必修四三角恒等变换题型归纳总结学生版

1、三角恒等变换一、基础知识1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式S(±: Sin( ± = Sin OCoS ± cosin .C( 0±: cos(±= cos OCOS ?Sin Osin tan ± tanI I 厂“T(±: tan(±= ;-Q , ±2+ k k Z .1?tan tan 2C( ±)同名相乘,两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系:符号反；S(0±异名相乘，符号同；T(0±分子同，分母反.2. 二倍角公式S2 a： Sin 2

2、= 2sin OCoS 2222C2 a： CoS 2 a= cos2 a sin2 a= 2cos2 a 1 = 1 2sin2 a2tan a冗口k T2a： tan 2a=厂 a k+且 a7 + ;, k Z .1 tan2 a22 4二倍角是相对的，例如，2是a的二倍角，3 a是3°的二倍角.、常用结论(1)降幕公式：21 + cos 2 a . 21 cos 2 aCoS a=2, SinI a=?(2)升幕公式：1 + cos 2 a= 2cos2 a, 1 cos 2 a= 2sin2公式变形：tan ± tan=tan( ±)(1 ?tan Ot

3、an ®.(4)辅助角公式:asin x+ bcosx = a2 + b2sin(x+其中Sin =b考点一三角函数公式的直接应用典例(1)已知 Sin = 5, 1 , tan =- 2 贝U tan(- 的值为(2A A. 11B.111111eq11 D . - T(2019呼和浩特调研)若sin( -1 %) = 3，且 则 Sin 2 的值为(C.2 ,29D.< 29解题技法应用三角公式化简求值的策略(1) 首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.(2) 注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.(3) 注意

4、配方法、因式分解和整体代换思想的应用.题组训练1. 已知 Sin = 1+ cos 且 0,扌，则 cos 2 的值为()32Sin + B.C.1d32. 已知 Sin = 4,且 3 ,贝U Sin 2 + 的值为5223考点二三角函数公式的逆用与变形用典例(1)(2018 全国卷 )已知 Sin + CoS = 1, CoS + Sin = 0,贝U sin( + =计算：tan 25°+ tan 35°+3ta n 25 Otan 35°=.解题技法两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1) 逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2

5、) 公式的一些常用变形：Sin %sin + cos( + = cos OCOS ;cos OSin + sin( - = Sin OCoS ; 21 ± Sina= Sinq ± 遁 2;.C2sin O(CoS a2tan aSin 2 a= 22 =2；Sin a+ cos a tan a+ 12 2 2CoS a Sin a_ 1 tan acos 2 a= cos2 a+ sin2 a= 1 + tan2 a提醒(1) 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2) tan Otan tan a+ tan (或 tan a tan ,tan( a+ (或

6、 tan( a )三者中可以知二求一, 且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.注意特殊角的应用，当式子中出现1, 1, ¥，.3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式.1- tan239° tt1 + tan239° 丿贝 a,(Sin 56 O- cos 56°), C=题组训练b, C的大小关系是()A a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b2.已知 I .cos a c 十 Sin6a=牛3,贝U Sin a+561.设 a= cos 50°co

7、s 127°+ cos 40°cos 37° b=23. 化简 sin2 - 6 + sin2 + 石一sin2 的结果是.考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换典例(2018浙江高考改编)已知角的顶点与原点 O重合，始边与X轴的非负半轴重345合，它的终边过点 P 5, 5若角满足Sin( + = 13,则CoS 的值为.解题技法1. 三角公式求值中变角的解题思路(1) 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系， 再应用诱导公式把“所求角”变成“已

8、知角”.2. 常见的配角技巧+ + 2 = ( + + ( - , = ( + )- , =厂-丁, =厂 + , 厂= + ?2+ 等.考法(二)三角公式中名的变换典例(2018江苏高考)已知, 为锐角，tan = 4, cos( + ® = -求cos 2 的值；(2) 求 tan( - )的值.解题技法三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、 诱导公式，把正弦、 余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.题组训练11.已知tan + 亦=4,则 cos2 Z +4 =(1A.1B.3C.41D.52. (2018 济南一模)若 Sin A + 44，

9、则Sin A的值为（3A.34B.43卡4C5或 53D.3-43 _ 卄 Sin + 3 .已知 Sin =- 5， , 2 ,右COS =2,则 tan( + =(A. 16313"6课时跟踪检测1. Sin 45°os 15°+ cos 225OSin 165O=()1A. 1B.2C亚C. 22.若 2sin x+ cos 2 X = 1,贝U cos 2x=()7- 97_253.（2018 西名校联考）若COS - 6于，则COSZ 3 + CoS =(c74.tan 18+ tan 12+Iftan 18°an 125.2,B ，且 3CO

