 由于 , 所以原级数是收敛的. 注9 凡能由比式判别法判别敛散性的级数, 它也能用根式判别法判断. 因而可以说根式判别法比比式判别法更有效. 事实上当时, 则必有. 例如, 级数, 由

10、于 , 而 ,故由比式判别法无法判别此级数的敛散性. 但是用根式判别法考察这个级数: , 且 .故知原级数是收敛的. 注10 一般地, 当为乘积式时多用比式判别法, 当为乘方形式时多用根式判别法. 上面我们讨论了正项级数的三个判别法则. 比较判别法则需找一个已知收敛或发散的级数作参照, 而比式判别法与根式判别法不需要其它参照级数, 就其级数本身的特点进行判定, 这是它的优点, 缺点是当极限（或）时, 判别法失效, 需用其它判别法判别. 总之, 在具体使用这三个判别法时, 可根据所给级数的特征而灵活选择判别法进行判定.三、 任意项级数、绝对收敛和条件收敛【定义】 若级数的各项符号正负相间, 即

11、(6)则称(6)为交错级数. 【定理】 莱布尼兹判别法设交错项级数满足条件: (1) 即数列单调递减; (2) ; 则交错级数(6)是收敛的, 且它的和. 三、 任意项级数、绝对收敛、条件收敛【定义】 (1)若级数的各项的绝对值所组成的级数收敛, 则称原级数绝对收敛. (2) 若级数收敛, 而级数发散, 则称原级数条件收敛. 注11 全体收敛级数可以分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类. 注12 由级数的条件收敛可知: 若级数发散, 则未必发散. 注13 绝对收敛的级数一定收敛. 【例9】 讨论级数的收敛性. 【解】 由 得 .而级数收敛, 故由比较原则知收敛, 再由定理12.10知原级数收敛

12、, 并且为绝对收敛. 【例10 】 判断下列级数是否收敛, 若收敛, 是否为绝对收敛. (1) ; (2) ; (3) . 【解】 (1) 为交错级数, , , 故且由莱布尼兹判别法知原级数收敛. 但由于发散, 故原级数为条件收敛. (2) 由于, 而为收敛级数, 故原级数收敛, 并且为绝对收敛. (3) , , 且故, 根据莱布尼兹判别法, 知原级数收敛. 又因为 , 而级数发散, 由比较原则知级数发散. 故原级数为条件收敛. 幂级数 前一节讨论的级数其每一项都是常数, 称之为常数项级数. 还有一类级数, 其每一项都是函数的级数, 称之为函数项级数. 本节将讨论由幂函数列所产生的函数项级数.

13、 一、 幂级数的概念与性质1. 幂级数的概念及其收敛性【定义5】 形如 (8) 的级数称为幂级数, 其中都是常数, 称为幂级数的系数, 称为幂级数的通项, 称为在处的幂级数, 它是(8)的一般形式. 在(7)中, 只要令, 就可把(7)转化成(8)式, 所以不失一般性, 我们着重讨论幂级数(8)的收敛性问题. 观察发现, 任何一个幂级数在处肯定是收敛的. 对于每一个确定的实数, 幂级数(8)成为常数项级数. (9) 这个级数可能收敛, 也可能发散, 如果收敛, 则称点是幂级数(8)的收敛点; 如果发散,则称点是幂级数(8)的发散点, 幂级数(8)的所有收敛点的全体组成的集合称为它的收敛域, 将

14、之记作. 所有发散点的全体组成的集合称为它的发散域, 在收敛域上, 幂级数的和是的函数, 通常称为幂级数的和函数. 其定义域就是级数的收敛域, 并记为. 我们已经知道, 幂级数可以看作是一个公比为的几何级数, 根据前面的讨论, 当时, 该级数收敛于; 当时, 该级数发散, 因此这个幂级数的收敛域是一个区间, 在收敛域内取值, 则有 , 由此我们可以看到, 这个幂级数的收敛域是一个区间, 事实上, 还有许多这样的例子, 因此, 我们猜测这个结论对一般的幂级数都是成立的. 事实上, 有如下结果: 【定理】 如果幂级数不是仅在处收敛, 也不是在整个上都收敛, 则必有一个确定的正数存在. 使得 (1)

