MATLAB数值计算

1、MATLABMATLAB的数值计算Matlab的数据类型o 变量 变量不需要事先声明，也不需要指定变量类型，它会自动根据所赋予变量的值或对变量的操作来确定变量的类型；赋值过程中，如果变量已存在，则用新值代替旧值，以新的类型代替旧的类型。 变量的命名规则：l 变量名区分大小写；l 变量名长度不超过31位，第31位之后的字符被忽略；l 变量名以字母开头，变量名中可以包含字母、数字、下划线，但不能使用标点。 变量一般为局部变量，即仅在其调用的M文件内部有效；若要定义全局变量，须在变量前加关键字global。o 常量 matlab中预定义的一些特殊的量。 i,j 虚数单位Realmin 最小的正浮点数

2、， pi 圆周率Realmax 最大的浮点数， eps 浮点运算的相对精度Inf 无穷大 NaN not a number ，不定值 例如：pians = 3.14161102221023252101/0Warning: Divide by zero.ans = Inf0/0Warning: Divide by zero.ans = NaNo 定义变量时应避免与常量名相同，如果改变了某个常量的值，可以用clear命令来恢复。pi=1pi = 1clear pipians = 3.1416o 数字变量l 数字变量的运算258*369ans = 95202x=258*369x = 95202123

3、3ans = 1860867sqrt(ans)ans = 1.3641e+003l 数字的输入输出格式 缺省为实数保留小数点后4位浮点数表示。 其输入格式与C语言一致： 如：9 -73 0.1999 1.475e6 输出格式由format命令控制，只是影响屏幕显示效果，不影响内部存储和计算。format long;pians = 3.14159265358979format long e;pians = 3.141592653589793e+000format long g;pians = 3.14159265358979o 字符串l 1、字符串的约定字符串用单引号输入或赋值；字符串的每个字符

4、都是都是字符数组的一个元素；字符串和字符数组基本上等价。s=symbolics =symbolicsize(s)ans = 1 8s(3)ans =ml 字符串的转换 double 字符串转换为数值代码 num2str 数字转换为字符串 int2str 整数转换为字符串 mat2str 矩阵转换为字符串 str2num 转换字符串为数字double(s)ans = 49 50 51 50 51 52l 字符串操作 strcat strcmp strvcat strncmp findstr upper lower blanks deblank l 执行字符串t=1/(a*b-1);a=2;b=3

5、;c=eval(t)c = 0.2000o 结构型变量 由函数struct定义，以指针操作符“.”连接结构型变量名与属性名。 结构型变量名结构型变量名struct（元素名（元素名1，元素值，元素值1，元素名，元素名2，元素值，元素值2，）c=struct(c1,1,c2,1 2 3 4,c3,abcd)c = c1: 1 c2: 1 2 3 4 c3: abcdc.c2ans = 1 2 3 4c.c3ans =abcdabcdo 单元型变量 单元型变量为任意类型的多维数组，其定义需用大括号，元素间用逗号隔开。a=1,2;3,4a = 1 2 3 4b=1:4,a,abcdb = 1x4 do

6、uble 2x2 double abcdcellplot(b) 单元型变量元素的引用采用大括号为下标标识，用小括号只显示该元素的压缩形式。b2ans = 1 2 3 4b(2)ans = 2x2 doubleo 向量 向量元素用“”括起来，元素间用空格、逗号或分号分隔； 注意：空格和逗号分隔成行向量，分号分割成列向量。注意：空格和逗号分隔成行向量，分号分割成列向量。l冒号表达式生成向量 基本格式：xx1:step:x2 xx1:x2a=1:2:12a = 1 3 5 7 9 11a=12:-2:1a = 12 10 8 6 4 2a=1:6a = 1 2 3 4 5 6l线性等分向量生成 y=

7、linspace(x1,x2) 生成100维行向量 y=linspace(x1,x2,n) 生成n维行向量a=linspace(1,100,6)a = 1.0000 20.8000 40.6000 60.4000 80.2000 100.0000l对数等分向量生成 y=logspace(x1,x2)生成50维对数等分向量，y(1)=10 x1 y(50)=10 x2 y=logspace(x1,x2,n)生成n维对数等分向量y(1)=10 x1 y(n)=10 x2a=logspace(0,5,6)a = 1 10 100 1000 10000 100000o 向量的基本运算l 与数运算a =