10、S 2 = Sin 4 ,则Sin 2 的值为（）2 t23C.±1丄18C.171817D.厉6.已知Sin 2= £ 则COS2%- 4=(1B3C.2d37.已知Sin 2+ = 2, C2, 0，则COS -3的值为（2019湘东五校联考）已知1 “ X 1 rr tan Sin( + = 2，sn( - = 3 则:tan9.（2017江苏咼考）若tan - 1=-,贝U tan =46Si n235°-110.化简：cos 10 oCOS 80°11.已知tan = 2.求tan+ 的值;Sin 2 求 Sin2 + Sin OCCoS -

11、COS 2 - 1的值.3 112 .已知 , 均为锐角，且 Sin = 5, tan( - = - 3.(1)求 sin( - 的值；求COS 的值.B级1. (2019 广东五校联考)若 tan - = 4cos(2 , | <,则 tan 2 =.242. (2018江西新建二中期中)已知A, B均为锐角，cos(A+ B)=-云，Sin B +孑 贝U COS A- =.3. (2019石家庄质检)已知函数f(x)= Sin x+ :In , x R.(1)求f ：的值；(2)若cos = 4, 0,才，求f2才的值.简单的三角恒等变换考点一三角函数式的化简典例Sin 180 &

12、#176;+ 2 1 + CoS 2 2CoS /等于(COS 90 °+ A . Sin C. Sin B . COS D . COS Sin 2 + C Z C 化简：2COS( + .Sin 解题技法题组训练1.化简：Sin 2 a 2cos2 aSin a匚42.化简：2COS2 a 12tan J a COS2 a44考点二三角函数式的求值考法（一）给角求值解题技法三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角， 要观察所给角与特殊角间的关系， 利用三角变换转化为 求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形（比如：正负项相消、分子分母相约等）的方式来求

13、值.考法（二）给值求值 2_ 典例已知 Sin + 4 = 10, 2， .求：（I）CoS 的值；（2）Sin 2 a 的值.解题技法三角函数给值求值问题的基本步骤（1）先化简所求式子或已知条件；（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数的名及角入手）；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.考法(三)给值求角典例若 Sin 2 = -5, Sin( - Ca =0 ,且 4， , 3 "2 ,则+ 的值是()A 7 A.TTB.V5 . 7 c%或45 . 9 D.& 或 7解题技法三角函数给值求角问题的解题策略(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值.已知正切

14、函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是0, ,选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0, ,选余弦函数较好;若角的范围是 ,选正弦函数较好.(2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围.题组训练1.求值:CoS 20cos 351 Sin 20C. 22.已知为第二象限角，Sin + CoSa=，则 COS 2=()C. 于3 .已知锐角, 满足Sin = £, cos e= ，则+ 等于()A 3 A.7 r, 3 B. 4 或 3TD. 2k+ 4(k Z)考点三三角恒等变换的综合应用典例(2018北京高考)已知函数f(x)= Sin2x+ . 3

15、sin XCoS x.求f(x)的最小正周期；若f(x)在区间 m上的最大值为3,求m的最小值.32解题技法三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将 f(x)化为 asin x+ bcos X 的形式； ab构造 f(x)= a2+ b2 _a2 * b2 SiX+_a2+ b2 cox ；和角公式逆用，得f(x)= .a2+ b2sin(x+ )(其中为辅助角);利用f(x)= .a2+ b2sin(x+ 研究三角函数的性质；反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.题组训练1 .已知>0 ,函数f(x)= Sin xos x+3cos2x专的最小正周期为则下列结论正确的是()A .函数f

16、(x)的图象关于直线X = 对称7 B. 函数f(x)在区间 ,上单调递增 一C. 将函数f(x)的图象向右平移；个单位长度可得函数g(x) = cos 2x的图象6D .当X 0,才时，函数f(x)的最大值为1,最小值为一232 .已知函数 f(x)= 4sin xcos x 才一3.(1)求函数f(x)的单调区间；求函数f(x)图象的对称轴和对称中心.课时跟踪检测1 .已知Sin 石 = cos 6÷ ,贝U tan =()1C1化简:CoS 40cos 25 Sin 40 =()C. 2（2018唐山五校联考）已知是第三象限的角，且tan = 2,则SinI 10C.3 .&#

17、39;10103 '10D.冇Sin 2 =(14B.25(2019 咸宁模拟)已知 tan( + )= 2, tan = 3,则7A.25C.Z2514252 7已知 cos 3-2 =- 9,贝y Sin 6+ 的值为(1A.31B. ±3C.1D14若 sin( - sin - cos(- cos = 5，且 为第二象限角，则tan1D .-17 化简:2sin + Sin 2 2 CoS 2& (2018 洛阳第一次统考)已知 Sin + cos =5,贝U cos 4=.9 .若锐角 , 满足 tan + tan =寸3-3tan Otan ,贝U + = .10.函数y= Sin xcos x+ 3的最小正周期是 11.化简：3tan 12 -3；(I)Sin 12 4cos212O-2 ；2cos2 tan - 2 tan 212.已知函数 f(x)= 2sin XSin X+6 .(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;当x 0, 2时，求函数f(x)的值域.B级11.(2018大庆中学期末)已知tan ,是关于X