反比例函数题型的综合提优题

1、.第三讲反比例函数典型题、常考题复习2学习目标：能够将反比例函数与其它知识进行联系、综合分析解决相关问题，能够用反比例函数来解决实际问题重点难点：综合运用所学知识解决反比例函数中的综合问题，分析此类问题的切入点，积累解题经验合作探究：典型例题讲解一、反比例函数的实际应用问题例 1（ 2010 四川达州） 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO 的浓度达到4mg/L ，此后浓度呈直线型增加，在第7 小时达到最高值46 mg/L ，发生爆炸；爆炸后，空气中的 CO 浓度成反比例下降.如图 11，根据题中相关信息

2、回答下列问题：（ 1）求爆炸前后 空气中 CO 浓度 y 与时间 x 的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO 浓度达到34 mg/L 时，井下 3 km 的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生？（ 3）矿工只有在空气中的 CO 浓度降到 4 mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?图 11;.【答案】 .解：（ 1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y 与 x的函数关系式为 yk1 xb由图象知 yk1xb 过点（ 0， 4）与（ 7， 46）b4.解得k16b,7k1 b464 y6

3、 x4 ,此时自变量 x的取值范围是 0x 7.(不取 x =0 不扣分， x =7 可放在第二段函数中)因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设 y 与 x 的函数关系式为 yk2 .x由图象知 yk2 过点（ 7,46）， k2x46 . k2322 ,7322 y，此时自变量x 的取值范围是 x 7.x（2）当 y =34 时，由 y6x4 得 ,6 x+4=34 ， x=5 .撤离的最长时间为 7-5=2( 小时 ).撤离的最小速度为 3÷2=1.5(km/h).(3)当 y =4 时，由 y322 得 , x =80.5， 80.5-7=73.5( 小时 ).x矿工至少在爆炸后

4、73.5 小时能才下井 .例 2、（反比例函数新颖题） 某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是： 放满水后， 接通电源， 则自动开始加热， 每分钟水温上升 10oC，待加热到 100oC，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(0C)和通电时间 x (min) 成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温为20oC，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（ 1）分别求出当 0 x8 和 8 xa 时， y 和 x 之间的关系式；（ 2）求出图中 a 的值；（ 3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课

5、8：20 时能喝到不超过40oC 的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或;.时间段接通饮水机电源（不可以用上课时间接通饮水机电源）时间节次上7:20到校7:458:20第一节午8:309:05第二节二、反比例函数与翻折结合问题例 1如图，四边形OABC 是面积为 4 的正方形，函数y k （x 0）的图象经过点Bx（ 1）求 k 的值；（ 2）将正方形 OABC 分别沿直线 AB 、BC 翻折， 得到正方形 MABC 、NA BC设线段 MC 、k（ x 0）的图象交于点 E、 F ，NA 分别与函数 yx求线段 EF 所在直线的解析式;.例 2如图 1，在平面直

6、角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点C 的坐标为（ 4， 3），反比例函数 y k （ k0）的图象与矩形AOBC 的边 AC、BC 分别相交于点E、F，将 CEF 沿xEF 对折后， C 点恰好落在OB 上（ 1）求证： AOE 与 BOF 的面积相等；（ 2）求反比例函数的解析式；（ 3）如图2， P 点坐标为（ 2， 3），在反比例函数y k 的图象上是否存在点M、 N（ Mx在 N 的左侧），使得以 O、P、 M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、 N 的坐标；若不存在，请说明理由;.三、反比例函数中的探究性问题例 1（ 2010 山东省德州） 探究(1) 在图 1

7、中，已知线段 AB，CD，其中点分别为E，F若 A (-1， 0)， B (3， 0)，则 E 点坐标为 _ ；y若 C (-2， 2)， D (-2 ，-1)，则F 点坐标为 _；(2) 在图 2 中，已知线段 AB 的端点坐标为 A(a， b) ， B(c， d)，C求出图中 AB 中点 D 的坐标（用含 a， b， c， d 的AB代数式表示） ，并给出求解过程OxD归纳无论线段 AB 处于直角坐标系中的哪个位置，第 1y题图 1当其端点坐标为 A(a， b)， B(c， d)， AB 中点为 D(x， y) 时，Bx=_ ， y=_（不必证明）ADy x 2 与反比例函数运用在图 2

8、中，一次函数Ox3的图象交点为A，B第1题图2yxy=3求出交点 A， B 的坐标；yx若以 A， O， B，P 为顶点的四边形是平行四边形，BOx请利用上面的结论求出顶点P 的坐标A(1)(1，0)； (-2， 1y=x-2【答案】 解： 探究)；第1题图32(2) 过点 A ， D， B 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为A，D ，B，则 AA BBCC y D 为 AB 中点，由平行线分线段成比例定理得BAD=D BDAcaa cO A D Bx O D = a22即 D 点的横坐标是 ac32yy=同理可得 D 点的纵坐标是 b d x2B AB 中点 D 的坐标为 ( a c ，

9、bd )Ox22AP归纳： a c ， b d y=x-222;.y x2 ，运用由题意得3.yxx3 ，x1 ，解得或yy1 .3 .即交点的坐标为A(-1， -3)， B(3， 1) 以 AB 为对角线时，由上面的结论知AB 中点 M 的坐标为 (1， -1) 平行四边形对角线互相平分， OM=OP，即 M 为 OP 的中点 P 点坐标为 (2，-2) 同理可得分别以 OA ， OB 为对角线时，点 P 坐标分别为 (4，4) ， (-4， -4) 满足条件的点P 有三个，坐标分别是(2， -2) ， (4， 4) ， (-4， -4) 例 2（ 1）探究新知：如图1，已知 ABC 与 A

