北京交通大学电磁波教案

1、电磁场与电磁波课程教学大纲   课程编号：适用专业： 课程层次：本科学位课学 时 数：64 学 分 数：4执 笔 者： 李一玫 编写日期： 2003年12月22日 一、课程的任务和教学目标 本课程是为电子通信类本科生开设的专业技术基础课，具有较完整的理论体系和较高的实用价值。通过本课程的学习，学生应全面了解电磁场的理论体系，基本掌握分析和计算电磁场的系统方法，进一步提升空间思维能力和数学计算能力，并对基本的电磁场和电磁波的分布有正确的理解和认识。二、课程教学内容和学时分配 第一章   矢量分析 8学时 重点：直角坐标、圆柱坐标和球坐标的矢量微积分计算； 

2、       难点：梯度、散度、旋度的物理意义。第二章   静电场 12学时 重点：静电场的基本理论、分析方法和基本计算；         难点：有关介质极化问题的计算、边界条件的正确应用以及场和源之间的计算。第三章   恒定电场 4学时 重点：恒定电场的基本理论和静电比拟的分析方法； 难点：电流密度和电导的有关计算。第四章   恒定磁场 10学时 重点：恒定磁场的基本理论和基本计算；  

3、;      难点：磁场的计算和电感的计算。第五章   边值问题 8学时 重点：分离变量法、镜像法；        难点：分离变量法。第六章   时变电磁场 11学时 重点：麦克斯韦方程组、边界条件和坡印廷定理； 难点：无源区电磁场的互求和坡印廷矢量的计算及其物理意义。第七章   平面波 11学时 重点：均匀平面波在各媒质中的传播特性及垂直入射问题；     

4、0; 难点：均匀平面波的解的数学描述及其意义、波的极化的判定和良导体表面损耗功率的计算。三、课程教学安排及要求 教学时间每周4学时，共计16周结课。教学环节主要包括：课堂讲授、作业和答疑。其中，课堂讲授采用多媒体电子教案包含文字、公式、图片、动态演示、动画播放、实物及照片展示等，约占5860学时，课件的演示约占0.5课时，习题课约占4课时；作业方面主要要求通过做习题进一步理解和掌握所学概念、定义、定理及定律，重在对不同的边界条件做具体灵活的应用，并掌握一定的计算技巧。全课程总作业量约90110题，以计算题为主，约占90，兼有少量推导题和讨论题，约占10。答疑每周2学时。四、课程的考核 课程考核

5、以期终考试为主，可选择闭卷考试和半开卷考试两种方式。闭卷考试计算步骤、应用公式所占分值约70，计算结果约占30；半开卷考试允许学生带一张A4纸，计算步骤、应用公式所占分值应低于闭卷考试。平时作业在课程成绩中约占1520。 五、本课程与其它课程的联系与分工 本课程的先修课：大学物理，高等数学等 本课程的后续课：微波、天线、电波传播、电磁兼容等 六、建议教材及教学参考书 建议教材：电磁场与电磁波理论基础中国铁道出版社 陈乃云主编 2001年第一版建议教参：电磁场与电磁波 高等教育出版社 谢处方等主编 1999年第三版教学重点 第一章 矢量分析第一章 矢量分析 基本内容 深刻理解标量场和矢

6、量场的概念； 深刻理解散度、旋度和梯度的物理意义并熟练计算这三个度； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容 重点内容 在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。   第二章  静电场第二章 静电场 基本内容 （1）掌握静电场各基本物理量的名称、单位和意义；（2）了解库仑定律的内容并会计算两个点电荷间的作用力；（3）了解介质极化的本质和模型，并会计算极化电荷；（4） 熟练使用静电场的基本方程和边界条件求解电场；（5）熟练使用电位方程求解一维场的解；（6）一

7、般了解格林定理和唯一性定理；会计算常见电容器的电容；（7） 一般计算静电能和静电力 重点内容 熟练利用直接积分法、高斯定律、解电位方程等解决源和场的互求问题，并计算常见电容器的电容。  第三章  恒定电场 第三章 恒定电场 基本内容 掌握电流密度的概念和计算； 了解电流连续性方程及其物理意义； 掌握恒定电场的基本方程及边界条件，并熟练计算电场、电流和电荷分布； 利用静电比拟法计算电导。 重点内容 掌握各种电流分布下电流密度与电流强度的计算；利用静电比拟法计算电导  第四章  恒定磁场 第四章 恒定磁场 基本内容 （1）掌握恒定磁场各基

