第2章 流体运动的基本方程

1、第2章 流体运动的基本方程流体运动极其复杂，但也有其内在规律。这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。2.1 连续方程2.1.1 微分形式的连续方程质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为，质量为，则根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立 (2-1)应用物质体积分的随体导数公式（

2、1-15b），则因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有 （2-2a）或 （2-3a）上式亦可以写成如下形式 （2-2b）或 （2-3b）式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为 （2-4）微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为 （2-5）即

3、密度应随质点运动保持不变。只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以在流动中随位置发生变化。只有满足式（2-5），质点密度才能保持不变。但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵（图2-1），含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图2-2），都是具有不同密度的不可压缩流动。在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动。图2-1 河口的海水入侵1图2-2 水库中的浑水异重流1对不可压缩均质流体，则不但，而是在全流场和全部时间内常数，因此，连续性方程简化为 （2-6a）以张量形式表示 （2-6b）以矢量表示（2-6c）即速度的散度为零。或写为（2-

4、6d）对不可压缩流体二元流，连续性微分方程可写为 （2-7）微分形式的连续性方程也可通过下面的方法推导。设想在流场中取一空间微分平行六面体（图2-3），六面体的边长为，其形心为A(x,y,z)，A点的流速在各坐标轴的投影为，A点的密度为。图2-3 微分平行六面体分析该六面体流体质量的变化。经一微小时段，自左面流入的流体质量为 ；自右面流出的流体质量为 ，故时段内沿x方向流入与流出六面体的流体质量差为同理，在时段内沿y和z方向流进与流出六面体的流体质量之差分别为 和 因此，在时段内流进与流出六面体总的流体质量的变化为因六面体内原来的平均密度为，总质量为；经时段后平均密度变为，总质量变为，故经过时

5、段后六面体内质量总变化为在同一时段内，流进与流出六面体总的流体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等，即两端除以后即得式（2-4）。2.1.2 积分形式的连续方程对式（2-1）应用物质体积分的随体导数公式（1-15a），则有 （2-8）这就是积分形式的连续性方程。 对于圆管或明渠一维恒定流动，因，则式（2-8）简化为 （2-9）上式的物理意义是，单位时间内流入和流出某一管段或某一明渠段的流体质量必相等。这个条件可简单地表示为 （2-10a）或 （2-10b）式中和为管段或明渠段的流入断面和流出断面的面积，和为上述两断面的平均速度。式（2-10）即为水力学中经常用到的总流的连续

6、性方程。该式说明，在不可压缩流体总流中，任意两个过流断面所通过的流量相等。也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流出多少流量。2.2 运动方程连续性方程是控制流体运动的基本方程之一，它只限于流体运动必须遵循的一个运动学条件。因此，还须从动力学角度提出流动必须满足的条件，即运动方程(equation of motion），这样才组成求解流动的最基本方程组。2.2.1 应力表示的运动方程以图1-9所示的流体中的微小六面体作为隔离体进行分析。微小六面体的质量为。作用在六面体上的表面力每面有三个：一个法向应力，两个切应力。设法向应力沿外法线方向为正，设包含A点的三个面上的切应力为负向，则包

7、含H点的三个面上的切应力必为正向。根据牛顿第二定律写出x方向的动力平衡方程式化简后得x方向的方程。同理可得方向的方程。则 （2-11a）上式就是以应力表示的粘性流体的运动微分方程式。这是流体运动方程最一般的表达形式。 写成张量形式 （2-11b）写成矢量形式 (2-11c）式中，表示单位体积上的惯性力；表示单位体积上的质量力；而则表示单位体积上的应力张量的散度。于是运动方程（2-11c）表明单位体积上的惯性力等于单位体积上的质量力加上单位体积上应力张量的散度。上述推导表明，流体运动方程即是牛顿第二定律在流体运动中的应用。因牛顿第二定律就是动量定律，因此运动方程有时也称动量方程。流体运动方程也可

