第二章 状态空间描述1讲

1、2021-12-14第二章 控制系统的状态空间描述Modern Control Theory 2021-12-1422.1线性系统的数学描述线性系统的数学描述2.2状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念v 状态、状态变量状态、状态变量v 状态矢量（状态向量）状态矢量（状态向量）v 状态空间状态空间v 状态方程状态方程v 输出方程输出方程v 状态空间表达式状态空间表达式v 状态变量结构图状态变量结构图本章主要内容本本 章章 主主 要要 内内 容容2021-12-1432.3机理分析法列写状态空间表达式机理分析法列写状态空间表达式2.4由微分方程求状态空间表达式由微分方程求状态空间表达式2.

2、5系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵2.6系统状态方程的线性变换系统状态方程的线性变换v 基本知识及概念基本知识及概念v 状态方程的两种标准形式状态方程的两种标准形式 对角形对角形 约当形约当形v 将状态方程化为标准形式将状态方程化为标准形式本章主要内容2021-12-144重点内容：重点内容：要求熟练掌握要求熟练掌握n电路、机电系统状态空间表达式的建立电路、机电系统状态空间表达式的建立（由系统的物理机理或由微分方程推导状（由系统的物理机理或由微分方程推导状态空间表达式）。态空间表达式）。n线性变换的基本性质以及对角和约当标准线性变换的基本性质以及对角和约当标准型。型。n传递函数矩阵的定义及

3、求取（由状态空间传递函数矩阵的定义及求取（由状态空间表达式）。表达式）。本章重点内容2021-12-1452.1 线性系统的数学描述线性系统的数学描述执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y控制u被控过程x反馈控制反馈控制 典典 型型 控控 制制 系系 统统 方方 框框 图图 被被 控控 过过 程程puuu21nxxx,21qyyy212021-12-146系统描述中常用的基本概念系统描述中常用的基本概念1. 系统：一些相互制约的部分所构成的整体。系统：一些相互制约的部分所构成的整体。 典型控制系统由典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制被控对象、传感器、执行器和控制器器组成。组成。 被

4、控过程被控过程具有若干输入端和输出端。具有若干输入端和输出端。2. 输入和输出：输入和输出： 输入输入-由外部施加到系统上的全部激励由外部施加到系统上的全部激励 输出输出-从外部量测到的来自系统的信息从外部量测到的来自系统的信息2.1 线性系统的数学描述线性系统的数学描述2021-12-147 3. 3. 系统数学描述的两种基本方法：系统数学描述的两种基本方法： 4. 松弛性松弛性: :若系统的输出若系统的输出 由输入由输入 唯一确定，则称系统唯一确定，则称系统在在 是松弛的。是松弛的。0 ,)t y0 ,)t u0t 系统的外部描述系统的外部描述（输入输出描述）（输入输出描述）传递函数或高阶

5、微分方程传递函数或高阶微分方程, 不计所有内部中间变量不计所有内部中间变量。 系统的内部描述系统的内部描述状态空间表达式状态空间表达式，基于系统内部结构，基于系统内部结构， 计及内部状态，是对系统的一计及内部状态，是对系统的一 种完整的描述。种完整的描述。 输出方程状态方程2.1 线性系统的数学描述线性系统的数学描述yHuH 算子系统内部分为两部分系统内部分为两部分：1）系统内部结构：系统内部信息的相互联系。）系统内部结构：系统内部信息的相互联系。2）系统内部信息：系统内部的行为或状况。）系统内部信息：系统内部的行为或状况。如何选取系统内部信息？如何选取系统内部信息？1）控制任务决定：针对不同

6、的系统有不同的控制任务。）控制任务决定：针对不同的系统有不同的控制任务。2）信息选取要全面：覆盖系统的整个内部信息。）信息选取要全面：覆盖系统的整个内部信息。3）信息选取恰到好处：线性无关。）信息选取恰到好处：线性无关。2021-12-1485. 线性：一个松弛系统，当且仅当对任何输入线性：一个松弛系统，当且仅当对任何输入 及任意常数及任意常数 ， 均有均有 则该系统称为线性的，否则为非线性。则该系统称为线性的，否则为非线性。6. 定常性（时不变性）：定常性（时不变性）：2.1 线性系统的数学描述线性系统的数学描述21uu 和和 2121)(HuHuuuH )()(11uHuH (可加性可加性