8、本物理量的名称、单位和意义；（2）了解安培力定律的内容并会计算两个电流间的作用力；（3）会使用比奥-沙伐定律计算对称分布的磁场；（4）了解介质磁化的机理和模型，并会计算磁化电流；（5）熟练使用恒定磁场的基本方程和边界条件求解磁场；（6）一般了解矢量磁位和标量磁位并会进行简单计算；（7）会计算互感和自感；一般计算磁场能和磁力 重点内容 熟练利用比奥-沙伐定律、安培定律解决源和场的互求问题，并计算常见元件的互感和自感。 回到页首>>  第五章  边值问题第五章 边值问题 基本内容 分离变量法和静像法的应用和计算  重点内容 直角坐标的分离变量法；

9、直角坐标、球坐标的镜像法  第六章  时变电磁场第六章 时变电磁场 基本内容 掌握法拉第电磁感应定律的内容并会计算；了解位移电流的假说；熟记麦克斯韦方程及边界条件；熟练使用麦克斯韦方程和边界条件求解电磁场；熟练使用波动方程求解电磁场的解；一般了解矢量位和标量位； 熟练使用复数形式表示和计算正弦电磁场； 了解玻印廷定理的内容并熟练计算波印廷矢量。   重点内容 熟练利用麦克斯韦方程、边界条件解决正弦电场和磁场的互求问题及源分布，并熟练计算玻印廷矢量。 到页首>>  第七章  平面波第七章 平面波 基本内容

10、 了解电磁波的基本概念；熟练掌握均匀平面波在无耗及有耗媒质中的解及其传播特性；熟练计算；波长、频率、相速、相移常数、本征阻抗；掌握电磁波的三种极化状态，并会判别；熟练掌握均匀平面波的垂直入射问题；一般掌握均匀平面波的斜入射问题。 重点内容 熟练掌握均匀平面波及其所有参数的计算，掌握趋肤效应的概念及趋肤深度、良导体的损耗功率的计算，掌握垂直入射的计算。 参考作业 第一章 矢量分析1.1 给定三个矢量A，B和C如下： A =axay2az 3 B=ayaz C=axaz求（1）aA；（2）AB；（3）A·B；（4）qAB；（5）A在B上的分量； （）A´C；（7）A&

11、#183;（B´C）；(8)( A´B)´C和A´(B´C) 答案 1.2 三角形的三个顶点为P1 (0,1,-2)、P2 (4,1,-3)和P3(6,2,5)。 （1） 判断P1 P2 P3是否为一直角三角形； （2）  求三角形的面积。 答案1.3 求P(, 1, 4 )点到P(2, 2, 3 )点的距离矢量R, R的方向如何? 答案1.4 给定两矢量A= axay2az3和B=ax 4ay5az6,求它们间的夹角和A在B上的分量。答案 1.5 给定两矢量A= ax2ay3az4和B=ax6ay4az,求A´B在Caxa

12、yaz上的分量。 答案1.6 证明：如果A·B = A·C和A´B = A´C, 则B = C。 答案1.7         如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p= A·X而P= A´X，p和P已知，试求X。 答案1.8         圆柱坐标中，一点的位置由（4，2/3，3）定出，求该点在（1）直角坐标中；（）

13、60;    球坐标中的坐标。 答案1.9 用球坐标表示的场E=ar（25/r2），（1）  求在点（3，4，5）处的| E |和Ex；（2）  求E与矢量Baxayaz构成的夹角。 答案1.10球坐标系中两个点(r1, q1, j1)和(r2, q2, j2)定出位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为 cos=sinq1sinq2cos（j1j2）cosq1cosq2提示：cos= R1·R2/R1R2，在直角坐标中计算R1·R2。 答案1.11一球面S的半径为5, 球心在原点上, 计算 ( ar 3sinq)

14、·dS的值。 答案1.12 在由r=5，z=0和z=4围成的圆柱形区域, 对矢量A= ar r2az2z验证散度定理。答案1.13          求(1) 矢量A = axx2ay(xy)2az 24x2y2z3的散度；（2）求Ñ·A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。答案1.14          计算矢量r对一个球心在原点半径a的球

