Matlab数据拟合

1、问题问题1Cobb-Douglas生产函数生产函数(, ), 0,1Q K LaK L 请根据经济统计数据确定参数请根据经济统计数据确定参数,a tQKLtQKL19001.051.041.0519142.013.241.6519011.181.061.0819152.003.241.6219021.291.161.1819162.093.611.8619031.301.221.2219171.964.101.9319041.301.271.1719182.204.361.9619051.421.371.3019192.124.771.9519061.501.441.3919202.164.7

2、51.9019071.521.531.4719212.084.541.5819081.461.571.3119222.244.541.6719091.602.051.4319232.564.581.8219101.692.511.5819242.344.581.6019111.812.631.5919252.454.581.6119121.932.741.6619262.584.541.6419131.952.821.68用用Matlab进行进行数据拟合数据拟合1. 多项式曲线拟合多项式曲线拟合: polyfit.y0=polyval(p,x0)p=polyfit(x,y,m)其中其中, x,

3、 y为已知数据点向量为已知数据点向量, 分别表示横分别表示横,纵坐纵坐标标, m为拟合多项式的次数为拟合多项式的次数, 结果返回结果返回m次拟合次拟合多项式系数多项式系数, 从高次到低次存放在向量从高次到低次存放在向量p中中.可求得多项式在可求得多项式在x0处的值处的值y0.例例1 已知观测数据点如表所示已知观测数据点如表所示xy0-0.4470.11.9780.23.280.36.160.47.080.57.340.67.660.79.560.89.480.99.3111.2分别用分别用3次和次和6次多项式曲线拟合这些数据点次多项式曲线拟合这些数据点.x=0:0.1:1y=-0.447,1.

4、978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2plot(x,y,k.,markersize,25)axis(0 1.3 -2 16)p3=polyfit(x,y,3)p6=polyfit(x,y,6)编写编写Matlab程序如下程序如下:t=0:0.01:1.2s1=polyval(p3,t)s2=polyval(p6,t)hold onplot(t,s1,r-,linewidth,2)plot(t,s2,b-,linewidth,2)gridx=0:0.1:1y=-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.5

5、6,9.48,9.3,11.2plot(x,y,k.,markersize,25)axis(0 1.3 -2 16)p3=polyfit(x,y,3)p6=polyfit(x,y,6)00.20.40.60.811.2-20246810121416例例2 2018年，武汉市自年，武汉市自4月月30日到日到5月月16日连续降雨，日连续降雨，每日降雨量如下表所示，请拟合该段时间的降雨量曲每日降雨量如下表所示，请拟合该段时间的降雨量曲线。线。日期日期030.0129.1228.4328.1428.0527.7627.5727.2827.0 降雨量降雨量 mm日期日期926.81026.51126.3

6、1226.11325.71425.31524.81624.0降雨量降雨量 mm解解: 描出散点图描出散点图, 在命令窗口输入在命令窗口输入:t=0:1:16y=30.0 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0plot(t,y,*)解解: 描出散点图描出散点图, 在命令窗口输入在命令窗口输入:t=0:1:16y=30.0 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0

7、plot(t,y,*)a = -0.3012 29.3804hold onplot(t, y1), hold offa=polyfit(t,y,1)y1=-0.3012*t+29.3804拟合曲线为拟合曲线为: y=-0.3012t+29.3804在实际应用中常见的拟合曲线有在实际应用中常见的拟合曲线有:01ya xa直线直线101 nnnya xa xa多项式多项式一般一般 n=2, 3, 不宜过高不宜过高.01ayax双曲线双曲线(一支一支) bxyae指数曲线指数曲线2. 非线性曲线拟合非线性曲线拟合: lsqcurvefit.功能功能:x=lsqcurvefit(fun, x0, xd

8、ata, ydata)x, resnorm=lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata)根据给定的数据根据给定的数据 xdata, ydata (对应点的横对应点的横, 纵坐标纵坐标), 按函数文件按函数文件 fun 给定的函数给定的函数, 以以x0为初值作为初值作最小二乘拟合最小二乘拟合, 返回函数返回函数 fun中的中的系数向量系数向量x和残差的平方和和残差的平方和resnorm.例例3 已知观测数据点如表所示已知观测数据点如表所示xy03.10.13.270.23.810.34.50.45.180.560.67.050.78.560.89.690.911.2511