7、)(齐次性齐次性)一个松弛系统当且仅当对任何输入一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数和任意实数 ，均，均有有uuHQHQ则称系统是定常的，否则称为时变的。则称系统是定常的，否则称为时变的。 aQ-位移算子位移算子)()()(tutuQtuayHu2021-12-149)(tu)(tutt)(ty)(tytt定常性（时不变性）定常性（时不变性）2021-12-1410状态和状态变量状态和状态变量 状态向量状态向量 状态空间状态空间 状态方程状态方程 输出方程输出方程状态空间表达式状态空间表达式状态变量结构图状态变量结构图 2.2 状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念2021-12-

8、1411一、一、状态和状态变量状态和状态变量1 1、状态：表征系统在时间域中运动的信息和、状态：表征系统在时间域中运动的信息和行为。行为。2 2、状态变量：足以完全表征系统运动状态的、状态变量：足以完全表征系统运动状态的 最小个数的一组变量最小个数的一组变量。 注意：注意：1)1)、状态变量的选取具有非唯一性，可用一组数目、状态变量的选取具有非唯一性，可用一组数目最少的变量作为状态变量；最少的变量作为状态变量； 相互独立，相互独立，其个数等于微分方程的阶数其个数等于微分方程的阶数 微分方程阶数取决于独立储能元件的个数微分方程阶数取决于独立储能元件的个数 状态变量的个数应等于状态变量的个数应等于

9、独立储能元件的个数独立储能元件的个数状态变量特性：线性无关；个数状态变量特性：线性无关；个数唯一；状态不唯一。唯一；状态不唯一。2021-12-1412 2) 2)、状态变量不同于输出变量，其、状态变量不同于输出变量，其不一定在物理上不一定在物理上可量测可量测，有时只具有数学意义有时只具有数学意义。二、状态向量（状态矢量）二、状态向量（状态矢量） )(tx)(tx 若描述系统状态若描述系统状态n n状态变量用状态变量用表示，并把这些状态变量看作是向量表示，并把这些状态变量看作是向量( (矢量矢量) )的分量，则向量的分量，则向量 称为称为n n维状态向量，记作：维状态向量，记作： 或：或： )

10、(,)(),(21txtxtxn)()()()(21txtxtxtnxTntxtxtxt)(,),(),()(21x2021-12-1413 三、状态空间三、状态空间 )(,)(),(21txtxtxn 以状态变量以状态变量 作为作为坐标轴坐标轴所构所构成的成的n n维空间称为维空间称为状态空间状态空间。系统在任一时刻的状系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点表示。态，在状态空间中用一点表示。 初始时刻初始时刻t0t0的状态的状态x x（t0t0）为状态空间中的一点）为状态空间中的一点初始初始点点。随着时间的推移，系统状态将在状态空间中描绘出一。随着时间的推移，系统状态将在状态空间中描绘出一

11、条轨迹，称为条轨迹，称为状态轨迹状态轨迹。 状态轨迹决定系统的内部特性。轨迹就是信息变化的状态轨迹决定系统的内部特性。轨迹就是信息变化的规律，可由规律讨论系统的内部特殊。规律，可由规律讨论系统的内部特殊。状态空间状态空间:状态轨迹状态轨迹:2021-12-14142x1xt0)(),(0201txtx)(),(1211txtx状态轨 迹)()()(21txtxtxAB状态空间状态空间2021-12-1415四、四、状态方程状态方程-描述输入与系统内部状态的变化关系描述输入与系统内部状态的变化关系 描述系统状态变量与输入变量之间关系的描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组一阶微分方程