15、表面的积分，并求Ñ·r对球体积的积分。答案1.15          求矢量A=axxayx2az y2z沿xy平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合。再求Ñ´A对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。 答案1.16          求矢量A=axx2ay xy2沿圆周x2y2=a2的线积分，再计算Ñ´A对此圆面

16、积的积分。答案1.17          证明：（1）Ñ·R=3，（2）Ñ´R=0，（3）Ñ（A·R）=A其中R=axxay yazz，A为一常矢量。 答案1.18          一径向矢量场用F =arf（r）表示，如果Ñ·F=，那么函数f（r）会有什么特点呢？答案1.19     

17、     给定矢量函数E=axyayx，计算从点P1（2，1，-1）到P2（8，2，-1）的线积分：E·dl（1）沿抛物线x=2y2；（2）沿连接该两点的直线，这个E是保守场吗？答案1.20          求标量函数=x2yz的梯度及在一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量ax 1/3ay2/3az2/3定出；求（2，3，1）点的导数值。 答案1.21        &#

18、160; 试采用与推导（1.46）式相似的方法推导(1.63)式。 答案1.22          方程 u= 给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 答案1.23三个矢量A,B,C A = ar sinqcosjacosq cosjajsinj B= arz2 sinjajz2 cosjaz 2rz sinj C = ax (3y22x)ayx2az2z(1)  哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示；哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示；(2)  求出这些矢量的源分布。 答

19、案1.24利用直角坐标，证明 Ñ·（f A）= fÑ·AA·Ñf 答案1.25 证明 Ñ· (A×H)= H·Ñ´AA·Ñ´H 答案 1.26 利用直角坐标，证明Ñ´（fG）=fÑ´GÑf´G 答案 1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更广泛的意义下证明Ñ´ (u)=0及· (Ñ´A)=0。试证明之。 答案提示：利用证明对任意表面S

20、，òsÑ´(Ñu) ·dS=cÑu·dl=0和证明对于任意闭合面包围体积，òt Ñ·(Ñ´A)d= (Ñ´A) ·dS=0 第一章 矢量分析 习题答案 1.解：(1)aA=A¤A=(ax+ay2-az3)¤ (2) |A-B|= (3) A·B=-11 (4) cosqAB= A·B¤AB=-11¤ qAB »135.5° (5) AB=A cosqAB = -11&

21、#164; (6) A´C=-ax4-ay13-az10 (7) A·(B ´C)= A´B·C= -42 (8) (A´B)´C=ax2-ay40+az5 A´(B´C)=ax 55-ay 44- az 11 返回2.解：(1)P12= ax4-az P23= ax 2+ay +az 8 P12·P23=0 Þ P12 P23 DP1P2P3是直角三角形 (2)S= P12·P23¤2=17.12 返回3.解：R=RP-RP¢= ax 5-ay 3-az

22、 aR=R¤R= (ax 5-ay 3- az )¤ 返回4.解：cosqAB= A·B¤AB»0.365 qAB»68.56° AB=A cosqAB »1.3676 返回5.解：A´B= ax13+ ay22+az10 (A´B)C= (A´B)·C ¤ C»-14.43 返回6.解：法(一)：对A´B= A´C两边取A的叉乘： A´(A´B)= A ´(A´C) (A·B)A-(A

23、·A)B= (A·C) A-( A·A)C 将A·B= A·C代入即得B=C 法(二):：A·B= A·C Þ A·(B-C)=0 Þ A (B-C) A´B= A´C Þ A´(B-C)=0 Þ A/ (B-C) 只有B-C=0即B=C 法(三)： A·B= A·C Þ A·(B-C)=0 ÞA| B-C| cosq=0 A´B= A´C Þ A´(B-C

24、)=0 Þ A| B-C| sinq=0 两式平方相加: A2| B-C|2=0： B=C 法(四)：A·B= A·C Þ ABcosq1= ACcosq2 A´B= A´C Þ ABsinq1 = ACsinq2两式相比，得：tanq1=tanq2 q1、q20, q1=q2 B= C又由A´B= A´C可知B、 C在A的同侧 B= C 返回 7.解：P=A´X Þ A´P= A´(A´X) = (A·X)A-( A·A)X 代入p=

25、 A·X得 A´P= p AA2X X= (p A- A´P)¤A2 返回8.解：(1)在直角坐标中： x=rcosq=2 y=rsinq=2 z=3 (-2,2 ,3) (2)在球坐标中： rs=(x2+y2+z2)1¤2=5 q=tg-1(r¤z) »53.1° j=tg-1(y¤x)=120° (5,53.1°,120°) 返回9.解：(1) r2=x2+y2+z2=(-3)2+42+(-5)2=50 E=25¤r2=0.5 Ex=E x¤r

