第五章 统计检验

1、返回第5章 统计检验第第5.1节节 统计检验概要统计检验概要第5.2节 单正态总体的统计检验及Excel实现第5.3节 两正态总体的统计检验及Excel实现第5.4节 两个需要说明的问题返回返回第第5.1节节 统计检验概要统计检验概要X 众所周知,总体 的全部信息可以通过其分布函数 反映出来,但实际上,参数 往往未知,有时甚至 的表达式也未知.因此需要根据实际问题的需要,对总体参数或分布函数的表达式做出某种假设(称为统计假设统计假设),再利用从总体中获得的样本信息来对所作假设的真伪做出判断或进行检验.),(XF),(XF1. 问题的提法问题的提法统计检验统计检验(假设检验假设检验)这种利用样本

2、检验统计假设真伪的过程叫做这种利用样本检验统计假设真伪的过程叫做返回 在许多实际研究中,都有需要做出检验的问题.如:某批产品能否出场?某生产线工作是否正常?某人是否患有某种疾病?某种新药的治疗效果是否提高了?发生事故是否与星期几有关?某次水平考试是否正常?等等,都需要做出检验.假设检验参数假设检验非参数假设检验:XF(x,),为参数假设 =0 例XF(x)，F(x)未知假设 F(x)=F0(x)返回例例5.1.1.某地旅游者的消费额附从正态分布XN(,2), 调查25个旅游者,得出一组样本观测值x1,x2,x25,若有专家认为消费额的期望值为0,如何由这组观测值验证这个说法？假设检验为假设检验

3、为 =0例例5.1.2.用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体的含量服从正态分布XN(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),问用简便方法测的有害气体含量是否有系统偏差?假设检验假设检验 =23,2=22返回例例5.1.3.用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气 体的含量服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差?假设假设 H0: =23,解解:由题意得由题意得:用简

4、便方法测得有害气体含量XN(,22),若H0成立,则) 1 , 0(/NnXZ若取=0.05,则 P|Z|z/2=,即: P|Z|1.96=0.05,在假设成立的条件下,|Z|1.96为概率很小事件为概率很小事件,一般认为:小概率事件在一次实验中是不会发生的小概率事件在一次实验中是不会发生的,将样本观测值代入将样本观测值代入Z得,06. 3/223nXZ|Z|1.96,小概率事件在一次实验中发生了小概率事件在一次实验中发生了,否定原假设否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差.故假设不合情理,即:返回2. 假设检验的基本思想假设检验的基本思想(1)(1)小概率原理小概率原理(实际推断原理)认为概

5、率很小的事件在一次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验中出现了,就被认为是不合理的.(2)(2)基本思想基本思想: :先对总体的参数或分布函数的表达式做出某做出某种假设种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(条件)小概率事件小概率事件.如果试验或抽样的结果使该小概率结果使该小概率事件出现了事件出现了,这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问题,应予以否定,即拒绝这个假设拒绝这个假设.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现,就没有理由否定这个假设,表明试验或抽样结果支持这个假设,这时称假设与实验结果是相相容的容的,或者说可以接受原来的假设接受原来的假设.返回另一方面,当

6、原假设不成立时当原假设不成立时, ,却作出接受原假设的结论却作出接受原假设的结论,造成犯“取伪取伪”的错误,称为第二类错误第二类错误,3. 假设检验的两类错误假设检验的两类错误在假设检验中,否定原假设的理由是小概率事件在一次试验中出现了,但小概率事件并不是不会出现,只是出现的可能性较小,即出现的概率不超过很小的正数 ,就是犯第一类错误的概率的最大允许值.一般用 表示犯第二类错误的概率.因此,根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正把本来客观上正确的假设否定了确的假设否定了,造成犯“弃真弃真”的错误,称为第一类错误第一类错误,返回在进行假设检验时,我们采取的原则原则是:控制犯第一类错误控制

