导数知识点各种题型归纳方法总结浦仕国

1、导数知识点和各种题型归纳方法总结导数的定义：2利用定义求导数的步骤：求函数的增量：I ;求平均变化率:取极限得导数：1（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：1.已知1 1的值是（）A.B. 2C. 11D. 2变式1 :J()A. 1B. 2C. 3D . 1变式2:|()A 丨B IC. 丨D 丨题型二：导数运算1、已知I，则I丨2、 若|,贝UI 3、I =ax3+3x2+2 ,I ,则 a=()厂一=：1；A*1 I； ；|I :厂1 L * 1L1:三.导数的物理意义1. 求瞬时速度：物体在时刻|出时的瞬时速度 也就是物体运动规律I 在 时的导

2、数 上I即有 I 。1X: 1II1法则1:1； （口诀：和与差的导数等于导数的和与差）.法则2 :一一 （ 口诀：前导后不导相乘 +后导前不导相乘）2. V = s/（t）表示即时速度。a=v/（t）表示加速度。（了解）四导数的几何意义：函数 |在日处导数的几何意义，曲线| 在点处切线的斜率是|相应的切线方程是：法则3:题型三用导数求曲线的切线 注意两种情况:处切线：性质O相应的切线方程是：k= 丨，切点 丨 在坐标代入方程得关于a,b的（口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号）（2）复合函数I的导数求法：换元，令 ，则IT 分别求导再相乘厂一 回代 题型一、导数定

3、义的理解（1 ）曲线（2）曲线| 过点| 处切线：先设切点，切点为I二，则斜率曲线丨 上，切点 丨 在切线|上，切点 门I方程组，解方程组来确定切点，最后求 斜率k= I ，确定切线方程。例：在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）|当xo=-1时，k有最小值3,此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为 3x-y-11=0五函数的单调性：设函数 严.在某个区间内可导，1 (1)LJ叵该区间内为增函数；1 (2)11Ld叵该区间内为减函数；注意：当|在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时,-I在这个区间上仍是递增（或递减）的。匕J在该区间

4、内单调递增回【乂在该区间内恒成立；亠|在该区间内单调递减回【乂在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f（x）在某一区间上单调性：解题模板：（1）求导数|（2）判断导函数I在区间上的符号（3）下结论 II该区间内为增函数； II该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数I单调区间的步骤为：（1）分析丨的定义域；（2）求导数 |_（3 ）解不等式ET ，解集在定义域内的部分为增区间（4 ）解不等式ET ，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一：(1)1在该区间内单调递增區|1在该区间内恒成立;(2)1在该区间内单调递减|E1在该区

5、间内恒成立;思路二：先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f （乂）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以！二例题若函数，若则（）A. a< b < cB. c < b < aC. c < a < bD. b < a < c六、函数的极值与其导数的关系：1极值的定义：设函数1亠在点附近有定义，且若对，则称 I为函数的一个极大（或小）值,可导数叵在极值点勺处的导数为0 （即| = |J附近的所有的点都有I

6、 （或为极大（或极小）值点。，但函数叵 在某点卜|处的导数为0，并不一定函数 |在该处取得极值（如I 在 |处的导数为0，但没有极值）。求极值的步骤：第一步：求导数 |；第二步：求方程 K 的所有实根；第三步：列表考察在每个根 凶附近，从左到右，导数 I厶 的符号如何变化，若，河的符号由正变负，则丨是极大值；若，河 的符号由负变正，贝yI是极小值；若，河 的符号不变，则I 口 不是极值，|日|不是极值点。2、函数的最值：最值的定义：若函数在定义域 D内存J，使得对任意的二I ，都有I ，（或 I I ）则称* .为函数的最大（小）值，记作I （或 I I ）如果函数在闭区间I三I上的图象是一条

7、连续不间断的曲线，则该函数在闭区间大值和最小值。第三步：下结论：最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点上必有最可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值永最值。函数f（x）在区间a,b上的最大值为极大值和f（a）、f（b）中最大的一个。最小值为极小值和f（a）、f（b）中最小的一个。2 .函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值(极大值对应最大值；极小值对应最小值)3、注意：极大值不一定比极小值大。如|的极大值为|回，极小值为2。注意：当x=xo时，函数有极值 冏(X0)= 0。但是，f/(xo)=

8、 0不能得到当x=xo时，函数有极值； 判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用(不等式恒成立问题，讨论方程的根的个数问题)题型四、导数图象与原函数图象关系导函数(看正负)原函数(看升降增减)I二的符号 =二二=二单调性I与X轴的交点且交点两侧异号'-L -极值I的增减性 7二:二”的每一点的切线斜率的变化趋势(I的图象的增减幅度)I增 V.二m啲每一点的切线斜率增大( b 的图象的变化幅度快)I减-;:-的每一点的切线斜率减小(审 的图象的变化幅度慢)【题型针对训练】1. 已知 f(x)=eX-ax-1.(1) 求f(x)的单调增区间；(

