河南省一次函数与反比例函数解答题专题复习(共21页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 一次函数与反比例函数解答题一次函数与反比例函数解答题专题专题 22(2010 年重庆)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 AB 与x轴交于点 A（-2，0） ，与反比例函数在第一象限内的图象交于点 B(2,n)，连接 BO,若 SAOB=4 （1）求该反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 与 y 轴的交点为 C,求OCB 的面积 【答案】解:(1)由 A(-2,0),得 OA=2. 点 B(2，n)在第一象限，SAOB=4. . 421nOA4n. 点 B 的坐标是（2，4） 设该反比例函数的解析式为)0(axay

2、. 将点 B 的坐标代入，得,24a8a 反比例函数的解析式为：xy8. 设直线 AB 的解析式为)0(kbkxy. 将点 A,B 的坐标分别代入，得. 42, 02bkbk 解得. 2, 1bk 直线 AB 的解析式为. 2 xy （2）在2 xy中，令, 0 x得. 2y 点 C 的坐标是（0，2）.OC=2. SOCB=. 2222121BxOC 2.（2010 年山东省济南市）如图,已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4. （1）求 k 的值； （2）若双曲线(0)kykx上一点 C 的纵坐标为 8，求 AOC 的面积； （3）过原点 O 的

3、另一条直线 l 交双曲线(0)kykx于 P，Q 两点（P 点在第一象限） ，若由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标 _ 22 题图 _ x _ y _ O _ C _ A _ B 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 【关键词】反比例函数 【答案】 (1）点 A 横坐标为 4 ， 当 x = 4 时，y = 2 点 A 的坐标为（4，2 ） 2 点 A 是直线12yx与双曲线8yx（k0）的交点， k = 42 = 8 .3 (2)解法一： 点 C 在双曲线上，当 y = 8 时，x = 1 点 C 的坐标为（1，8）.4 过点 A、C 分别做 x

4、轴、y 轴的垂线，垂足为 M、N，得矩形 DMON S矩形矩形ONDM= 32 ， SONC = 4 ， SCDA = 9， SOAM = 4 SAOC= S矩形ONDMSONCSCDASOAM = 32494 = 15 .6 解法二：解法二： 过点 C、A 分别做x轴的垂线，垂足为 E、F， 点 C 在双曲线8yx上，当 y = 8 时，x = 1。 点 C 的坐标为（1，8） 点 C、A 都在双曲线8yx上， SCOE = SAOF = 4 SCOE + S梯形CEFA = SCOA + SAOF . SCOA = S梯形CEFA S梯形CEFA =12（2+8）3 = 15， SCOA

5、= 15 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （3） 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形 ， OP=OQ，OA=OB 四边形 APBQ 是平行四边形 SPOA = 14S平行四边形APBQ =1424 = 6 设点 P 的横坐标为 m（m 0 且4m ） ， 得 P（m，8m） .7 过点 P、A 分别做x轴的垂线，垂足为 E、F， 点 P、A 在双曲线上，SPOE = SAOF = 4 若 0m4， SPOE + S梯形PEFA = SPOA + SAOF， S梯形PEFA = SPOA = 6 18(2) (4)62mm 解得 m= 2，m= 8（舍去） P（2，4）

6、8 若 m 4， SAOF+ S梯形AFEP = SAOP + SPOE， S梯形PEFA = SPOA = 6 18(2) (4)62mm， 解得 m= 8，m =2 （舍去） P（8，1） 点 P 的坐标是 P（2，4）或 P（8，1）.9 23. (金华卷,本题 10 分） 已知点 P 的坐标为（m，0） ，在 x 轴上存在点 Q（不与 P 点重合） ，以 PQ 为边作正方形PQMN， 使点M落在反比例函数y = 2x的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论 m 取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点 M 在第四象限，另一个正方形的顶点 M1在第二象限. （1）如图