8、 1.0000 20.8000 40.6000 60.4000 80.2000 100.0000a-1ans = 0 19.8000 39.6000 59.4000 79.2000 99.0000a*2ans = 2.0000 41.6000 81.2000 120.8000 160.4000 200.0000l 点积计算 指两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积。 dot(a,b) a,b必须同维。a=1 2 3;b=3,4,5;dot(a,b)ans = 26sum(a.*b)ans = 26l 叉积 表示过两相交向量的交点的垂直于两向量所在平面的向量。 cross（a，b） a，b必须

9、为三维向量。l 混合积c=cross(a,b)c = -2 4 -2dot(a,cross(b,c)ans = 24o 矩阵大型矩阵通借助M文件来输入。矩阵987654321A的输入： A = 1,2,3; 4,5,6; 7,8,9A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9a=1 2 34 5 67 8 9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9x=rand(1,5)%产生的均布随机数组产生的均布随机数组 x =0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 x(3)%寻访数组寻访数组x的第三个元素。的第三个元素。 ans =0.6068 x(1 2 5)%寻访数组寻访

10、数组x的第一、二、五个元素组成的子数组。的第一、二、五个元素组成的子数组。 ans =0.9501 0.2311 0.8913 x(1:3)%寻访前三个元素组成的子数组寻访前三个元素组成的子数组 ans = 0.9501 0.2311 0.6068 x(3:end)%寻访除前寻访除前2个元素外的全部其他元素。个元素外的全部其他元素。end是最后一是最后一个元素的下标。个元素的下标。 ans = 0.6068 0.4860 0.8913 常用的特殊矩阵单位矩阵：eye(m,n); eye(m)零 矩 阵：zeros(m,n); zeros(m)一 矩 阵：ones(m,n); ones(m)对角

11、矩阵：对角元素向量 V=a1,a2,an A=diag(V)随机矩阵：rand(m,n)产生一个mn的均匀分别的随机矩阵eye(2,3)ans= 1 0 0 0 1 0zeros(2,3)ans= 0 0 0 0 0 0ones(2,3)ans= 1 1 1 1 1 1V=5 7 2; A=diag(V)A= 5 0 0 0 7 0 0 0 2eye(2)ans= 1 0 0 1zeros(2)ans= 0 0 0 0ones(2)ans= 1 1 1 1 如果已知A为方阵，则V=diag(A)可以提取A的对角元素构成向量V。其他特殊矩阵 compan 友矩阵函数 magic 魔方矩阵 han

12、kel Hankel矩阵 rosser 对称特征值测试矩阵 hilb Hilbert矩阵 pascal Pascal矩阵 invhilb 反Hilbert矩阵 vander 范德蒙矩阵 o 矩阵的基本运算l 加减运算 要求两矩阵必须同阶。a=1 2 3;2 3 4; 3 4 5;b=1 1 1;2 2 2;3 3 3;c=a+bc = 2 3 4 4 5 6 6 7 8l 乘法 要求a为ij阶，b为jk阶时，ab才能相乘。e=b,5 5 5e = 1 1 1 5 2 2 2 5 3 3 3 5f=a*ef = 14 14 14 30 20 20 20 45 26 26 26 60l 除法左除“

13、”: 相当于Ax=B的解，x=A-1B。右除“/”：相当于xA=B的解，x=BA-1 A-1B=(BA-1)。通常，右除稍快一些，而左除可以避免奇异性。对于AxB，其中A为（nm）阶矩阵：n=m且非奇异时，方程为恰定方程；nm方程为超定方程；nA=1 2 3;4 5 6;7 8 0;1 3 5;B=1 3 5;2 4 6;A/Bans = 0 0.5000 -3.0000 3.5000 -12.0000 10.2500 1.0000 0.0000(BA)ans = 0 0.5000 -3.0000 3.5000 -12.0000 10.2500 1.0000 0.0000l 矩阵与常数的运算

14、常数与此矩阵的各元素之间进行运算。 注意：进行数除时，常数通常只能做除数。l 矩阵的逆运算 函数 invA=2 1 -3 -1;3 1 0 7;-1 2 4 -2;1 0 -1 5;inv(A)ans = -0.0471 0.5882 -0.2706 -0.9412 0.3882 -0.3529 0.4824 0.7647 -0.2235 0.2941 -0.0353 -0.4706 -0.0353 -0.0588 0.0471 0.2941l 矩阵的行列式运算 函数 detA=2 1 -3 -1;3 1 0 7;-1 2 4 -2;1 0 -1 5;a1=det(A)a1 = -85a2=d