26、7;-0.2121 (2) E=Ear=(axx+ayy+azz)¤r=(-ax3+ay4-az5)¤ cosq=E·B¤EB»-0.8955 q»98.2° 返回10.证：球坐标与直角坐标的关系为 x=rsinqcosj y=rsinqsinj z=rcosq 因此，在直角坐标中， R1=ax r1sinq1cosj1+ay r1sinq1sinj1 +az r1cosq1 R2=ax r2sinq2cosj2+ay r2sinq2sinj2 +az r2cosq2 cosg= R·R2¤R1R2 =(

27、 r1sinq1cosj1 r2sinq2cosj2+ r1sinq1sinj1 r2sinq2sinj2+ r1cosq1 r2cosq2)¤r1r2 = sinq1sinq2(cosj1cosj2+ sinj1sinj2)+ cosq1cosq2 = sinq1sinq cos(j1-j2)+ cosq1cosq2 返回11.解：s (ar3 sinq)·dS=s 3sinqdSr = 3 sinqr2 sinqdqdj=75p2 返回 12.解：Ñ·A=1¤r ¶(rAr)¤¶r+1¤r ¶

28、;Aj¤¶j+¶Az¤¶z=3r+2 òtÑ·Adt= (3r+2)rdrdzdj=1200p s A·dS=s r2dSr+2zdSz= r2 rdzdj+ 2zrdrdj=1200p òtÑ·Adt=s A·dS 从而验证了散度定理。 返回13.解：(1) Ñ·A=¶(Ax)¤¶x+ ¶Ay¤¶y+¶Az¤¶z=2x+2x2y+72x2y2z2 (2)

29、òtÑ·Adt= (2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=1¤24 (3)s A·dS=ò(Ax½x=0.5-Ax½x=-0.5)dydz+(Ay½y=0.5-Ay½y=-0.5)dxdy+(Az½z=0.5-Az½z=-0.5)dxdy =1¤24 òtÑ·Adt=s A·dS 返回 14.解：s r·dS= r r2 sinqdqdj=4pa3 òtÑ·rdt=ò

30、t1¤r2 ¶(r2 r)¤¶r r2 sinqdrdqdj=4pa3 返回15.解：c A·dl=c Ax dx+ Aydy+ Azdz = Ax½y=0dx+ Ay½x=2dy+ Ax½y=2dx+ Ay½x=0dy=8 Ñ´A=ax2yz+az2x òsÑ´A·dS= ( ax2yz+az2x)·azdxdy=8 c A·dl= òsÑ´A·dS 从而验证了斯托克斯定理。 返回16

31、.解：x=rcosq y=rsinq dl=adqaq aq=-axsinq+aycosq c A·dl= (axx2ay xy2)·a(-axsinq+aycosq)dq = (-a2cos2qsinq+a3cosqsin2qcosq)adq=pa4¤4 Ñ´A=azy2=azr2sin2q òsÑ´A·dS= azr2sin2q·azrdrdq=pa4¤4 c A·dl= òsÑ´A·dS 返回17.证：(1)Ñ 

32、3;R=¶Rx¤¶x+¶Ry¤¶y+¶Rz¤¶z=3 (2)Ñ´R=0 (3) Ñ(A·R)= Ñ(xox+yoy+z0z)=axx0+ayy0+azz0=A 返回18.解：Ñ·F=1¤r2 ¶(r2Fr)¤¶r=0 ¶r2 f (r)¤¶r=0 r2 f (r)=c f (r)=c¤ r2 返回19.解：(1) òc1E·dl=

33、2;c1( axyayx) ·( axdxaydy)= òc1ydxxdy = (y4ydy+2y2dy)=14 (2)直线方程为x-6y+4=0 并有dx=6dy òc2E·dl=òc2( axyayx) ·( axdxaydy)= òc2ydxxdy = y 6dy+(6y-4)dy=14 Ñ·E=¶y¤¶x+ay¶x¶y=0 这个E是保守场。 返回20.解：Ñy=ax¶y¤¶x+ay¶y¤&