15、 当时, 幂级数收敛; (2) 当时, 幂级数发散; (3) 当和时, 幂级数可能收敛, 也可能发散. （证明略） 这里的正数通常叫做幂级数(8)的收敛半径, 开区间叫做幂级数(8)的收敛区间, 再由幂级数在处是否收敛来决定它的收敛域. 注14 如果幂级数(8)只在处收敛, 此时收敛域只有一点, 为方便起见, 规定它的收敛半径为; 如果幂级数(8)对一切都收敛, 则规定收敛半径, 此时收敛域是. 下面的定理给出了一种求收敛半径的方法: 【定理 】 如果幂级数的相邻两项的系数满足条件: ,则就是的收敛半径. 注15 在前一节中, 用常数项级数的比式判别法去判断其收敛性时, 是后项与前项的比值,

16、而该定理考虑收敛半径是系数数列的前项与后项的比值. 【例 11】 求下列幂级数的收敛半径和收敛域. (1) (2) 【解】 (1) , 故收敛半径.当时, 原幂级数成为调和级数 是发散的. 当时, 原幂级数成为 这是一个交错级数, 根据莱布尼兹判别法知, 是收敛的. 因此收敛域为. （2）.故收敛半径, 即原幂级数仅在处收敛. 【例 12】 求幂级数的收敛半径和收敛区间.【解】 故收敛半径, 收敛区间为.*【例 13】 求幂级数的收敛域.【解】 令, 则原幂级数变为.则 所以收敛半径为, 收敛区间为, 即.当时, 原级数成为, 发散;当时, 原级数成为, 收敛.因此原级数的收敛域为.2幂级数的

17、性质设幂级数 (9) 的收敛区域为, 和函数为, 即又设幂级数 (10)的收敛区域为, 和函数为, 即, 则幂级数有如下一些性质: 【性质1】 两个幂级数在公共的收敛区域内, 其和或差也是收敛的, 并和函数为相对应的两个和函数的和与差. 即 设, 则, .【性质2】 两个幂级数在其公共的收敛区域内, 其积仍为收敛幂级数, 并且和函数为对应的两个和函数之积. 即设, 则 , .【性质3】 幂级数(9)在其收敛域内可以逐项求导, 而且求导后的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即, 注16 若幂级数的收敛半径为, 则它的和函数在区间内其有任意阶导数.【性质4】 幂级数(9)在收敛区域内可以逐

18、项积分, 而且积分后所得的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即.【例14】 求幂级数的和函数. 【解】 ,当时, 原级数成为是收敛的; 当时, 原级数成为调和级数是发散的.故收敛域为. 设从而.两边对求导, 得右边级数是公比为的几何级数, 所以.根据性质4, 两边同时从到积分得: 即.二、函数的幂级数展开前面我们讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质. 但在许多应用中, 我们遇到的却恰好是相反的问题: 给定函数, 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”? 就是说, 是否能找到这样一个幂函数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定函数. 如果能找到这样的幂级数, 则认为, 函数在该区

19、间内能展开成幂级数, 而这个幂级数在该区间内就表达函数. 1 泰勒级数在前面导数应用部分的泰勒中值定理中知道: 若函数在点的某邻域内存在直到阶的连续导数, 则在的邻域内, 可以用次多项式: 来近似代替. 【定理1】 如果函数在处存在任何阶的导数, 这时称形式为: (11)的级数为函数在的泰勒级数. 也称(11)式右端为在处的泰勒（Tayor）展开式, 或称幂级数展开式. 特别地, 当时, 我们称级数为麦克劳林级数. 【定理2】 设函数在点的某个邻域内可以展开成幂级数, 则幂级数是唯一的. 注17 若为幂级数在收敛区间上的和函数, 则就是在上的泰勒展开式. 2初等函数的幂级数展开式 为方便起见,