15、et(inv(A)a2 = -0.0118a1*a2ans = 1l 矩阵的幂运算 与数字的幂运算形式相同，用“”算符。l 矩阵的指数运算 常用函数 expm expm1 expm2 expm3l 矩阵的对数运算 函数 logml 矩阵的开方运算 函数 sqrtmb=magic(3)b = 8 1 6 3 5 7 4 9 2sqrtm(b)ans = 2.7065 + 0.0601i 0.0185 + 0.5347i 1.1480 - 0.5948i 0.4703 + 0.0829i 2.0288 + 0.7378i 1.3739 - 0.8207i 0.6962 - 0.1430i 1.82

16、57 - 1.2725i 1.3511 + 1.4155ib0.5ans = 2.7065 + 0.0601i 0.0185 + 0.5347i 1.1480 - 0.5948i 0.4703 + 0.0829i 2.0288 + 0.7378i 1.3739 - 0.8207i 0.6962 - 0.1430i 1.8257 - 1.2725i 1.3511 + 1.4155io 矩阵的基本函数运算l 特征值函数 函数 x,y=eig(A) 可以给出特征值和特征向量的值 x为特征向量矩阵，y为特征值矩阵。A=7 3 -2;3 4 -1;-2 -1 3;x,y=eig(A)x = 0.5774

17、 0.0988 -0.8105 -0.5774 -0.6525 -0.4908 0.5774 -0.7513 0.3197y = 2.0000 0 0 0 2.3944 0 0 0 9.6056l 奇异值函数 函数 svd svdsl 矩阵翻转 函数 fliplr flipud rot90a = 7 3 -2 3 4 -1 -2 -1 3fliplr(a)ans = -2 3 7 -1 4 3 3 -1 -2flipud(a)ans = -2 -1 3 3 4 -1 7 3 -2rot90(a)ans = -2 -1 3 3 4 -1 7 3 -2l 范数函数 函数 norm（X，P） P1

18、1范数 P2 2范数 Pinf 无穷范数 Pfro F范数 norm（X）norm（X，2）l 秩函数 函数 ranke = 1 1 1 5 2 2 2 2 3 3 3 5rank(e)ans = 2l迹函数 矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹。 函数 tracel正交空间函数 函数 orth 用来求矩阵的一组正交基。l条件数函数 判断矩阵的“病态”程度。 函数 cond 计算矩阵的条件数的值 condest 计算矩阵的1范数条件数的估计值 rcond 计算矩阵的条件数的倒数值l伪逆函数 函数 pinv 求解“病态”问题时，避免产生伪解。a=magic(4)a = 16 2 3 13 5 1

19、1 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1b=a*1 1 1 1;inv(a)*bWarning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.567374e-017.ans = 0 8 0 0pinv(a)*bans = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000l 通用函数形式 通用函数调用格式 funm（A，funname） funname包括sin sinh asin asinh cos cosh acos acosh tan exp log lo

20、g2 pow2 sqrt abs funm(a,sqrt)ans = 3.7584 - 0.2071i -0.2271 + 0.4886i 0.3887 + 0.7700i 1.9110 - 1.0514i 0.2745 - 0.0130i 2.3243 + 0.0306i 2.0076 + 0.0483i 1.2246 - 0.0659i 1.3918 - 0.2331i 1.5060 + 0.5498i 1.4884 + 0.8666i 1.4447 - 1.1833i 0.4063 + 0.4533i 2.2277 - 1.0691i 1.9463 - 1.6848i 1.2506 +

21、2.3006isqrtm(a)ans = 3.7584 - 0.2071i -0.2271 + 0.4886i 0.3887 + 0.7700i 1.9110 - 1.0514i 0.2745 - 0.0130i 2.3243 + 0.0306i 2.0076 + 0.0483i 1.2246 - 0.0659i 1.3918 - 0.2331i 1.5060 + 0.5498i 1.4884 + 0.8666i 1.4447 - 1.1833i 0.4063 + 0.4533i 2.2277 - 1.0691i 1.9463 - 1.6848i 1.2506 + 2.3006isqrt(a)

22、ans = 4.0000 1.4142 1.7321 3.6056 2.2361 3.3166 3.1623 2.8284 3.0000 2.6458 2.4495 3.4641 2.0000 3.7417 3.8730 1.0000p 矩阵分解函数l 特征值分解V,D=eig(X) 矩阵的特征值分解：XVVDV,D=eig(X,nobalance) 关闭平衡算法的求解方法（平衡算法对于某些问题可以得到更高的精度）。V,D=eig(A,B) 广义特征值分解：AVBVDa=-149 -50 -154;537 180 546;-27 -9 -25;v,d=eig(a)v = 0.3162 0.40