9、2) 若f(x )在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3) 是否存在a,使f(x)在(-汽0上单调递减，在0, +呵上单调递增？ 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0 , 若x= 口时,y=f(x)有极值.(1) 求a,b,c的值；(2) 求y=f(x )在-3, 1上的最大值和最小值.(请你欣赏)3当证明:当土时。，证明不等式I在h内是增函数,，则,因此，当'-I时，不等式点评：由题意构造出两个函数内是减函数,成立.利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键

10、(请你欣赏)4、已知函数的图象如图所示。()求二的值;(n)若函数 E 的图象在点求函数f ( x )的解析式;(川)若 丨方程解：由题知:处的切线方程为有三个不同的根，求实数a的取值范围。(I)由图可知 函数f ( x )的图像过点(0,3 )，且巨(n)依题意 丨=-3且f ( 2 ) = 5解得 a = 1 , b = -6所以 f ( x ) = x3 -6X2 + 9x + 3(川)依题意f ( x ) = ax3 + bx2 -( 3a + 2b )x + 3 ( a> 0 )回 =3ax2 + 2bx -3a -2b由 | = 0| orb = -9a若方程f ( x )

11、= 8a有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 )v 8avf ( 1 )由得-25a + 3 v 8av 7a + 3 一-冃v a v 3所以当耳v a v 3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。【导数各种题型方法总结】请同学们高度重视(温馨提示)：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，

12、请注意寻找关键的等价变形和回归的基础题型一、函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；(基础题型)1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令I得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数) (已知谁的范围就把谁作为主元)；例题欣赏1|:设函数I在区间D上的导数为 二J， I在区间D上的导数为 -1 ，若在区间D上，I 恒成立，则称函数(1)若在区间D上为凸函数”，已知实数m是常数

13、,在区间上为凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足 上的任何一个实数z，函数叵|在区间回上都为凸函数”，求耳 的最大值.解:由函数得(1)I 在区间 |上为“凸函数”，贝UI在区间0,3上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于I解法/当 时,恒成立,恒成立等价于的最大值()恒成立,)是增函数，则(2) 当 丨时 I在区间 丨上都为“凸函数” 则等价于当解法三：变更主元法1=:1恒成立例题欣赏2 :(二次函数区间最值的例子)设函数(I)求函数f (x)的单调区间和极值；(n)若对任意的 不等式I 恒成立，求a的取值范围在 丨恒成立解：（I）令得叵.的单调递减区间为(I)求(n)当（川）

14、当解:(I)(n）由(I)知,的值；时，求叵的值域; 时，不等式又_|的值域是（出）令当 x=a 时,极小值一（n）由I | I < a,得：对任意的则等价于呼.这个二次函数l_z即定义域在对称轴的右边,当x=3a时,极大值=b.1 11匕的对称轴L")恒成立（放缩法）I这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。于是，对任意上是增函数.，不等式恒成立，等价于点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值 题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型恒成立，求实数t的取值范围。， 解得| £_|1在 I上单调递增，在-

15、I上单调递减，在I上单调递减例题欣赏3已知函数图象上一点！二处的切线斜率为思路1:要使I思路2: 二次函数区间最值恒成立，只需，即（分离变量）题型二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1:转化为（逆向考查，正向思考）在给定区间上恒成立， 回归基础题型;解法2:利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集;做题时一定要看清楚在（m,n ）上是减函数"与 函数的单调减区间是（a,b） ”,要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例题欣赏4:已知E I ，函数（I）如果函数是偶函数，求I的极大值和极小值;（n）如果函数丙是上的单调函数

16、，求的取值范围.解:(I)：|是偶函数，列表如下:（浮一2此时，解得:(2,2+ OOX(2ZI+00+递增极大值递减极小值递增I的极大值为题型三：根的个数问题类型一:函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点方程的根-I函数的零点可知:1 X 115的极小值为1 = 11上的单调函数,解题步骤第一步：画出两个图像即穿线图”（即解导数不等式）和 趋势图”即三次函数的大致趋势是先增后减再增,在给定区间R上恒成立（判别式法）解得:”还是先减后增再减”;第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）第三步：解不等式（组）即可;综上,E的取值范围是;主要看极大值和极小值与0的关系;例题欣赏5、已知

17、函数(I)求亠的单调区间;(II )若回 在0,1上单调递增，求a的取值范围。（子集思想）解析：（I）1、当且仅当 匕二时取“ =号,单调递增。2、单调增区间:单调增区间:1时,单调递增符合题意1、2、综上，a的取值范围是0, 1。(II )当则 |是上述增区间的子集:例题欣赏6、已知函数，且 |在区间I上为增函数.（1）求实数的取值范围；（2）若函数 刁 与叵 的图象有三个不同的交点，求实数 解：（1）由题意的取值范围.右在区间 |上为增函数，I上恒成立（分离变量法）的取值范围为EZI1 1恒成立，又1,，故亠在区间(2)设令 J_ 当叵I时, 当E时,得 I或.叫由（1 ）知_!,k 在R