7、所示，若反比例函数解析式为 y= 2x，P 点坐标为（1， 0） ，图中已画出一符合条件的一个正方形 PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点 M1的坐标； y P Q O x 1 2 -3 -2 -1 1 2 3 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （温馨提示：作图时，别忘 了用黑色字迹的钢笔或签字 笔描黑喔！ ） M1的坐标是 （2） 请你通过改变 P 点坐标，对直线 M1 M 的解析式 ykxb 进行探究可得 k ， 若点 P 的坐标为（m，0）时，则 b ； （3） 依据(2)的规律，如果点 P 的坐标为（6，0） ，请你求出点 M1和点 M 的

8、坐标 解： （1）如图；M1 的坐标为（1，2） 2 分 （2）1k，mb 4 分（各 2 分） （3）由（2）知，直线 M1 M 的解析式为6xy 则M(x，y)满足2)6(xx 解得1131x ，1132x 1131y，1132y M1，M 的坐标分别为（113，113） ， （113，113） 4 分 35、(09 湖北孝感)如图，点 P 是双曲线11(00)kykxx，上一动点，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，交双曲线 y =xk2 （0k2|k1|）于 E、F 两点 （1）图1 中，四边形PEOF 的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)

9、； （3 分） （2）图 2 中，设 P 点坐标为（4，3） 判断 EF 与 AB 的位置关系，并证明你的结论； （4 分） 记2PEFOEFSSS，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由 （5 分） x 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 解：（1）； （2）EFAB 证明：如图， 由题意可得A（4，0），B（0，3）， PA=3，PE=，PB=4，PF= ， 又APB=EPF APB EPF，PAB=PEF EFAB S2没有最小值，理由如下： 过E作EMy轴于点M，过F作FNx轴于点N，两线交于点Q 由上知M（0，），N（，0），Q（，） 而SEFQ= SPE

10、F， S2SPEFSOEFSEFQSOEFSEOMSFONS矩形OMQN 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 = 当时，S2的值随k2的增大而增大，而 0k212 0S224，s2没有最小值 3. 3. （2011 广东广州市，23，12 分） 已知 RtABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点 C（1，3）在反比例函数y = kx 的图象上，且 sinBAC= 35 （1）求k的值和边AC的长； （2）求点 B 的坐标 【答案】 （【答案】 （1 1）把）把 C C（1 1，3 3）代入）代入y y = = k kx x 得得k k=3=3 设斜边设斜边 ABAB 上的高为上的

11、高为 CDCD，则，则 sinsinBACBAC= =CDCDACAC= =3 35 5 C C（1 1，3 3） CD=3CD=3，AC=5AC=5 （2 2）分两种情况，当点）分两种情况，当点 B B 在点在点 A A 右侧时，如图右侧时，如图 1 1 有：有： AD=AD=5 52 23 32 2=4=4，AO=4AO=41=31=3 ACDACDABCABC ACAC2 2=AD=ADABAB AB=AB=ACAC2 2ADAD= =25254 4 OB=ABOB=ABAO=AO=25254 43=3=13134 4 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 此时此时 B B 点坐

12、标为（点坐标为（13134 4，0 0） 图 1 图 2 当点当点 B B 在点在点 A A 左侧时，如图左侧时，如图 2 2 此时此时 AO=4AO=41=51=5 OB= ABOB= ABAO=AO=25254 45=5=5 54 4 此时此时 B B 点坐标为（点坐标为（5 54 4，0 0） 所以点所以点 B B 的坐标为（的坐标为（13134 4，0 0）或（）或（5 54 4，0 0） ） 15. 15. （2011 山东聊城，24，10 分）如图，已知一次函数 ykxb 的图象交反比例函数42myx（x0）图象于点A、B，交 x 轴于点C （1）求 m 的取值范围； （2）若点A