23、41 0.1391 -0.9487 -0.9091 -0.9740 0.0000 -0.1010 0.1789d = 1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 3.0000b=2 10 2;10 5 -8;2 -8 11;v,d=eig(a,b)v = 0.8211 -0.3138 -0.0191 -0.3452 0.9495 -0.9441 -0.4546 -0.0044 0.3290d = 12.9030 0 0 0 -0.0045 0 0 0 0.0706l 奇异值分解 U,S,V=svd(X) 其中XUSVa=1;1;U,S,V=svd(a)U = 0.7071 -0.707

24、1 0.7071 0.7071S = 1.4142 0V = 1 l LU分解 L,U=lu(A) 又称三角分解，目的是分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，即ALUa=1 2 3;2 4 1;4 6 7;l,u=lu(a)l = 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000注意：L实际上是一个“心理上”的下三角矩阵，它事实上是一个置换矩阵P的逆矩阵与一个真正下三角矩阵L1（其对角线元素为1）的乘积。l,u,p=lu(a)l = 1.0

25、000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.5000 1.0000u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000p = 0 0 1 0 1 0 1 0 0inv(p)*l*uans = 1 2 3 2 4 1 4 6 7p为置换矩阵，此时满足AP-1LUl Chol分解 如果A为n阶对称正定矩阵，则存在一个非奇异下三角实矩阵L，使得ALLT,当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的。a=4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5;chol(a)ans = 2.0000 -0.5000 0.500

26、0 0 2.0000 1.5000 0 0 1.0000l 正交分解 AQRa=1 1 1;2 -1 -1;2 -4 5;q,r=qr(a)q = -0.3333 -0.6667 -0.6667 -0.6667 -0.3333 0.6667 -0.6667 0.6667 -0.3333r = -3 3 -3 0 -3 3 0 0 -3将矩阵A做正交化分 解 ， 使 得Q*R=A，其中Q为正交矩阵（其范 数 为 1 ， 指 令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩阵。矩阵的特殊操作p 变维lreshape(X,M,N) X变为MN维lreshape(X,M,N,P,)X变为MNP 或resh

27、ape(X,M N P )l“：” 操作符a=1:12;b=reshape(a,2,6)b = 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12c=zeros(4,3);c(:)=a(:)c = 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12p 矩阵抽取l 对角元素抽取 diag（X,k）抽取X的第k条对角线元素，k=0为主对角线，上对角线为正值，下对角线为负值。 diag（X） 抽取主对角线元素a=pascal(4)a = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20v=diag(a)v = 1 2 6 20v=diag(a,2)v = 1 4l 三角阵的抽

28、取 tril(X)提取X的主下三角部分 tril(X,k) 提取X的第k条对角线下面的元素 triu(X)提取X的主上三角部分 triu(X,k) 提取X的第k条对角线上面的元素al=tril(a,-1)al = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 4 10 0au=triu(a,-1)au = 1 1 1 1 1 2 3 4 0 3 6 10 0 0 10 20o 稀疏矩阵 用元素的行列号和元素值来存储一个元素。a=speye(100)a = (1,1) 1 (2,2) 1 (3,3) 1 (4,4) 1 (99,99) 1 (100,100) 1b=eye(100);who

29、s a b Name Size Bytes Class a 100 x100 1604 sparse array b 100 x100 80000 double arrayGrand total is 10100 elements using 81604 bytesl 常规矩阵转换为稀疏矩阵 sparse(A) a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=sparse(a)b = (1,1) 1 (2,1) 4 (3,1) 7 (1,2) 2 (2,2) 5 (3,2) 8 (1,3) 3 (2,3) 6whos a b Name Size Bytes Class a 3x3 72 doubl

30、e array b 3x3 112 sparse arrayGrand total is 17 elements using 184 bytes sparse(i,j,s,n,m,nzmax) sparse(i,j,s,n,m) sparse(i,j,s,n) n,m为生成稀疏矩阵的行列数，i,j,s为子矩阵，nzmax最多的非零元素数l 稀疏矩阵转换为常规矩阵 full（）数组及其运算 数组的建立、存储完全同于矩阵，由于计算的不同，把相同型矩阵之间的运算称为数组运算。p 基本数组运算l 数组的四则运算 普通运算同矩阵的运算，另有点运算“.*”、”./”、”.”，即两数组对应元素之间的运算。a1=1 2 3;2 3 4;3 4 5;b1=1 1 1;2 2 2;3 3 3;a1./b1ans = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.5000 2.0000 1.0000 1.3333 1.6667a1.b1ans = 1.0000 0.5000 0.3333 1.0000 0.6667 0.5000 1.0000 0.7500 0.6000l 数组与常数运算 与矩阵的运算一致。l 数组的幂运算 “.”表示每个数组