34、#182;y+az¶y¤¶z= ax2xyz+ayx2z+azx2y 方向导数dy¤dl=Ñy·al= (6xyz+4x2z+5x2y) ¤ dy¤dl½(2,3,1)=112¤ 返回21.解：球坐标中的Ñ算符为 Ñ=ar¶¤¶r+aq¤r ¶¤¶q+aj¤rsinq ¶¤¶j ¶ar ¤¶r=0 ¶ar¤¶

35、q=aq ¶ar¤¶j=ajsinq ¶aq¤¶r=0 ¶aq¤¶q= -aj ¶aq¤¶j=ajcosq ¶aj ¤¶r=0 ¶aj¤¶q=0 ¶aj¤¶j= -arsinq -aqcosq Ñ·A=( ar¶¤¶r+aq¤r ¶¤¶q+aj¤rsinq ¶¤

36、2;j)·( arAr+ ar¶¤¶r+aqAq+ajAj) = ar·( ar¶Ar¤¶r +Aq¶ aq¤¶r +aq¶Aq¤¶r +Aj¶aj ¤¶r+aj¶Aj¤¶r) + aq¤r·( Ar¶ar¤¶q+ ar¶Ar¤¶q+ Aq¶aq¤¶q+aq¶Aq¤&#

37、182;q+Aj¶aj¤¶q) + aj¤rsinq ·(Ar¶ar¤¶j+ ar¶Ar ¤¶j+Aq¶aq¤¶j+aq¶Aq¤¶j+Aj¶aj¤¶j+aj¶Aj¤¶j) =(¶Ar¤¶r+2¤r Ar)+(1¤r ¶Aq¤¶q+ cosq¤rsinq Aq)+1¤rs

38、inq ¶Aj¤¶j =1¤r2 ¶(r2Ar)¤¶r+1¤rsinq ¶(sinqAq)¤¶q+1¤rsinq ¶Aj¤¶j 返回22.解：Ñu=ax2x¤ a2+ay2y¤ b2+az2z¤ c2 n=Ñu¤½Ñu ½= (ax2x¤ a2+ay2y¤ b2+az2z¤ c2)(x2¤ a4+y2¤ b4

39、+z2¤ c4) -½ 返回23.解：(1)Ñ´A=0 Ñ·A=0 Ñ´B=0 Ñ·B=2rsinj Ñ´C=az(2x-6y) Ñ·C=0 AB可由一个标量函数的梯度表示； AC可由一个矢量函数的旋度表示。 (2)rA=0, JA=0 rB=2 rsinj JC=az(2x-6y) 返回24.证：fA=axfAx+ayfAy+azfAz Ñ·(fA)=¶( fAx)¤¶x+¶(fAy)¤

40、;¶y+¶(fAz)¤¶z =Ax¶f¤¶x+ f ¶Ax ¤¶x+Ay¶f¤¶y+f¶Ay ¤¶y+Az¶f¤¶z+f¶Az ¤¶z =f(¶Ax ¤¶x+¶Ay ¤¶y+¶Az ¤¶z)+( Ax¶f¤¶x+ Ay¶f¤¶y+

41、 Az¶f¤¶z) =fÑ·A+A·Ñf 返回25.证：Ñ´A=ax(¶Az ¤¶y-¶Ay ¤¶z)-ay(¶Az ¤¶x-¶Ax ¤¶z)+az(¶Ay ¤¶x-¶Ax ¤¶y) A´H= ax(AyHz-Az Hy)-ay(AxHz-Az Hx)+az(AxHy-Ay Hx) Ñ·(A

42、0;H)= ¶(AyHz-Az Hy) ¤¶x-¶(AxHz-Az Hx) ¤¶y+¶(AxHy-Ay Hx)¤¶z = Hz¶Ay ¤¶x+ Ay¶Hz ¤¶x-Hy ¶Az ¤¶x -Az ¶ Hy ¤¶x-Hz¶Ax ¤¶y-Ax¶Hz ¤¶y + Hx¶Az ¤¶y+Az¶ Hx

43、¤¶y+Hy¶Ax ¤¶z+Ax¶Hy ¤¶z- Hx¶Ay ¤¶z-Ay ¶ Hx¤¶z =(¶Az ¤¶y-¶Ay ¤¶z) Hx-(¶Az ¤¶x-¶Ax ¤¶z) Hy+az(¶Ay ¤¶x-¶Ax ¤¶y) Hz = -(¶Hz ¤¶y-&