12、组( (连续系统连续系统) )或一阶差分方程组或一阶差分方程组( (离散系统离散系统) )称为状态方程。称为状态方程。),(),()(ttutxftx 被被 控控 过过 程程puuu21nxxx,21qyyy212021-12-1416说明：说明：1）状态方程是一阶的微分方程或差分方程。）状态方程是一阶的微分方程或差分方程。2）状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。）状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。3）状态变量的选择具有非唯一性，因此状态方程也具）状态变量的选择具有非唯一性，因此状态方程也具有非唯一性；有非唯一性；4）状态方程中不含有输入变量的导数。（由于输入按）状态方程中不含有输入

13、变量的导数。（由于输入按阶跃或分段连续变化时，其导数必存在脉冲函数，使得阶跃或分段连续变化时，其导数必存在脉冲函数，使得状态轨迹出现跃变。）状态轨迹出现跃变。） 5）虽然状态方程的形式不同，但它们的本质相同，都）虽然状态方程的形式不同，但它们的本质相同，都描述了同一个系统，具有唯一性；描述了同一个系统，具有唯一性；6）不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变）不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。换关系。 2021-12-1417 五、五、输出方程 描述系统输出量与状态变量（输入量）描述系统输出量与状态变量（输入量）之间函数关系的之间函数关系的代数方程代数方程 称为输出方程。

14、称为输出方程。 由系统任务确由系统任务确定或给定定或给定指定 作为输出，则：cux 1 或cuy 1xy 用y 表示矩阵表示式为：矩阵表示式为：或或 ： 2101xxycxy xyu代数方程),(),()(ttutxgty2021-12-1418说明：说明：1）输出方程是代数方程。（方程中没有导数）输出方程是代数方程。（方程中没有导数存在）存在）2）输出方程是状态空间的组成部分。）输出方程是状态空间的组成部分。3）系统的输出方程具有非唯一性（输出方程）系统的输出方程具有非唯一性（输出方程表达式）与唯一性（个数）。表达式）与唯一性（个数）。2021-12-1419六、状态空间表达式六、状态空间表

15、达式 状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，亦称为式，亦称为动态方程动态方程。 说明：说明：1 1、状态空间表达式是对系统动态行为的完全的描述，因为状态空间表达式是对系统动态行为的完全的描述，因为它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，是系统输入与输出之间关系的表现。态对于外部输出的影响，是系统输入与输出之间关系的表现。 2、状态空间表达式是非唯一的，因为系统状态变量的选择、状态空间表达式是非唯一的，因为系统状态变量的选择是非唯一的。是非唯一的。 3、动态

16、方程是状态空间分析法的基本数学方程。、动态方程是状态空间分析法的基本数学方程。),()(),(tuxgtytuxfx 2021-12-1420设设单输入单输入(u)-单输出单输出(y)线性定常连续系统，其状态变量为：线性定常连续系统，其状态变量为： ，则，则状态方程状态方程的一般形式为的一般形式为: )(,)(),(21txtxtxnubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111输出方程输出方程为：为： nnxcxcxcy2211状态空间状态空间表达式表达式2021-12-1421状态空间表达式状态空间表达式写成一阶矩阵

17、微分方程的形式为写成一阶矩阵微分方程的形式为 :111121112212222212nnnnnnnnnxaaaxbxaaaxbxaaaxbu1212nnxxcccxy2021-12-1422 xAxbuycx简记为：简记为：系统矩阵或系数矩阵系统矩阵或系数矩阵: :表示系统内部状态的表示系统内部状态的联系，为联系，为 方阵方阵 nn 输出矩阵输出矩阵 n1输入矩阵或控制矩阵输入矩阵或控制矩阵，为输入对状态的作用，为输入对状态的作用， 的列阵的列阵 1nn n 维维状态变量状态变量2021-12-1423rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxu

