周长最小值专题(完整版师用)

1、.周长最小值专题（完整版师用）A. 线段和最小值两种基本模型如图，要在街道旁修建一个奶站 P，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站P 应建在什么地方，才能使从A，B 到它的距离之和最短？为什么？求线段和最小值的一般步骤：选点 P 所在直线 l 为对称轴；画出点 A 的对称点 A 连结对称点 A与 B 之间的线段，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求的点，线段 AB 的长就是 AP+BP 的最小值。基本解法 :利用对称性 ,将“折”转“直”.基础训练1. 如图 11，梯形 ABCD中，AD/BC，AB=CD=AD=1，B=60°，直线 MN为梯形 ABCD的对称轴， P 为 MN上一点，

2、那么 PC+PD的最小值为A. 1B.C.D.2试题分析：连接AC，与 MN 所得交点即为所求P 点，因为 D 与A 关于 MN 对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC 与 MN交点即为所求P 点。因为，所以，所以，所以，此时，所以，即2. 如图 4，菱形 ABCD中， AB=2， BAD=60°，E 是 AB的中点， P 是对角线 AC上的一个动点，则 PE+PB的最小值是 _。图 4分析：首先分解此图形，构建如图5 模型，因为E、B 在直线 AC的同侧，要在AC上找一点 P，使 PE+PB最小，关键是找出点B 或 E.关于 AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B 和

3、 D关于 AC对称，连结 DE，此时 DE即为 PE+PB的最小值，图 5图 6由 BAD=60°， AB=AD，AE=BE知，DE3232故 PE+PB的最小值为 3 。2.如图，已知点 A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧 AN的中点，点 P 是半径 ON上的动点，若 O的半径长为 1，则 AP+BP的最小值为_。P 位于 A B与 MN的交点处， AP+BP的值最小；作 A 关于 MN的对称点 A，根据圆的对称性，则 A必在圆上，连接 BA交 MN于 P，连接 PA，则 PA+PB最小，此时 PA+PB=PA+PB=AB，连接 OA、OA、 OB，.B. 三角形周长最小值1.

4、福建彰州）如图 4， AOB=45 °， P 是 AOB 内一点， PO=10，（福建彰州）如图 4， AOB=45 °， P 是 AOB 内一点， PO=10， Q、 R 分别是 OA 、 OB 上的动点，求 PQR 周长的最小值分析：点 P 是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线解：分别作点P 关于 OA 、 OB 的对称点P1、 P2，连结 P1P2，P1BRP根据轴对称性易知： OP1=OP2=OP=10， P1OP2=2 AOB=90 °，因而 P1P2= 2 10 ， OA

5、O Q故 PQR 周长的最小值为 2 10 P2图 42. 如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A(1，0) ，B(-3 ，0) 两点，（ 1）求该抛物线的解析式。（ 2）设（ 1）中的抛物线交 y 轴于点 C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC 的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。(3) 在第二象限的抛物线上是否存在一点 P，是 PBC的面积最大 ?若存在， 求出点 P 坐标及 PBC面积的最大值 ;若不存在，请说明理由重点分析第（ 2）问，要使 QAC的周长最小即 AC+CQ+QA最小，由于 AC长度一定，故只要 CQ+QA最小时，周长最小

6、。设抛物线的对称轴为直线 MN，则可分解出图形，构建模型，要在直线 MN上找点 Q，使 CQ+QA最小。由抛物线的对称性可知，点 A、点 B关于直线 MN对称，连结 BC交 MN于点 Q，只要找出点 Q的位置，其坐标不难求得。.3. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过 A （ 3，3.5）、 B（ 4， 2）、 C（ 0，2）三点，点 P 是 x轴上的动点（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如图甲所示，连接 AC 、CP、PB、BA ，是否存在点 P，使四边形 ABPC 为等腰梯形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点 H 是题中抛物线对称轴l 上的动点，如图乙所示，

7、求四边形AHPB 周长的最小值（ 1）利用待定系数法，将点 A ，B ， C 的坐标代入解析式即可求得；（ 2）根据等腰梯形的判定方法分别从PCAB 与 BP AC 去分析，注意不要漏解；.（3）首先确定点P 与点 H 的位置，再求解各线段的长即可解 ： 抛 物 线 y=ax 2 +bx+c过A（ 3， 3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，.B. 四边形周长最小值基本模型（一）定长不动：做双对称思路与方法1）总有两个已知点，即一条边是定值。2）分别做两个已知点关于xy 轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点3）此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最小。1. 在直角坐标系中 , 设 A（4，-5 ） B（ 8， -3 ）C（m，0）D