第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质

1、第第2 2章章理解教材新知理解教材新知2 2.2 .2把握热把握热点考向点考向应用创新演练应用创新演练考点一考点一考点二考点二考点三考点三2.2.22.2.2考点四考点四返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回 问题问题2：在方程中，用：在方程中，用x代代x，y代代y，方程的形，方程的形式是否发生了变化？式是否发生了变化？ 提示：提示：不变不变 问题问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？：方程与坐标轴的交点坐标是什么？ 提示：提示：令令x0，得，得yb； 令令y0，得，得xa； 与与x轴的交点为轴的交点为(a，0)，(a，0)， 与与y轴的交点为轴的交点为(0，b)，(0，b)返回返回

2、椭圆的几何性质椭圆的几何性质axa，bybaya，bxb(a，0)(0，b)(0，a)(b，0)2b2a (c，0)(0，c)2c 返回返回对称性对称性对称轴对称轴 ，对称中心，对称中心 离心率离心率 e x轴，轴，y轴轴(0，0)(0，1)返回返回 1椭圆的对称性：椭圆的对称性： 椭圆的图像关于椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关轴成轴对称，关于原点成中心对称于原点成中心对称 2椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系：椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系： (1)0e1，e越趋近于越趋近于1，越扁，越趋近于，越扁，越趋近于0，越圆，越圆(可可以根据字体以根据字体1很扁、

3、很扁、0很圆进行记忆很圆进行记忆)返回返回 (2)当当e0，c0时，椭圆变圆，时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在圆为椭圆在e0时的特例时的特例 (3)当当e1，ca，椭圆变扁，直至成为极限位置线，椭圆变扁，直至成为极限位置线段段F1F2，此时也可认为，此时也可认为F1F2为椭圆在为椭圆在e1时的特例时的特例返回返回返回返回 例例1求椭圆求椭圆81x2y281的长轴和短轴的长及其的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率焦点和顶点坐标，离心率 思路点拨思路点拨本题中椭圆的方程不是标准形式，故本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出

4、先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相，再根据焦点位置写出相应的几何性质应的几何性质返回返回返回返回 一点通一点通求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数，写出椭圆的几何性质参数返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回 一点通一点通在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若

5、不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论一般地，已知椭圆的焦点所在的坐标轴，则应进行讨论一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴坐标轴返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回 一点通一点通 1椭圆的离心率的求法：椭圆的离心率的求法： (1)直接求直接求a，c后求后求e，或利用，或利用e ，求出后求，求出后求e. (2)将条件转化为关于将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用的关系式，利用b2a2c2消消去

6、去b.等式两边同除以等式两边同除以a2或或a4构造关于构造关于(e)的方程求的方程求e. 2求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0，1)取交集取交集返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回 一点通一点通解决此类问题，首先要根据条件建立平面直解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为转化为a，b，c的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问的

7、关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题注意：椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；题注意：椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；最后要将数学模型还原回实际问题作答最后要将数学模型还原回实际问题作答返回返回7某航天飞行控制中心对某卫星成功实施某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为为3.5 h的环月小椭圆轨道的环月小椭圆轨道(以月球球心为以月球球心为焦点焦点)卫星远月点卫星远月点(距离月球表面最远的点距离月球表面最远的点)高度降至高度降至1 700 km，近月点，近月点(距离月球表面最近的点距离月球表面最近的点)高度是高度是200 k

8、m，月球的半径约是，月球的半径约是1 800 km，且近月点、远月点，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是是_返回返回返回返回8已知某荒漠上已知某荒漠上F1、F2两点相距两点相距2 km，现准备在荒，现准备在荒漠上开垦出一片以漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园按照规划，平行四边形区边形区域，建农艺园按照规划，平行四边形区域边界总长为域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？问农艺园的最大面积能达到多少？返回返回返回返回返回返回 1椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置关，它们反映了椭圆在平面内的位置 2椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无