9、3.17求三个参数求三个参数 a, b, c的值的值, 使得曲线使得曲线 f(x)=aex+bx2+cx3 与与已知数据点在最小二乘意义上充分接近已知数据点在最小二乘意义上充分接近.首先编写存储拟合函数的函数文件首先编写存储拟合函数的函数文件.function f=nihehanshu(x,xdata)f=x(1)*exp(xdata)+x(2)*xdata.2+x(3)*xdata.3保存为文件保存为文件 nihehanshu.m例例3 已知观测数据点如表所示已知观测数据点如表所示xy03.10.13.270.23.810.34.50.45.180.560.67.050.78.560.89.

10、690.911.25113.17求三个参数求三个参数 a, b, c的值的值, 使得曲线使得曲线 f(x)=aex+bx2+cx3 与与已知数据点在最小二乘意义上充分接近已知数据点在最小二乘意义上充分接近.编写下面的程序调用拟合函数编写下面的程序调用拟合函数.xdata=0:0.1:1;ydata=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17;x0=0,0,0;x,resnorm=lsqcurvefit(nihehanshu,x0,xdata,ydata)编写下面的程序调用拟合函数编写下面的程序调用拟合函数.xdata=0:0.1:1;

11、ydata=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17;x0=0,0,0;x,resnorm=lsqcurvefit(nihehanshu,x0,xdata,ydata)程序运行后显示程序运行后显示x = 3.0022 4.0304 0.9404resnorm = 0.0912例例3 已知观测数据点如表所示已知观测数据点如表所示xy03.10.13.270.23.810.34.50.45.180.560.67.050.78.560.89.690.911.25113.17求三个参数求三个参数 a, b, c的值的值, 使得曲线使得曲线

12、f(x)=aex+bx2+cx3 与与已知数据点在最小二乘意义上充分接近已知数据点在最小二乘意义上充分接近.说明说明: 最小二乘意义上的最佳拟合函数为最小二乘意义上的最佳拟合函数为f(x)= 3ex+ 4.03x2 + 0.94 x3.此时的残差是此时的残差是: 0.0912.f(x)= 3ex+ 4.03x2 + 0.94 x3.拟合函数为拟合函数为:练习练习:1. 已知观测数据点如表所示已知观测数据点如表所示xy03.10.13.270.23.810.34.50.45.180.560.67.050.78.560.89.690.911.25113.17求用三次多项式进行拟合的曲线方程求用三次

13、多项式进行拟合的曲线方程.2. 已知观测数据点如表所示已知观测数据点如表所示xy1.617.72.7491.313.14.1189.43.6110.82.334.50.644.9409.13652.436.9求求a, b, c的值的值, 使得曲线使得曲线 f(x)=aex+bsin x+c lnx 与已知数据与已知数据点在最小二乘意义上充分接近点在最小二乘意义上充分接近.问题问题2利率期限结构是指某个时点不同期限的即利率期限结构是指某个时点不同期限的即期利率与到期期限的关系，若在某一时点期利率与到期期限的关系，若在某一时点已知如下期限的利率，请给出该时点处的已知如下期限的利率，请给出该时点处的

14、利率期限结构利率期限结构.到期期限到期期限(年年) 1/122410利率(%)4.005.006.506.75插值问题插值问题已知已知 n+1+1个节点个节点, 1 , 0(),(njyxjj其中其中jx互不相同互不相同, 不妨设不妨设01), na xxxb求任一插值点求任一插值点)(*jxx 处的插值处的插值.*y节点可视为由节点可视为由)(xgy 产生产生,g 表达式复杂表达式复杂,甚至无表达式甚至无表达式0 x1xnx0y1y*x*y(,) (0,1,) jjxyjn1.1.分段线性插值分段线性插值xjxj-1xj+1x0 xn实用插实用插值方法值方法机翼下轮廓机翼下轮廓线线2. 三次