20、 我们仅讨论麦克劳林展开式, 即时的情况, 以下是几个基本初等函数的麦克劳林展开式. (1) 求函数的展开式. 【解】 由于 , 则 （） 收敛半径为.(2) 求函数的展开式. 【解】 , 令, 知 , .则 .同理可得: 在内有: . (3) 讨论二项式函数的展开式. 【解】 当为正整数时, 由二项式定理可直接展开, 就得到的展开式. 下面讨论不等于正整数时的情形. 此时, , , 于是, 的麦克劳林级数是: (12)收敛区间为. 对于收敛区间端点的情形, 它与的取值有关. 其结果如下: 当时, 收敛域为. 1) 当时, 收敛域为. 2) 当时, 收敛域为. 3) 当(12)式中时就得到 ,

21、 (13)4） 当时得到. (14)一般来说, 只有少数比较简单的函数, 其幂级数展开式能直接从定义出发求出. 更多的情况是从已知的展开式出发, 通过变量代换, 四则运算或逐项求导、逐项求积等方法, 间接的求出函数的幂级数展开式. 【例15】 求和的展开式. 【解】 将代入(13)式中可得: (15) 将代入(14)式中可得: (16)对(15)、(16)分别逐项求积可得函数与的展开式: 【例16 】 求非初等函数的幂级数展开式. 【解】 以代替展开式中的, 得到 再逐项求积就得到在上的展开式【例17】 将函数展开成的幂级数. 【解】 由于 .且有 , , 所以 .*【例18】 将函数展开成的

22、幂级数. 【解】 , 而 ; .故 . 一、常数项级数1. 常数项级数的基本概念级数定义 设给定数列, 把形如的式子称为常数项级数, 简称级数, 其中第项称为级数的通项（或一般项）.设级数的前项和为则称为级数的前项部分和, 简称部分和.若部分和数列的极限存在, 即(常数), 则称为无穷级数的和, 记作.此时称级数收敛, 如果没有极限, 则称级数发散, 这时级数没有和.2. 常数项级数的性质【性质1】 若收敛于, 收敛于, ,为常数, 则也收敛, 且.【性质2】 若级数收敛, 则.注意 性质2是级数收敛的必要条件, 如果级数的一般项不趋于0, 级数一定发散; 如果级数的一般项趋于0, 级数可能收

23、敛也可能发散.3. 正项级数及其收敛性若常数项级数的一般项, 称级数为正项级数.(1) 比较判别法设和是两个正项级数, 若, 则(a) 当收敛时, 也可收敛;(b) 当发散时, 也发散.(2) 比式判别法若正项级数 的后项与前项之比的极限等于, 即，则(a) 当时, 级数收级; (b) 当时, 级数发散; (c) 当时, 无法判断.4. 几个常见级数敛散性的重要结论 (1) 调和级数是发散的.注意 是收敛的.(2) 几何级数（也称等比级数）当时, 级数收敛, 且;当时, 级数发散. (3) 级数: 当时发散;当时收敛.5. 交错项级数若级数的各项符号正负相间, 即则称此级数为交错项级数, 其中

24、莱布尼兹判别法: 若交错级数, 满足条件(1) (2) 则级数收敛, 且其和.6. 绝对收敛与条件收敛如果级数的各项可以取任意数, 则称为任意项级数.(1) 若绝对值级数收敛, 则级数必然收敛.(2) 若级数收敛, 则称原级数绝对收敛, 若级数发散, 但级数收敛, 则称级数为条件收敛. 二、幂级数1. 幂级数的概念形如的级数称为幂级数, 其中称为幂级数的系数.2. 幂级数的收敛半径和收敛域及其求法若, 其中是幂级数相邻两项的系数, 则即是幂级数的收敛半径, 区间称为幂级数的收敛区间; 时, 幂级数可能收敛也可能发散.3. 幂级数的性质设幂级数的收敛区域为, 和函数为, 又设的收敛区域为, 和函数为. 【性质1】 设, 则;【性质2】 设, 则;【性质3】 幂级数在内可以逐项求导, 且求导后所得的幂级数的收级半径与原级数的收敛半径相同, 即;【性质4】 幂级数在收级区域内, 可以逐项积分, 且积分后所得的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即. 4. 函数的幂级数的展开式(1) 泰勒级数与麦克劳林级数若在的某邻域内具有各阶导数, 则称为在处的泰勒级数.若, 则有称此级数为函数的麦克劳林级数. (2) 一些常见函数的幂级数展开式; ; ; ;(3) 利用一些已知函数的展开式, 根据函数的