8、从动量定理直接导出，下面进行推导。 任取一体积为的流体，它的边界为。根据动量定理，体积中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和表面力之和。以表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而为作用在单位面积上的表面力分布函数，则作用在上和上的总质量力和表面力为及，其次，体积内的动量是。于是动量定理可写成下列表达式 (2-12) 对上式左端项，利用质量守恒定律，有下式成立对上式右端第二项应用奥高定理，有下式成立其中是应力张量。于是式（2-12）变为 因任意，且假定被积函数连续，因此被积函数恒为零，得 （2-11c）上式也称为微分形式的动量方程，一般称为运动方程。2.2.2 纳维斯托克斯方程将不可压缩

9、牛顿流体的本构方程式 （1-41a）代入式（2-11b），并应用变形率张量 （1-23）则有 （2-13）对于不可压缩流体，则而其中，为拉普拉斯（Laplace）算子。将上式代入式（2-13），得 （2-14a）上式即是纳维斯托克斯(Navier-Stokes)方程，简称N-S方程。式中为运动粘滞系数，。或写成以下形式 （2-14b） （2-14c） （2-14d）式中，是哈密顿（Hamilton）算子，是压强梯度。在直角坐标系下，上述方程表述为 （2-14e）或（2-14f）上述N-S方程是不可压缩粘性流体的普遍方程。N-S方程中有四个未知数，因N-S方程组和连续性方程共有四个方程式，所以从

10、理论上讲是可求解的，但实际上由于数学上的困难，N-S方程尚不能求出普遍解。一般只能在简单的边界条件，并略去一些次要因素，才能求得解析解。随着计算技术的发展，一些复杂的流体运动的数值求解日渐完善。如果流体为理想流体，运动粘滞系数，则N-S方程即成为理想流体的运动微分方程，即Euler运动微分方程方程 （2-15a）或 （2-15b）如果流体为静止或相对静止流体，则N-S方程即成为流体的平衡微分方程，即Euler平衡微分方程方程： （2-16a）或 （2-16b）2.2.3 兰姆葛罗米柯方程在运动方程式（2-15）中，将加速度写成考虑到场论中基本运算公式我们有 （2-17）将惯性加速度写成上述形式

11、的优点在于它将中的位势部分和涡旋部分分开，这样做在解决具体问题时常常是方便的。将式（2-17）代入式（2-15），得 （2-18）这就是所谓得兰姆葛罗米柯（）形式的运动方程。2.3 动量方程 流体运动方程联同连续性方程原则上已可求解流动的流速分布和压强分布。进而，由流速分布通过本构方程求得切应力分布。通过积分即可求出某一作用面上流体合力，这常常是许多工程问题所需要寻求的。例如作用于水轮机叶片上的力，作用于火箭的合力，以及作用于螺旋桨的推力等。但工程上往往只关心总的合力，并不关心其分布情况。若按上述方法，工作量甚大，又非必需。而动量方程（动量的积分方程）则可以简单方便地解决这类问题。下面从动量定

12、理出发推导运动方程。与推导流体运动方程（微分形式的动量方程）的方法相同，任取一体积为的流体，它的边界面为。根据动量定理，体积中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和表面力之和。以表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而为作用在单位面积上的表面力分布函数，则作用在上和上的总质量力和表面力为及，其次，体积内的动量是。于是动量定理可写成下列表达式 (2-12)对上式左边应用物质体积分的随体导数公式（1-16）得 (2-19a)这就是积分形式的动量方程，一般称为动量方程(momentum equation)。式中，是表面外法线方向的速度分量。 把总质量力和表面力为及分别用和表示，则上式表示为 (

13、2-19b)这就是动量方程的普遍形式。式中左端第一项表示体积内流体动量随时间的变化率；第二项表示穿越边界面的动量流量。动量方程表明这两项矢量和等于作用于体积的外力的矢量和。为了应用方便，常采用直角坐标系投影形式的动量方程： (2-19c)对于恒定流动，动量方程左端第一项等于零，式（2-19b可简化为 (2-20a)在直角坐标系下的投影式（2-19c）可简化为 (2-20b)对于一元流动，因沿流动方向边界面的法向速度为零，故穿越边界面的动量流量只有，动量变化只考虑进流和出流两过流断面。若进流和出流两过流断面1和2的动量分别用其断面平均流速和表示，引入动量修正系数和，其动量分别表示为和，因此一元恒