13、的坐标是（2，4） ，且13BCAB，求 m 的值和一次函数的解析式； O x y B A C D x y B A C D O 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 【答案】 （1）因反比例函数的图象在第四象限，所以 42m0，解得 m2； （2）因点A(2，4)在反比例函数图象上，所以4224m，解得 m6，过点A、B分别作AMOC于点M，BNOC于点 N，所以BNCAMC90，又因为BCNAMC，所以BCNACM，所以ACBCAMBN，因为31ABBC，所以41ACBC，即41AMBN，因为AM4，所以BN1，所以点B的纵坐标为1，因为点B在反比例函数的图象上，所以当 y1 时，x

14、8，所以点B的坐标为（8，1） ，因为一次函数 ykxb 的图象过点A(2，4)，B(8，1)，所以1842bkbk，解得521bk，所以一次函数的解析式为 y21x5 19. 19. （2011 四川宜宾,21,7 分）如图，一次函数的图象与反比例函数13yx （x0）的图象相交于 A 点，与 y 轴、x 轴分别相交于 B、C 两点，且 C（2，0） ，当 x1 时，一次函数值大于反比例函数值，当 x1 时，一次函数值小于反比例函数值 （1）求一次函数的解析式； （2）设函数2ayx（x0）的图象与13yx （x0）的图象关于 y 轴对称，在2ayx（x0）的图象上取一点 P（P 点的横坐标

15、大于 2） ，过 P 点作 PQx 轴，垂足是 Q，若四边形BCQP 的面积等于 2，求 P 点的坐标 【答案】解：1x时，一次函数值大于反比例函数值，当1x时，一次函数值小于反比例函数值 A 点的横坐标是-1，A（-1,3） 设一次函数解析式为bkxy，因直线过 A、C （21 题图） A B P 2y 1y C Q y x O 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 则023bkbk 解得11bk 一次函数的解析式为2xy )0(2xxay的图象与)0(31xxy的图象关于 y 轴对称， )0(32xxy B 点是直线2xy与 y 轴的交点，B（0,2） 设 P(n，n3)，2n，S

16、四边形 BCQP=S梯形 BOQP-SBOC=2 22221)32(21nn，25n， P（25，56） 22.22. （2011 江苏南通，28，14 分） （本小题满分 14 分） 如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线ymx（x0）交于点B(2，1)，过点P(p，p1)（p1）作x轴的平行线分别交曲线ymx（x0）和ymx（x0）于M，N两点. （1）求m的值及直线l的解析式； （2）若点P在直线y2 上，求证：PMBPNA； （3）是否存在实数p，使得SAMN4SAPM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）点B(2，1)在双曲线ymx上， 1

17、2m，得m2. 设直线l的解析式为ykxb 直线l过A(1，0)和B(2，1) 021kbkb，解得11kb 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 直线l的解析式为yx1. (2) 证明：当xp时，yp1，点P(p，p1)（p1） 在直线l上，如图. P(p，p1)（p1）在直线y2 上， p12，解得p3 P(3，2) PNx轴，P、M、N的纵坐标都等于 2 把y2 分别代入双曲线y2x和y2x，得M(1,2),N(-1,2) 3 111( 1)PMMN ，即M是PN的中点， 同理：B是PA的中点， BMAN PMBPNA. （3）由于PNx轴，P(p，p1)（p1） ， M、N、P

18、的纵坐标都是p1（p1） 把yp1 分别代入双曲线y2x（x0）和y2x（x0） ， 得M的横坐标x21p 和N的横坐标x21p （其中p1） SAMN4SAPM且P、M、N在同一直线上， 4AMNAPMSMNSPM,得MN=4PM 即41p 4(p21p )，整理得：p2p30， 解得：p1132 由于p1，负值舍去 p1132 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 经检验p1132是原题的解， 存在实数p，使得SAMN4SAPM， p的值为1132. 16. 16. （2011 四川成都， 19,10 分） 如图， 已知反比例函数)0(kxky的图象经过点 （21，8） ，直线bx