10、BD 的面积相等，试判断AB 与 CD 的位置关系，并说明理由（ 2）结论应用：如图 2，点 M ， N 在反比例函数y= k （ k 0）的图象上，过点M 作 ME y 轴，过点Nx作 NF x 轴，垂足分别为E，F，试证明： MN EF；若中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3 所示，请判断 MN 与 EF 是否平行;.【答案】（1）证明：分别过点 C， D，作 CG AB， DH AB，垂足为 G， H，则 CGA DHB90° CGDH ABC与 ABD的面积相等，CG DH 四边形 CGHD为平行四边形 AB CD（ 2）证明：连结MF， NE设点 M的坐标为（

11、x1， y1），点 N的坐标为（ x2， y2） 点 M， N 在反比例函数yk （ k 0）的图象上，xx1y1k ， x2 y2k MEy 轴， NF x 轴， OEy1， OF x2 S EFM 1 x1y11 k ，22S 1x2y21k EFN2 2 S EFM SEF N由（ 1）中的结论可知：MN EF MNEF课堂练习达标训练1、若一次函数 y 2x 1 和反比例函数y k的图象都经过点（1， 1）（ 1）求反比例函数的解析式；2x（ 2）已知点 A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；（ 3）利用（ 2）的结果，若点B 的坐标为（ 2，0），且以点 A、 O

12、、 B、P 为顶点的四边形是;.平行四边形，请你直接写出点P 的坐标2、已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数 y= k 的图象交于点 A(3,2)x（ 1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（ 2）根据图象信息回答问题：在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于该正比例函数的值？（ 3） M(m,n) 是反比例函数图象上的一动点，其中0 m 3过点 M作直线 MN x 轴，交 y 轴于点 B；过点 A 作直线 AC y 轴交 x 轴于点 C，交直线 MB于点 D当四边形 OADM的面积为 6 时，求过点 M、A 的一次函数解析式和求出线段 MA 的长能力提升1、（育

13、才二模）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规;.不可能“三等分任意角”规进行三等分的 . 如图向 AOB 内部作等边. 但对于特定度数的已知角，如90°角、 45°角等，是可以用尺a， AOB90°，我们在边 OB 上取一点 C，用尺规以 OC 为一边 OCD ，作射线 OD，再用尺规作出 DOB 的角平分线 OE，则射线OD 、OE 将 AOB 三等分 . 仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b 中的 MON 三等分（已知 MON 45°） . （不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）MADEOCBON图 a

14、图 b数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角 AOB 置于直角坐标系中，边1的图象交于点 P，以 P 为OB 在 x 轴上、边 OA 与函数 yx圆心、 2OP 长为半径作弧交图象于点R. 分别过点 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线， 两直线相交于点 M，连接 OM 得到 MOB ，则 MOB 1 AOB . 要明白帕普斯的方法，请研究以3下问题：设 P(a, 1) 、 R(b, 1) ，求直线 OM 对应的函数关系式（用含a、 b 的代数式表示） .ab分别过点P 和 R 作 y 轴和 x 轴的平行线， 两直线相交于点Q. 请说明 Q 点在直线OM

15、上，并据此证明MOB 1 AOB .3图 c2. （ 2011 江苏镇江常州） 在平面直角坐标系 XOY 中，直线 l1 过点 A（ 1，0）且与 y 轴平行，直线 l2 过点 B（ 0，2）且与 x 轴平行，直线 l1 与直线 l 2 相交于点 P点 E 为直线 l2 上一点，反比例函数 错误！未找到引用源。 y k （ k 0）的图象过点 E 与直线 l1 相交于点 F x;.（ 1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值；（ 2）连接 OE OF EF 若 k 2，且 OEF 的面积为 PEF 的面积的 2 倍，求 E 点的坐标；（ 3）是否存在点 E 及 y 轴上的点 M，使得以点 M

16、 EF 为顶点的三角形与 PEF 全等？若存在，求 E 点坐标；若不存在，请说明理由考点： 相似三角形的判定与性质；反比例函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理专题： 分类讨论分析：（1）根据反比例函数中k=xy 进行解答即可；（ 2）当 k2 时，点 E F 分别在 P 点的右侧和上方，过E 作 x 轴的垂线EC，垂足为C，过 F 作 y 轴的垂线FD ，垂足为D， EC 和 FD 相交于点G，则四边形OCGD 为矩形，再求出 SFPE=错误！未找到引用源。 k2 k+1，根据 S OEF=S 矩形 OCGD S DOF S EGD S OCE 即可求出 k 的值，进而求出E 点坐标；（ 3）当 k 2 时，只可能是 MEF PEF ，作 FH y 轴于 H，由 FHM MBE 可求出 BM 的值，再在 RtMBE 中，由勾股定理得， EM2=EB2+MB 2，求出 k 的值，进而可得出E 点坐标；当 k2 时，只可能是MFE PEF ，作 FQ y 轴于 Q， FQM MBE 得， BM FQEM ，可求出BM 的值，再在Rt MBE 中，由勾股定理得，EM2= E