求二次函数解析式的基本方法及练习题

1、精品资料欢迎下载求二次函数解析式的基本方法及练习题二次函数是初中数学的一个重要内容， 也是高中数学的一个重要基础。 熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式： y=ax 2 +bx+c (a 0) 。2、顶点式： y=a(x h) 2 +k (a 0) ，其中点 (h,k) 为顶点，对称轴为 x=h。3、交点式： y=a(x x 1 )(x x 2) (a 0) ，其中 x 1 ,x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。探究问题，典例指津：例 1、已知二次函数的图象经过点( 1, 5), (0, 4) 和 (1,1) 求这个二次函数的解析式分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2 +bx+c (a 0) 。解：设这个二次函数的解析式为 y=ax 2 +bx+c (a 0)abc5a2依题意得： c4解这个方程组得：b3abc1c4这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x4。例2、已知抛物线 yax 2bxc 的顶点坐标为 (4, 1) ，与 y 轴交于点

3、 (0,3) ，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线yax 2bx c 的顶点坐标为 (4, 1) ，最好抛开题目给出的y ax2bx c ，重新设顶点式 y=a(x h) 2+k (a 0) ，其中点 (h,k) 为顶点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x 4) 2 1 (a 0)又抛物线与 y 轴交于点 (0,3) 。 a(0 4) 2 1=3a= 14这个二次函数的解析式为y= 1 (x 4) 2 1，即 y= 1 x 2 2x+3。44精品资料欢迎下载例 3、如图，已知两点 A（ 8，0），（ 2，0），以 AB为直径的半圆与 y 轴正半轴交于点C。求经过 A、B、C

4、 三点的抛物线的解析式。分析： A、B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点，所以可设交点式y=a(x x 1 )(x x 2 ) (a0) ，其中 x1 ,x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x 2)又连结 AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：OC2 =AC·BC=8×2 OC=4即 C(0,4) 。 a(0+8)(0 2)=4 a=14这个二次函数的解析式为y=1(x+8)(x 2) ，即 y=1 x 2 3 x+4。442变式练习，创新发现1、在图的方格纸上有 A、B、C三点（每个小方格的边长为1 个

5、单位长度）（l ）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、 C的坐标；（2）根据你得出的 A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的解析式2、已知抛物线的顶点坐标为(2,1) ，与 y 轴交于点 (0,5) ，求这条抛物线的解析式。3、已知抛物线过A（ 2，0）、B（1， 0）、C（ 0，2）三点。求这条抛物线的解析式。 ）4. 根据下列条件求二次函数解析式 (1) 若函数有最小值 -8 ，且abc=12(-3) (2) 若函数有最大值 2，且过点 A(-1 ， 0) 、B(3， 0) (3) 若函数当 x-2 时 y 随 x 增大而增大 (x -2 时， y 随 x 增大而减小 ) ，

6、且图象过点 (2 ，4) 在 y 轴上截距为 -2 精品资料欢迎下载参考答案：1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。 （2）y= 1 x 2 4x+9。22、 y=(x 2) 2 +1，即 y=x 2 4x+5。3、 y=(x+2)(x 1) ，即 y=x 2 x+2。4. 分析： (1) 由 abc=12(-3) 可将三个待定系数转化为求一个 k即设 a=k，b=2k， c=-3k(2) 由抛物线的对称性可得顶点是 (1 ， 2)(3) 由函数性质知对称轴是 x=-2解：(1) 设 y=ax2bx+c abc=12(-3)设 a=k， b=2k， c=- 3k 有最小值 -8解析式 y=2x2+4x-6(2) 图象过点 A(-1 ，0) 、B(3，0) ， A、 B 两点均在 x 轴上，由对称性得对称轴为x=1又函数有最大值 2，顶点坐标为 (1 ，2) ，设解析式为 y=a(x-1) 2 2(3) 函数当 x -2 时 y 随 x 增大而增大，当 x-2 时 y 随 x 增大而减小对称轴为 x=-2