19、y经过该反比例函数图象上的点 Q(4，m) (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式； (2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A 、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求OPQ的面积 【答案】解： （1）由反比例函数的图象经过点（21，8） ，可知4821yxk，所以反比例函数解析式为xy4， 点Q是反比例函数和直线bxy的交点， 144m，点Q的坐标是（4，1） ，514yxb，直线的解析式为5xy. （2）如图所示：由直线的解析式5xy可知与x轴和y轴交点坐标点A与点B的坐标分别为（5，0） 、 （0，5） ，由反比例函数与直线的解析式可知两图像的交点坐标分别点P（1，

20、4）和点Q（4，1） ，过点P作PCy轴，垂足为C，过点Q作QDx轴，垂足为D， SOPQ=SAOB-SOAQ-SOBP =21OAOB-21OAQD-21OBPC =2125-2151-2151=215. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 3. 3. （2011 浙江省，23，12 分）设直线 l1:y1=k1x+b1与 l2:y2=k2x+b2，若 l1l2，垂足为 H，则称直线 l1与 l2是点 H 的直角线 (1) 已知直线221xy； 2 xy； 22 xy； 42 xy和点 C （0,3） 则直线 和 是点 C 的直角线（填序号即可） ； (2) 如图，在平面直角坐标系

21、中，直角梯形 OABC 的顶点 A（3,0） 、B（2,7） 、C（0,7） ，P为线段 OC 上一点，设过 B、P 两点的直线为 l1，过 A、P 两点的直线为 l2，若 l1与 l2是点 P的直角线，求直线 l1与 l2的解析式 【答案】【答案】 （1 1）画图象可知，直线与直线是点）画图象可知，直线与直线是点 C C 的直角线； （点的直角线； （点 C C 的坐标似乎有问题）的坐标似乎有问题） （2 2）设）设 P P 坐标为坐标为(0(0，m)m)，则，则 PBPBPBPB 于点于点 P P。因此，。因此，ABAB2 2=(3=(3- -2)2)2 2+7+72 2=50, =50,

22、 又又 PAPA2 2=PO=PO2 2+OA+OA2 2=m=m2 2+3+32 2，PBPB2 2=PC=PC2 2+BC+BC2 2=(7=(7- -m)m)2 2+2+22 2 , , ABAB2 2=PA=PA2 2+PB+PB2 2=m=m2 2+3+32 2+ +(7(7- -m)m)2 2+ +2 22 2=50=50 解得：解得：m m1 1=1=1，m m2 2=6.=6. 当当 m=1m=1 时，时，l l1 1为：为：y y1 1= =13 x， l l2 2为：为：y y2 2= =131x； 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 当当 m=6m=6 时，时，

23、l l1 1为为：y y1 1= =621x, l, l2 2为：为：y y2 2= =62 x； 6. 6. （2011 江苏盐城，28，12 分）如图，已知一次函数 y = - x +7 与正比例函数 y = 43 x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B. （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 ly 轴动点 P 从原点 O 出发，以每秒1 个单位长的速度，沿 OCA 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度沿 x 轴向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当

24、点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒. 当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ 是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）根据题意，得y=-x+7y=43x，解得 x=3y=4，A(3，4) . 令 y=-x+7=0，得 x=7B（7，0）. ABOyxy=-x+7y=43x（备用图） ABOyxy=-x+7y=43x精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （2）当 P 在 OC 上运动时，0t4. lRPCABOyx 由 SAPR

25、=S梯形 COBA-SACP-SPOR-SARB=8，得 12(3+7)4-123(4-t)- 12t(7-t)- 12t4=8 整理,得 t2-8t+12=0, 解之得 t1=2,t2=6（舍） 当 P 在 CA 上运动，4t7. lxyOBACPR 由 SAPR= 12(7-t) 4=8，得 t=3（舍） 当 t=2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8. 当 P 在 OC 上运动时，0t4. lxyOBACPRQ AP= （4-t）2+32，AQ=2t，PQ=7-t 当 AP =AQ 时， （4-t）2+32=2(4-t)2, 整理得，t2-8t+7=0. t=1, t=7(舍