18、bububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111rmrmmnmnmmmrrnnrrnnudududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111rm对于一个具有对于一个具有 个输入个输入 个输出个输出的复杂系统，其的复杂系统，其状态方程状态方程为为: 输出方程输出方程的一般形式为：的一般形式为：2021-12-1424多输入多输入- -多输出系统多输出系统状态空间表达式状态空间表达式的矢量形式为：的矢量形式为：rmrmmrrnmnmmnnmrnrn

19、nrrnnnnnnnnuuudddddddddxxxcccccccccyyyuuubbbbbbbbbxxxaaaaaaaaaxxx212122221112112121222211121121212122221112112121222211121121DuCxyBuAxx可简写为：可简写为：2021-12-1425系统矩阵或系数矩阵:表示系统内部状态的联系，为 方阵 nnn维状态变量DuCxyBuAxx 输出矩阵 nmm 维输出向量 输入矩阵 rnr维输入向量 （控制向量 ） 直接转移矩阵 (关联矩阵 )rm线性时不变系统模型：线性时不变系统模型：2021-12-1426( )( ) ( )(

20、) ( )( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u ty tC t x tD t u t线性时变系统模型：线性时变系统模型：线性定常离散系统线性定常离散系统模型：模型：)()() 1(kHukGxkx)()()(kDukCxky(,ktkT T采样周期）2021-12-1427七、状态变量结构图七、状态变量结构图 BSICDAx xuy+结结构构图图线线性性定定常常系系统统状状态态变变量量结结构构图图线线性性时时变变系系统统状状态态变变量量DuCxyBuAxx结构图：用加法器、积分器、结构图：用加法器、积分器、放大器来表示系统中变量的放大器来表示系统中变量的关系。关系。

21、2021-12-1428讨论：讨论：1 1、状态变量的、状态变量的独立独立性。性。 2 2、由于、由于状态变量的选取不唯一状态变量的选取不唯一，因此，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不唯一。状态方程、输出方程、动态方程也都不唯一。但是，用独立变量所描述的但是，用独立变量所描述的系统的维数系统的维数( (阶阶数数) )应该是唯一的应该是唯一的，与状态变量的选取方法，与状态变量的选取方法无关。无关。 3 3、动态方程对于系统的描述是充分的、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述状态方程和输出方程来描述。

22、 2021-12-1429x3x3例例2.12.1、试分别确定下图（试分别确定下图（a a）、（）、（b b）所示电路的独立状态）所示电路的独立状态变量。变量。 图中图中u u、i i分别是是输入电压和输入电流，分别是是输入电压和输入电流，y y为输出电为输出电压，压，x xi i为电容器电压或电感器电流。为电容器电压或电感器电流。 （a） （b）2021-12-1430 因此，因此，只有一个变量是独立的只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行

23、为。实际上，三个串三个串并联的电容可以等效为一个电容。并联的电容可以等效为一个电容。 对图（对图（b b），），x x1 1 = x= x2 2，因此两者相关，电路，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的只有两个变量是独立的，即，即（x x1 1和和x x3 3）或）或(x(x2 2和和x x3 3) )，可以任用其中一组变量如（，可以任用其中一组变量如（x x2 2，x x3 3）作为状态变量。）作为状态变量。13232xcccx13223xcccx解解：并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。 对图（对图（a），），不失一般性

24、，假定电容器初始电压值均为不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有，有x32021-12-1431列写状态空间表达式列写状态空间表达式（ 机理分析法机理分析法）(1)(1)、根据具体系统结构及其研究目的，选择一定根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量；的物理量作为系统的状态变量；(2)(2)、 根据对象或环节所遵循的物理或化学定律，根据对象或环节所遵循的物理或化学定律，列写出描述变化过程的列写出描述变化过程的原始方程；原始方程；(3)(3)、列出矩阵微分方程形式的状态空间表达式。、列出矩阵微分方程形式的状态空间表达式。2.3 机理分析法建立状态空间表达式机理分析法建