44、#182;Hy ¤¶z)Ax+ (¶Hz ¤¶x-¶Hx ¤¶z) Ay- az(¶Hy ¤¶x-¶Hx ¤¶y) Az =H·Ñ´A- A·Ñ´H 返回 26.证：fG=ax fGx+ay fGy+az fGz ¶¤¶ Ñ´(fG)= ax¶ (fGz) ¤ ¶y-¶(fGy) ¤¶z

45、-ay¶(fGz) ¤¶x-¶(fGx) ¤¶ z+az ¶(fGy) ¤¶x-¶(fGx) ¤¶ y = ax(Gz¶f ¤ ¶y +f¶Gz ¤ ¶y-Gy¶f ¤¶z - f ¶Gy ¤¶z-ay(Gz¶f ¤¶x+f¶Gz ¤¶x-Gx¶f ¤¶z-f¶

46、;Gx ¤¶z) + az(Gy¶f ¤¶x+ f¶Gy ¤¶x-Gx¶f ¤¶y-f¶Gx ¤¶y) =f ax(¶Gz ¤¶y-¶Gy ¤¶z -ay(¶Gz ¤¶x-¶Gx ¤¶z)+az (¶Gy ¤¶x-¶Gx ¤¶y) + ax(Gz¶f¤

47、82;y-Gy¶f ¤¶z)-ay(Gz¶f ¤¶x-f¶Gx ¤¶z)+az(Gy¶f ¤¶x-f¶Gx ¤¶y) =fÑ´G+(ax¶f¤¶x+ay¶f¤¶y+az¶f¤¶z) ´G = fÑ´G+Ñf´G 返回 27.证：(1)取任意表面S设其边界曲线为c，则根据斯托克斯定理，有 &

48、#242;sÑ´(Ñu) ·dS=cÑu·dl 由梯度与方向导数的关系得 du=Ñu·dl 代入上式得 òsÑ´(Ñu) ·dS=cdu=0 由于S面是任意取的，Ñ´(Ñu)=0 (2)任取一闭合面S，设其包围的体积为t，则由散度定理有 òt Ñ·(Ñ´A)dt =sÑ´A·dS 现将S分为两部分S1和S2，则其分界线为闭合曲线c。由于S1、S2的方向是S的

49、外法向，按照绕行方向与面积方向应满足右手关系的原则，c在S1上的绕行方向与在S2上的相反。因此，利用斯托克斯定理，有 sÑ´A·dS=s1Ñ´A·dS+s2Ñ´A·dS =cA·dl-cA·dl=0 由于S面是任意取的，因此t也是任意的，所以有 Ñ·(Ñ´A)=0 返回      回到页首>>  第二章 静电场 2.1 两点电荷q1=，位于Z轴上Z=4点，q2=，位

50、于y轴上y=4点，求(4,0,0)点的电场强度。 答案 2.2 一半径a的圆环，环上均匀分布电荷，密度为lC/m，求轴线上任一点的电场。答案 2.3 将上题中的圆环改为半圆环，电荷密度为lC/m，求圆心处的电场。答案 2.4 三根长度均为L，均匀电荷线密度分别为l1, l2和l3的线电荷构成等边三角形。设l1=2l2=2l3，计算三角形中心处的电场。答案 2.5 半径a的球中充满密度(r)的电荷，已知电场为 Er= 求电荷密度(r)。答案 2.6 电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中，密度为C/m3，两圆柱半径分别为及,轴线相距C且<，如图所示。求空间各部分的电场强度。答案 2.7 长

51、度为L的线电荷带有均匀电荷密度l, (1)计算线电荷平分线上的； (2)由库仑定律直接计算平分面上的E,并用Ñ核对。答案 2.8 计算在电场E=axyayx中把C的电荷从(2,1,-1)移到(8,2,-1)所做的功: (1)沿曲线=y2；(2)沿连接该两点的直线。答案2.9 卢瑟福在1911年采用的电子模型是半径的球体积中均匀分布总电量为Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze，其中Z是原子序数，e是质子电量，他得到的原子内电场和电位的表示式为 E=ar 试证明之。答案2.10 计算一个均匀分布电荷的圆盘轴线上任一点的电场强度，圆盘半径为，电荷密度为S C/m3。答案2.11 一半径b的球