15、样条插值三次样条插值细木条细木条: 样条样条输入输入: 节点节点x0, y0, 插值点插值点x (均为均为数组数组,长度自定义长度自定义);输出输出: 插值插值y (与与x同长度数组同长度数组).1. 分段线性插值分段线性插值: 已有程序已有程序 y=interp1(x0,y0,x) y=interp1(x0,y0,x,linear)2. 三次样条插值三次样条插值: 已有程序已有程序 y=interp1(x0,y0,x,spline) 或或 y=spline(x0,y0,x)用用Matlab作插值计算作插值计算例例 4 对对 在在-1, 1上上, 用用n=20的等距分的等距分点进行分段线性插值

16、点进行分段线性插值, 绘制绘制 f(x)及插值函数的图形及插值函数的图形. 2119 fxx解解 在命令窗口输入在命令窗口输入:x=-1:0.1:1y=1./(1+9*x.2)xi=-1:0.1:1yi=interp1(x,y,xi)plot(x,y,r-,xi,yi,*)例例 5 对对 在在-5, 5上上, 用用n=11个等距分点作分段线个等距分点作分段线性插值和三次样条插值性插值和三次样条插值, 用用m=21个插值点作图个插值点作图,比较结果比较结果.211 yx解解 在命令窗口输入在命令窗口输入:n=11, m=21x=-5:10/(m-1):5y=1./(1+x.2)z=0*xx0=-

17、5:10/(n-1):5y0=1./(1+x0.2)y1=interp1(x0,y0,x)y2=interp1(x0,y0,x,spline)x y y1 y2plot(x,z,r,x,y,k:,x,y1,b,x,y2,g)gtext(Piece.-linear.),gtext(Spline),gtext(y=1/(1+x2) 0 1.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.8000 0.7500 0.8205 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 1.5000 0.3077 0.3500 0.2973 2.0000 0.2000 0.2000 0.2000

18、2.5000 0.1379 0.1500 0.1401 3.0000 0.1000 0.1000 0.1000 3.5000 0.0755 0.0794 0.0745 4.0000 0.0588 0.0588 0.0588 4.5000 0.0471 0.0486 0.0484 5.0000 0.0385 0.0385 0.0385例例 5 对对 在在-5, 5上上, 用用n=11个等距分点作分段线个等距分点作分段线性插值和三次样条插值性插值和三次样条插值, 用用m=21个插值点作图个插值点作图,比较结果比较结果.211 yxxyy1y2解解 在命令窗口输入在命令窗口输入:例例 6 在一天在一

19、天24h内内, 从零点开始每间隔从零点开始每间隔2h测得的环境温度为测得的环境温度为12, 9, 9, 10, 18, 24, 28, 27, 25, 20, 18, 15, 13 C(单位单位: )推测在每推测在每1s时的温度时的温度. 并描绘温度曲线并描绘温度曲线.t=0:2:24T=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13plot(t,T,*)ti=0:1/3600:24T1i=interp1(t,T,ti)plot(t,T,*,ti,T1i,r-)T2i=interp1(t,T,ti,spline)plot(t,T,*,ti,T1i,r-,ti,T2i,

20、g-)例例 7 在飞机的机翼加工时在飞机的机翼加工时, 由于机翼尺寸很大由于机翼尺寸很大, 通常在图通常在图纸上只能标出部分关键点的数据纸上只能标出部分关键点的数据. 某型号飞机的机翼上缘某型号飞机的机翼上缘轮廓线的部分数据如下轮廓线的部分数据如下:x 0 4.74 9.05 19 38 57 76 95 114 133y 0 5.23 8.1 11.97 16.15 17.1 16.34 14.63 12.16 6.69x 152 171 190y 7.03 3.99 0例例 7 在飞机的机翼加工时在飞机的机翼加工时, 由于机翼尺寸很大由于机翼尺寸很大, 通常在图通常在图纸上只能标出部分关键点的数据纸上只能标出部分关键点的数据. 某型号飞机的机翼上缘某型号飞机的机翼上缘轮廓线的部分数据如下轮廓线的部分数据如下:x=0 4.74 9.05 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190y=0 5.23 8.1 11.97 16.15 17.1 16.34 14.63 12.16 9.69 7.03 3.99 0 xi=0:0.001:190yi=interp1(x,y,xi,spline)plot(xi,yi)练习练习:1. 设设 在区间在区间-2, 2上用上用10等分点作为节点等分点作为节点, 分别用三种插值方法分别用三种插值方法: 2, xf xe(