18、上递增，显然不合题意LrJ ,-1随的变化情况如下表：1 X 1回1町一3I X |/极大值极小值1/Lzsl叫与的图象有三个不同的交点，即方程由于故需，欲使匕综上，所求 的取值范围为I有三个不同的实根,，解得(1)若丨是 -I的极值点且I的图像过原点，求I的极值;(2)若N： ，在(1 )的条件下，是否存在实数2J ,使得函数凹的图像与函数凹的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数10的取值范围；否则说明理由；解：(1)VI的图像过原点，则I|,又二.是的极值点,的三个根，即:(2)设函数顷的图像与函数交占八'、K的图像恒存在含|的三个不同类型三：I切线的条数问题旦以切点呂为未知

19、数的方程的根的个数例题欣赏8例&已知函数 |_ _|在点也处取得极小值-4使其导数| j值范围为| ,求：(1) 勺的解析式；(2) 若过点| 可作曲线|的三条切线，求实数 刁的取值范围.解析：(1)由题意得：的的取即:整理得:恒有含 5_|的三个不等实根(计算难点来了：)则口-必可分解为十字相乘法分解:等价于有含的根,，故用添项配凑法因式分解,恒有含 口厂的三个不等实根有两个不等于-1的不等实根。在1 X 1上1 ；在 1上丨；在丨 上 |1 丨因此在| ；I处取得极小值三rL1， ， 1由联立得：(2)设切点Q 1_|,=I1过11求得：X 1| ,方程 I 有三个根。需: 叵|Z

20、XZJ| X 故：三1;因此所求实数冋的范围为：令类型四已知*在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例题欣赏9例9、已知函数/(对=yx3 - (m +3)x2 + (m+6)x,xelt (m 为常数).(I )当肌=4时,求函数只幻的单调区间;(H)若函数y=f(x)在区间)上有两个极值点，求实数恥的取值范E解：函数的定义域为(I)当 m = 4 时,17f (x) = 3X3 2X2+ 10x，(2)|有且仅有3个极值点I=0有3个根，则匕或I方程有两个非零实根，所以II 或WI而当 三1或匕I时可证函数有且仅有3个极值点1 = x2 7x+ 10，令解得

21、可知函数f(x)的单调递增区间为k 和(5,+)，单调递减区间为 I(H) 1 = x2 (m + 3)x+ m+ 6,(1,+m)例题欣赏10例10、已知函数(1)求右的单调区间;(2)令 -I = x4+ f ( x)( x R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.解：(1)I当回时，令解得 | 乂| ，令1 = 1解得| 乂 |,所以冲的递增区间为 ，递减区间为|当I Q 时，同理可得 回 的递增区间为 回 ，递减区间为I X I请你欣赏一一典型题解析1、(最值问题与主元变更法的典例)已知定义在上的函数一 上的最大值是5，最小值是11.(I)求函数叵|的解析式；()若解: (I)=0,得

22、S3在区间时,恒成立，求实数的取值范围3回0aa+0-回/极大因为 I ，所以可得下表:因此 必为最大值，用I因此亠 ,回 I，/0, 1.2、(根分布与线性规划例子)已知函数等价于在上恒成立时，求实数的取值范围,(I )若函数 I在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求 I的解析式;1_2SJ得点G的横坐标为(n) 当K 在I取得极大值且在丨取得极小值时设点|所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解：(I ).由I ,函数 |在亠时有极值，II I I又T K在 |处的切线与直线|平行, I 故| . 7 分(n)解法一：由及|三 在I取

23、得极大值且在I取得极小值，(n)解法二：由易得 Ilxl故点勺所在平面区域S为如图 ABC,易得同时DE ABC的中位线,所求一条直线L的方程为：另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为1_1 ,它与AC,BC分别交于F、G,则由得点F的横坐标为S (舍去)故这时直线方程为：p-或|_1综上，所求直线方程为Z1故点二同时DE ABC的中位线,另一种情况由于直线 BO方程为:所求直线方程为已知函数.12分取得极大值且在所在平面区域S为如图 ABC,所求一条直线L的方程为：H,设直线BO与AC交于H ,得直线L与AC交点为:3、(I)求丄的值;取得极小值，(n)若函数冋 的图象在点的图象如图所示。处的切线方程为求函数f ( x )的解析式；(川)若 I方程I有三个不同的根，求实数 a的取值范围。解：由题知：I(I)由图可知 函数f ( x )的图像过点(0,3 )，且 =0(n)