52、充满密度为=b2r2的电荷。计算球内和球外任一点的电场强度和电位。答案2.12 一半径的薄导体球壳在起内表面涂覆了一薄的绝缘膜.球内充总电量为Q的电荷，球壳上又另充了电量Q。已知内部的电场为 E=ar(r/a)4计算(1)球内电荷分布；(2)球的外表面电荷分布；(3)球壳的电位；(4)球心的电位。答案2.13 两个无限长的=和=（>）的同轴圆柱表面分别带有面电荷密度S1 和S2，(1)计算各处的E；(2)欲使>处E=，则S1和S2应具有什么关系？答案2.14 电场中有一半径为的圆柱体，已知圆柱内外的电位为 F=0 (r£a) F=A(r-a2 /r)cosj (r

53、9;a)(1)求圆柱内外的电场强度；(2)这个圆柱是什么材料制成？表面有电荷吗?试求之。答案2.15 验证下列标量函数在它们各自坐标中满足拉普拉斯方程： (1) sinkxsinlye-kz，其中h2=k2+l2 (2) rn(cosnj+Asinnj) (圆柱坐标)(3) r-n cosnj (圆柱坐标)(4) rcosq，r-2 cosq (球坐标) 答案2.16 用求解电位的微分方程的方法重解2.11题。答案 2.17 已知的空间中没有电荷，下列几个函数哪些是可能的电位的解？ (1)  e-ychx (2)  e-ycosx (3)  e-Ö2yc

54、osx sinx (4)  sinx siny sinz 答案 2.18 两无限大平行板电极,距离，电位分别为和V0V，板间充满密度为r0x¤ s的电荷，求电位分布和极板上的电荷面密度。答案 2.19 q为何值时z方向的电偶极子的电场没有z分量? 答案 2.20 一个电偶极子p放置于均匀电场E0中，证明作用于电偶极子的力矩为T=p´ E0；如果电偶极子是处于不均匀的电场中E，则它还要受到一个力F=(p·Ñ)E，而围绕任意原点的力矩为r´(p·Ñ)E+p´ E。试证明之。答案 2.21 偶极矩为p1和p2的

55、两个电偶极子相距为，求这两个偶极子之间的相互作用能和相互作用力。答案 2.22 考虑一个以偶极子为球心半径为的假想球面。证明球面外的总能量是 W=p2¤ (12pe0a3) 答案 2.23在中心位于原点，边长为L的电介质立方体内极化强度矢量为P=P0(axx+ayy+azz) (1)计算面和体束缚电荷密度； (2)证明总束缚电荷为零。 答案2.24 计算一个小球形空腔中心处的电场强度，此空腔是从一大块其中存在极化强度P的电介质挖空的。答案 2.25 一个半径R的介质球，含有均匀分布的自由电荷，证明中心点的电位是 答案 2.26 一个半径R的介质球内极化强度为P=arK¤ r

56、，其中K是一常数， (1)计算束缚电荷的体密度和面密度； (2)计算自由电荷密度；(3)计算球内外的电位分布。答案2.27 证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能有束缚电荷体密度； (2)导出束缚电荷密度rp的表示式。 答案 2.28 两电介质的分界面为=平面。已知er1=2和er2=3，如果已知区域中的 E1=ax2y-ay3x+az(5+z)我们能求出区域2中哪些地方的E2和D2呢？能求出2 中任意点的E2, D2吗？答案2.29 电场中有一半径的介质(e)球，已知 F1=E0rcosq + a3E0 (ra) F2=- E0rcosq (ra)验证球表面的边界条件，并计算球表面的极化电

57、荷密度。答案2.30 平行板电容器的长宽为和，板间距离为。电容器的一半厚度(0d/2)用电介质 填充。板上外加电压U，求板上的自由电荷密度,极化电荷密度和电容器的电容量。答案2.31 厚度为的无限大介质板(电容率e)，放置于均匀电场E0中，板与E0成角q1，求使q2=p¤4时的q1的值。求板的两表面的束缚电荷密度。答案2.32 在电容率e的无限大均匀介质中，开有如下几个空腔，求各空腔中的E和D：(1)平行于E的针形空腔；(2)底面垂直于E的薄盘形空腔。答案2.33 在面积为S的平行板电容器中填充电容率作线性变化的介质，从一极板（=）处的e1一直变化到另一极板(y=d)处的e2，求电容