26、) 当 AP=PQ 时， （4-t）2+32=(7-t)2, 整理得，6t=24. t=4(舍去) 当 AQ=PQ 时，2（4-t）2=(7-t)2 整理得，t2-2t-17=0 t=13 2 (舍) 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 当 P 在 CA 上运动时，4t7. 过 A 作 ADOB 于 D,则 AD=BD=4. DFElxyOBACPRQ 设直线 l 交AC 于 E，则 QEAC，AE=RD=t-4，AP=7-t. 由 cosOAC= AEAQ = ACAO，得 AQ = 53(t-4) 当 AP=AQ 时，7-t = 53(t-4)，解得 t = 418. 当 AQ=

27、PQ 时，AEPE，即 AE= 12AP 得 t-4= 12(7-t)，解得 t =5. 当 AP=PQ 时，过 P 作 PFAQ 于 F AF= 12AQ = 1253(t-4). 在 RtAPF 中，由 cosPAF AFAP 35，得 AF 35AP 即 1253(t-4)= 35(7-t)，解得 t= 22643. 综上所述，t=1 或 418或 5 或 22643 时，APQ 是等腰三角形. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 20. 【答案】解： （1）将 A 点的纵坐标 2 代入6yx，中，得3x ，即 A 点的横坐标为 3. 再将3 2A，代入yax中，得23a ，

28、正比例函数的表达式为23yx4 分 （2）观察图象，得在第一象限内，当03x时，反比例函数的值大于正比例函数的值6 分 （3）BMDM7 分 理由：132OMBOACSSk 33410OMBOACOBDCOADMSSSS 矩形四边形 即 OCOB=10 3OC 310OB8 分 即310n 695mn 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 9963555MBMD， MBMD 10 分 20【答案】解： （1）点 A（1，4）在函数 ymx的图象上， 41m，得 m4.2 分 （2）点 B（a，b）在函数 ymx的图象上，ab4. 又ACx 轴于 C，BDy 轴于 D 交 AC 于 M，

29、ACBD 于 M M（1，b），D（0，b），C（1，0） tanBACBMAM14ab1aabb1b，tanDCMDMMC1b4 分 在 RtAMB 和 RtCMD 中 tanBAC tanDCM， 所以锐角BACDCM，DCAB6 分 （3）设直线 AB 的解析式为 ykxb ABCD，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形或等腰梯形. 四边形 ABCD 是平行四边形时，AC 与 BD 互相平分， 又ACBD，B（2，2） 422kbkb，解得26kb 直线 AB 的解析式为：y2x6. 当四边形 ABCD 是等腰梯形时， BD 与 AC 相等且垂直，ACBD4， 精选优质文档-倾情为你

30、奉上 专心-专注-专业 B（4，1） 把 A（1,4） 、B（4,1）代入 y=kx+b 441kbkb 解之 15kb 此时直线 AB 的解析式 y=-x+5 23【答案】解： （1）由题意：点B、C的坐标为( 10) ，、 （4，0） ，点A的坐标为8 1577， 设所求抛物线为：) 1)(4(xxay 把点A的坐标为8 1577，代入，得 a207，所以.5420212072xxy3 分 （2）当CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1） 设动点D的坐标为()xy， 由（1） ，得( 10)(4 0)BC ，5BC A y x y x D2 图（1） 图（2） D1 C D4 D3 M2 M1 O B B O C A D1 D2 E1 E2 M4 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 当11BDDC时，过点1D作11D Mx轴， 垂足为点1M，则1112BMM CBC 11553312222BMOMx ， 33153428y ，点1D的坐标为3 1528， 当2BCBD时，过点2D作22D Mx轴，垂足为点2M，则2222222D MM BD B 21M Bx ，2223354D MxD B ， 2223(1)354xx 解，得121245xx ，（舍去） 此时，312243455y 点2D的坐标为12 2455， 当3CDBC，