14、定流动量方程可写为 （2-21）对于没有流量汇入与流出的一元恒定流动，考虑连续性方程，并令作用于总流段上所有外力的合力，则上式写为 （2-22a）这就是在水力学或流体力学中常用的一元恒定总流的动量方程矢量形式。它的投影形式为 （2-22b）2.4 能量方程 原则上讲，联合求解运动方程和连续方程可以得到不可压缩流体的流场各点的流速和压强，但当不可压缩流体需考虑温度或能量变化，则还需要另一个基本方程，即能量方程。2.4.1 积分形式的能量方程将能量守恒定律具体应用于流体运动即得流体运动的能量方程。实际流体有粘性，粘滞切应力作功而消耗机械能，这些机械能是以转化为热能的方式而耗损的，所以能量守恒的关系

15、对于实际流体来说应同时考虑机械能和热能在内。在流场中任取一控制体，其界面为，体积为。对于该流体，能量守恒定律可表达为：体积内流体总能量的变化率等于单位时间内由外界传入该流体的热量加上外力对该流体所作的功。表述如下 ¡ （223）式中，为体秏内流体的总能量；串单位斲间内由外界传入流佑的热量；串同一时段内外力对流所作的功。具体刂析如1流具有的能量运动流体的能量包括内胝、动能和势能三槍形弇。内能搯指倓子运动的动能和分子间结合的胼量，它随温度而变匒。位贀体所含月的内能用表示。若质量为 EMBED Equation.3 的流体，其速度丒，则储能为，因单位质醎的动能为。劷ý捅亐于保守劚

16、场。一般情况下，作用于流场的保守力是重力场，因而流佒的势胼取决于位置的高度。设 EMBED Dquation.3 为某一个基准面以上的高程，刑匑位质量的势能只衠示为。则单位质量汁的胝醏可備丸 （2-25）因此，体秮为、密庆为XXX犄体恀具有的能量可写为 （226）能量 （2-32）对一元浀流动的两个迃流断面1和2间的流体，考虑到沿流动方向的边界面上的法向速度等于零，并刡用元流的连窭性方程，而且当不考虑渡度的变化时，过流面1和2的内能相等，因此由式（2-12得û （2-33）这就是不可压缩理想楁体恒定元流的伯努倩樋能醏斩爋。对于所研究的流体中没有转动部件时，转轴功为零。重力作功可以作为

17、势能包括在能量颶里，也可以作为重力功包括在功的项里。在式（2-31a）的推导过程中，是把重力作功作为势能计入在能量项的，若把把重力作功计入到功的项里，则式(2-31a)可写为 （2-31b）这里需要注意的是，式（2-31b）中的单位质量力包括重力以及重力以外的质量力。若把法向应力和切向应力用应力张量表示，设微元面积，其外法线单位矢量为，可计为，该微元面所受表面力为，整个表面上所受表面力为。因此上式可写为 （2-31c）2.4.2 微分形式的能量方程 利用积分形式的能量方程式（20-31c）可推导出微分形式的能量方程。利用高斯公式，把式（2-31c）中的面积分转化为体积分，则代入式（2-31a）得应用体积的任意性，得到 （2-34a）或写为 （2-34b）这就是微分形式的能量方程。在直角坐标系中，式（2-34a）成为 （2-34c）将式（2-34c）右端应力与速度乘积的导数项展开，经整理并项并利用式（2-11a），则式（2-34a）简化为 （2-34d）对于大多数流体，有 （2-35）引入扩散系数（导温系数） （2-36）式中为定容比热；为定压比热。对于液体，两种比热接近相等，设为，并将式（2-34d）的各应力作功综合表示为，为液体的动力粘滞系数，称为耗散函数，则式（2-34d）可写为