25、立状态空间表达式几个不同系统状态方程的列写几个不同系统状态方程的列写示例：示例：2021-12-1432例例2.2、电路系统状态空间表达式的列写示例、电路系统状态空间表达式的列写示例 求图示求图示RLC回路的状态空间表达式。回路的状态空间表达式。RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出独立储能元件独立储能元件(2(2个个) )： 电容电容C C 和电感和电感 L可用二阶微分方程式描述该系统可用二阶微分方程式描述该系统 2021-12-1433以以 和和 作为该系统的两个状态变量：作为该系统的两个状态变量： cuiuuRidtdiLidtduCccuLiLRuLiiCucc111设状

26、态变量设状态变量 ，则该系统的，则该系统的状态方程状态方程为为:ixuxc21,uLxLRxLxxCx11121221RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出2021-12-1434写成向量矩阵形式为写成向量矩阵形式为:uLxxLRLCxx101102121LLRLCxx10,110,21bAxbuAxx简记为简记为:2021-12-1435即：即：若改选若改选 和和 作为两个状态变量，令作为两个状态变量，令:则该系统的状态方程为则该系统的状态方程为:cucu ccuxux21,uLCxLRxLCxxx1121221uLCxxLRLCxx101102121状态变量选取的不同，状态变

27、量选取的不同，状态方程也不同状态方程也不同RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出uuuCRuCLuuRidtdiLcccc)()(2021-12-1436指定 作为输出，则：cux 1 或cuy 1xy 用y 表示输出方程输出方程的矩阵表示式为：的矩阵表示式为：或或 ： 2101xxycxy RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出2021-12-1437例例2.3、力学系统状态空间表达式的列写示例、力学系统状态空间表达式的列写示例 机械运动系统如下图所示，机械运动系统如下图所示， M为物体的质量，为物体的质量，K为为弹簧系数，弹簧系数，B为阻尼器的阻尼系数，为阻尼器

28、的阻尼系数，f为外加的力，为外加的力，y为受力后物体的位移，为受力后物体的位移，v为物体的运动速度。为物体的运动速度。 试以外力试以外力f为输入、位移为输入、位移y为输出，写出该机械系统为输出，写出该机械系统的状态空间表达式。的状态空间表达式。 KMByf弹簧质量阻尼器系统弹簧质量阻尼器系统2021-12-1438yx 1vx 2fu 解：解：设设 , , , , ,则有则有根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律可写出该系统的运动方程：可写出该系统的运动方程： dtdvMKyBvfuMxMBxMKx1212弹簧质量阻尼器系统弹簧质量阻尼器系统21xvyx vx 2KMBy2021-12-1439可得

29、状态空间表达式为：可得状态空间表达式为： 2101xxyuMxxMBMKxx10102121状态方程状态方程输出方程输出方程2021-12-1440例例2.4、倒立摆装置、倒立摆装置长度为长度为l l ，质量为，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为的单倒立摆，用铰链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制力力u，相对参考坐标系产生位移，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的状。要求建立该系统的状态空间表达式。态空间表达式。2021-12-1441设小车瞬时位置为设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为摆心瞬时位置为在水平方向，由在水平方

30、向，由牛顿第二定律牛顿第二定律即：即：在垂直方向：在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡惯性力矩与重力矩平衡(sin)xlx2222(sin)dxdMmxludtdt2()cossinMmxm lm lu22(sin)cossindmxllm gldt2021-12-1442即即: 则有：则有：联立求解：联立求解：22coscossincossinxllg)Mmxm lu（xlg1m gxuMM ()1MmguM lM l2021-12-1443选取状态变量：选取状态变量：121343,xx xxxxx122133443311()1xxm gxxxxuMMxxMmgxxxuM lM lyxx 1m

31、gxuMM ()1MmguM lM l2021-12-14441122334401000100000010()1000 xxmgxxMMuxxxxMm gMlMl12341000 xxyxx2021-12-14452.4 由微分方程求状态空间表达式由微分方程求状态空间表达式经典控制论：输入、输出变量间的经典控制论：输入、输出变量间的高阶微分方程高阶微分方程描描 述系统述系统现代控制论：输入、状态、输出变量间的现代控制论：输入、状态、输出变量间的一阶微分一阶微分 方程组方程组描述系统描述系统提出问题：需选取合适的状态变量，推导出状态空提出问题：需选取合适的状态变量，推导出状态空 间表达式，保持原

