连续函数的性质PPT学习教案

1、会计学1连续函数的性质连续函数的性质1 1、连续函数的四则运算性、连续函数的四则运算性(2)( )( ),f xg x (1)( )( ),f xg x ( ),( )f xg x若函数若函数定理定理则函数则函数连续连续均在点均在点,0 x0(4)( )/ ( ),()0f xg xg x(3)( )( ),f xg x 0.x在在点点也也是是连连续续的的第1页/共19页00,().uf x 连连续续0( ( ).g f xx则复合函数在点连续则复合函数在点连续,01 存在存在01|,uu 当当时时 有有0| ( )()|,g ug u 证证 ,0 因此对于任意的因此对于任意的0( ),g u

2、u由由于于在在点点连连续续01( ),0 ,f xx 又又因因为为在在点点连连续续故故对对上上述述00,|,xx存存在在当当时时有有0( )g uu在在点点0( )f xx若若函函数数在在点点连连续续，定理22 2、复合函数的连续性、复合函数的连续性第2页/共19页001|( )()| |,f xf xuu 00| ( ( )( ()| | ( )()|,g f xg f xg ug u 于是于是0( ( ).g f xx这这就就证证明明了了在在点点连连续续第3页/共19页3、连续函数的局部有界性、连续函数的局部有界性0|( )|()| 1.f xf x0|,xx 当当时时0|( )()|1,

3、f xf x故故0fx因为在连续，因为在连续，存在存在所以对所以对,1 证证,0 0().fU x在在某某邻邻域域上上有有界界连连续续，在在点点若若函函数数0 xf定理定理4（局部有界性）（局部有界性）则则这就证明了0().fU x在在某某邻邻域域上上有有界界第4页/共19页4 4、连续函数的局部保号性、连续函数的局部保号性) 0)(0)(xfxf或0,fx若若函函数数在在点点连连续续 且且定理定理3（局部保号性）局部保号性）则则, )0)(0)(00 xfxf或或0, 0 xxx第5页/共19页 均有均有使得对一切使得对一切存在存在,0DxDx ),)()()()(00 xfxfxfxf 定

4、义定义( ).f xD设设为为定定义义在在数数集集上上的的一一个个函函数数若若( )(),f xD则则称称在在 上上有有最最大大 小小 值值0()x 称称为为最最大大 小小 值值0()( )().f xf xD称称为为在在 上上的的最最大大 小小 值值点点, ,一、最大(小)值的定义第6页/共19页1.闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质定理定理（最大、最小值定理） ( )f x若若函函数数在在闭闭区区 , a b间上连续，间上连续，( ) , .f xa b则则在在上上有有最最大大、最最小小值值定理定理 ( (有界性有界性) )(,)(xfbaxf则则上上连连续续在在闭闭区区间间若若函函

5、数数.,上有界上有界在在ba第7页/共19页 引理引理（零点定理）零点定理）,)(上连续上连续在在若若baxf0)(0 xf则至少存在一点则至少存在一点,0)()( bfaf,0 x使使xyOab第8页/共19页定理定理（介值性定理）（介值性定理）,)(baxf在闭区间在闭区间设函数设函数( ( )( )( )( ),f af bf bf a间间的的任任一一数数或或.)(0 xf. )()(bfaf 且且( )( )f af b 若若 是是介介于于与与之之上连续上连续, ,使得使得, ),(0bax 则则( (至少至少) )存在一点存在一点第9页/共19页定理定理（介值性（介值性),)(bax

6、f在闭区间在闭区间设函数设函数( ( )( )( )( ),f af bf bf a间间的的任任一一数数或或.)(0 xf. )()(bfaf 且且( )( )f af b 若若 是是介介于于与与之之上连续上连续, ,使得使得, ),(0bax 则则( (至少至少) )存在一点存在一点yxo)(af)(bf ab0 x( )yf x第10页/共19页证证 不妨设不妨设 f (x) 严格增严格增, 那么那么 )(, )(bfaf就是反就是反上连续上连续, 且与且与 f (x) 有相同的单调性有相同的单调性.)(1xf 定理定理4.8 若函数若函数 f (x) 在在a b , 上严格单调且连续上严

7、格单调且连续,1( ) ( ) ,( )yfxf af b 在在f bf a ( ) ,( )或或则反函数则反函数函数的定义域函数的定义域.)(1yfx 1( )( ) ,( )xfyf af b 在在上上严严格格增增1. 加加第11页/共19页2. 1( ) ( ),( ).xfyf af b 在在上上连连续续(如图所示如图所示).0bxa 则则),()(0bfyaf , )(010yfx 令令,0y对于任意对于任意Oxyab( )f a( )f b0 x0y每一每一对应对应1y2y0 x 0 x 任给任给取取m in2001,y y y y 对应对应第12页/共19页),()()(2111

8、1yfyfyf .)()(0101 yfyyf即即时，时，当当)()(2001yyyyy 请读者类似地证明该函数在端点的连续性请读者类似地证明该函数在端点的连续性. 1( )( ),( )xfyf af b 在在这就说明了这就说明了上连续上连续., )(, )(0201 xfyxfy, 0,min1002 yyyy 令令设设,00bxxa 对于任意的正数对于任意的正数第13页/共19页且严格增且严格增. 关于其它的反三角函数关于其它的反三角函数,cotarc,arctan,arccosxyxyxy 均可得到在定义域内连续的结论均可得到在定义域内连续的结论.例例( )sin22f xx由由于于在

9、在，上上连连续续且且严严格格增增， 因此它的反函数因此它的反函数arcsin 1 ,1yx 在在上也是连续上也是连续严格增严格增.例例()0)nyxn 由由于于为为正正整整数数 在在，上上连续且严连续且严在上亦为连续且在上亦为连续且nxy1 格增格增, 那么其反函数那么其反函数),0第14页/共19页我们已经知道以下函数在定义域内是连续的我们已经知道以下函数在定义域内是连续的(i) 常值函数常值函数; (vi) 对数函数对数函数.(v) 指数函数指数函数;(iv) 幂函数幂函数;(iii) 反三角函数反三角函数;(ii) 三角函数三角函数;第15页/共19页以上六种函数称为基本初等函数以上六种

10、函数称为基本初等函数. 因为连续函数因为连续函数由上面的分析由上面的分析, 我们得到如下结论：我们得到如下结论：定义定义 由基本初等函数经过有限次四则运算与复由基本初等函数经过有限次四则运算与复上是连续的上是连续的. 合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面合运算所产生的函数称为初等函数合运算所产生的函数称为初等函数. 第16页/共19页例例 求极限求极限.cos)1ln(lim0 xxx . 00cos)01ln(cos)1ln(lim0 xxx定理定理 初等函数在其有定义的区间上是连续的初等函数在其有定义的区间上是连续的. 解解 因为因为xxcos)1ln( 是初等函数是初等函数, 所以在所以在 处连续处连续,0 x 从而从而第