58、量。答案2.34 圆柱形电容器外导体内半径为，当外加电压固定时，求使电容器中的电场强度取最小值的内导体半径的值和这个Emin的值。答案2.35 同轴电容器内导体半径为，外导体内半径为，在部分填充电容率为的电介质。求单位长度的电容。答案2.36 平行板电容器板间距离为，面积为S，在它的极板间放进一块面积S，厚度的介质板(相对电容率er)，求电容量。答案2.37 有一半径a带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为e1和e2，分界面可视为无限大平面。求(1)球的电容；(2)总静电能。答案2.38 把一电量为q，半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。答案2.3

59、9 两平行的金属板, 板间距离为d,竖直地插在电容率为e的液体中，板间加电压U，证明液面升高 h= (e-e0)( )2为液体的质量密度。答案2.40 可变空气电容器，当动片由00至1800旋转时，电容量由25pF至350pF直线地变化，当动片为q角时，求作用于动片上的力矩，设在动片与静片间电压为方便用户400V。答案2.41 证明：同轴线单位长度的静电储能等于ql2/（2C0）。答案2.42 如果不引入电位，静电场问题也可以通过直接求解E的微分方程而得到解决，（）       证明：有源和无源区域内的E的微分方程分别是 Ñ

60、2E=Ñrt ¤e0 ， rt =r+rP和Ñ2E=0（）       证明：E的解是 E= - 答案   第二章 静电场 习题解答 2.1解：点电荷的电场E=QaR¤4pe0R2 q1在场点产生E1= aR1=(ax-az) ¤ 16 pe0 q2在场点产生E2= aR2=(-ax+ay) ¤ 32 pe0 E=E1+E2=(ax+ay-2az) ¤ 32 pe0 V¤ m 返回2.2解：由环的轴对称性可知E只有z分量，即 Ez=Ecosq=E

61、 z¤ R=E z¤ dq=rldl=rladj Ez= = dj = 返回 2.3解：设关于半圆环对称的轴线为x轴，则半圆环在圆心处只有Ex分量 E=axEsinq=ax dq=ax V¤m 返回2.4解：返回2.5解：r(r)=e0Ñ·E=e0¤ r2 ¶ (r2Er) ¤ ¶r=e0(5r2+4Ar) (r£a) 返回2.6解：各区域场强可看作是充满r的大柱和充满-r的小柱的场的迭加。 由高斯定律D·dS=òtrdt可得柱内外的场强 大柱：r1<b e0Eb12p

62、r1l=rpr12l Eb1=rr1 ¤ 2e0 r1>b e0Eb22pr1l=rpb2l Eb2=rb2r1 ¤ 2e0r12 小柱：r2<a Ea1=-rr2 ¤ 2e0 r2>a Ea2=-ra2r2 ¤ 2e0r22 于是可得各区域场强： 空腔内： E= Ea1+ Eb1= (r1- r2)r ¤ 2e0=cr ¤ 2e0 两柱之间：E= Ea2+ Eb1=(r1- r2a2¤r22)r ¤ 2e0 大柱外： E= Ea2+ Eb2=(r1b2¤r22- r2a2¤r

63、22)r ¤ 2e0 返回2.7解：（1）取无穷远处=0，则 F= = = (2)由直线L对其平分面的对称性可知，在该平面上E只有Er分量 dEr=dEsinq sinq=r¤ R= Er= = = = -ÑF= -ar¶F¤ ¶r = -ar =ar E= -ÑF 返回2.8解：W=òF·dl=qòE·dl= -2ò(axy+ayx)·( axdx+aydy) = -2òydx+xdy(1)W1= -2 (y 4y+2 y2)dy= -28 J (2)两

64、点间直线方程为x-6y=8 W2= -2 (y 6+6y+8)dy = -28 J 返回2.9证： ra r= -3Ze¤ 4pra3 由高斯定律sE·dS=Q/0 可得 Er4r2=(Ze+4r2/3)/0 E=ar E=ar (ra) =E·dr= = (ra)返回 2.10解：法（一）由圆盘的对称性可知，E只有Z向分量dEz=dEcos=dE z/R E= az = az = az 2 = az (1- ) 法(二)利用题2.2的结果,将圆环看作是圆盘的一个面元,作置换a®r,E®dE,rl®rsdr,则 dE= az E= az = az (1- ) 返回2.11解：(1)球内电场： 由高斯定律E1·dS=1¤e0òtrdt 可得： E14pr2=1¤e0 (b2-r2) 4pr2dr E1=ar(b2r¤3-r3¤5)¤e0 (rb)             (2)球外