32、输入输出关系不变。间表达式，保持原输入输出关系不变。2021-12-14462.4 由微分方程求状态空间表达式1 1）输入变量没有导数项的情形）输入变量没有导数项的情形 lSISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为线性定常连续系统微分方程的一般形式为l第一步：选择状态变量，第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择阶系统，一般选择n个个状态变量状态变量 令令)1(321nnyxyxyxyx nxxx,21uyayayayaynnnnn001)2(2) 1(1)(2021-12-1447n第二步：求一次导数，并代入原微分方程，有第二步：求一次导数，并代入原微分方程，有uxaxaxaxxxxxxx

33、nnnnn012110132211xy )1(321nnyxyxyxyx 2021-12-1448n第三步：将方程组表示为向量第三步：将方程组表示为向量-矩阵形式矩阵形式cxbAxxyu1210100001000010naaaaA0000b0001c其中， 2021-12-14491x2x1nx状态变量结构图nx01na2na1a0ayunx S1S1S1uxaxaxaxxxxxxxnnnnn012110132211xy 2021-12-1450n例例2.5 已知系统的输入输出微分方程为已知系统的输入输出微分方程为试列写其状态空间表达式。试列写其状态空间表达式。解：取状态变量解：取状态变量 u

34、yyyy36116 yxyxyx 321,可得可得13213322136116xyuxxxyxxyxxyx 2021-12-1451写成矩阵形式写成矩阵形式uyyyy36116 uxxxxxx3006116100010321321321001xxxy210aaa02021-12-14522 2）系统输入量中含有导数项的情形）系统输入量中含有导数项的情形 SISO线性定常连续系统的线性定常连续系统的微分方程微分方程一般形式一般形式为：为：一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。为为避免在状态方程中出现避免在状态方程中出现u的导数项的导数项，可选

35、择如下一，可选择如下一组状态变量：组状态变量： 选取一组状态变量：选取一组状态变量：yayayaynnn01) 1(1)(ububububnnnn01)1(1)(niuxxuyxiii, 3 , 21101，2021-12-1453 uxxuxxuxxuxxuyxnnnnnniii112211111201n 是是n个待定系数个待定系数niuxxuyxiii, 3 , 21101，uuy10uuuynnnn1)2(1) 1(0) 1(（2.25）2021-12-1454 即：即：uxyuyx0101uuxyuuyx102102uuuxyuuuyx21032103 2021-12-1455uuuy

36、xnnnnn1)2(1)1(0)1(uuuxynnnnn1)2(1)1(0)1(uuuyxnnnnn1)1(1)(0)(后面才后面才会用到会用到2021-12-1456又由原始方程可得又由原始方程可得将求出的将求出的 代入上式，代入上式， 可得：可得：yayayayaynnnnn01)2(2) 1(1)(ububububnnnn01)1(1)(yayayaynnn01) 1(1)(ububububnnnn01)1(1)(由已知系统微分由已知系统微分方程方程2021(xaxaxaxaynnnnn)(1)2(1)1(01uuuannnn)(2)3(1)2(02uuu

37、annnnuauua00101)(ububububnnnn01)1(1)( 继续将上式代入前面求得下式：继续将上式代入前面求得下式：可得可得uuuyxnnnnn1)1(1)(0)(2021-12-1458nnnnnxaxaxaxax1122110)1(0111)(0)()(nnnnnuabub)2(021122)(nnnnuaabuaaabnnnnn)(01322111uaaaabnnnn)(001122110合显然，若合显然，若合理选择系数合理选择系数 ，可，可使得上式中使得上式中u的各阶导数项的系数都等于的各阶导数项的系数都等于0110,nn2021-12-1459即可解得：即可解得：0413223144031221330211220111