7、犯第一类错误(即 事先给定且很小)的同时使犯的同时使犯第二类错误的概率达到最小第二类错误的概率达到最小. .当样本容量 一定时一定时, , 小小, , 就大就大, ,反之, 小小, , 就大就大.n另外,一般 ,1即使 碰巧出现,也决不能把“犯第一类错误”和“犯第二类错误”理解为相互对立的事件.13. 假设检验的两类错误假设检验的两类错误弃真弃真纳伪纳伪返回 /2 /2X(x) 增大样本容量n时,可以使和同时减小.注意注意: z/2 - z/2n/0=0) 1 , 0(/0NnXZ0(0) 1 ,/(/00nNnXZ返回 小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实际问题的要求而定,如取=0.1

8、,0.05,0.01等, 为检验的显著性水平为检验的显著性水平(检验水平检验水平).4. 显著性水平与否定域显著性水平与否定域 在假设检验过程中,使得小概率事件出现的统计量的取值范围称为该假设检验的否定域否定域(拒绝域拒绝域),否定域的边界称为该假设检验的临界值临界值.返回 /2 /2X(x)接受域接受域P(|Z|z/2,否定原假设否定原假设; |Z|z/2,接受原假设接受原假设.设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，1.2已知已知,的假设检验：的假设检验：(H0:=0, 0, 0).21)(2 z1) H0:=0; H1:0,(1)提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设: H

9、0:=0; H1:0,(3)由给定由给定,查查z/2,得得否定域为否定域为|Z| z/2,其中其中,返回 /2 /2X(x)接受域接受域P(|Z| 1.96,09. 1|6/05. 0159 .14|/|nXZ|Z|z/2,故接受原假设故接受原假设.即零件的平均重量仍为即零件的平均重量仍为15.19或19,选择19为原假设,解解:设H0: 19, H1: 19取统计量 ,U的分布不确定,nXZ/19nXZ/令则,),1 , 0(ZZNZ对给定的,ZzzZ PZzzZP=PZz(小概率事件)查表得z=1.64,将样本观测值代入得z=3.6 1.64小概率事件发生了,所以否定原假设,即新工艺下Vc

10、平均含量比旧工艺下含量高.(所答是所问所答是所问)返回X(x)接受域接受域P(Zz)否定域否定域 z单侧假设检验1)(z返回 (2)选择统计量选择统计量:(4)将样本观测值代入将样本观测值代入Z, 若若Zz, 否定原假设否定原假设; Zz, 接受原假设接受原假设.设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，.1)( z2) H0:0; H1:0,(1)提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设: H0:0; H1:0,(3)由给定由给定,查查z,得得否定域为否定域为Z z, 其中其中nXZ/0返回 (2)选择包含选择包含的分布已知函数的分布已知函数:(4)将样本观测值代入将样本观测值代入

11、T, 若若|T|t/2(n-1),否定原假设否定原假设; |T|t/2(n-1),接受原假设接受原假设.设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，2.2未知未知,的假设检验：的假设检验：(1)提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设: H0:=0; H1:0,(3)由给定由给定,查查t(n-1),得得否否定域为定域为|T| t/2(n-1);n/SXT)1n( t) 1n (t2/Xf(x)/2/2接受域接受域否定域否定域否定域否定域(T(T检验）检验）返回总 体 方 差2已 知检 验 统 计 量nXZ0(Z检 验 )总 体 方 差2未 知检 验 统 计 量nSXT0(T检 验 )0

12、H1H在 显 著 性 水 平下 的0H的 拒 绝 条 件002|zZ )1(|2ntT00zZ )1(ntT00zZ)1(ntT单正态总体假设检验列表如下:返回甲厂产品与预定规格不符乙厂产品与预定规格相符119.0, 120.0, 119.2, 119.7, 119.6从乙厂也抽取 5 件产品, 测得其指标值为:110.5, 106.3, 122.2, 113.8, 117.2要根据这些数据去判断这两厂产品是否符合预定规格 120?(显著性水平 0.05)解解 设甲厂产品指标服从正态分布),(211N, 乙厂产品指标服从正态分布),(222N.21和22均未知.对甲厂, 120:010H, 1

13、20:011H 进行T检验.5.2.3(1)对乙厂, 120:020H, 120:021H 进行T检验5.2.3(2)例例5.2.3 两厂生产同一产品, 其质量指标假定都服从正态分布,标准规格为均值等于120. 现从甲厂抽出5件产品测得其指标值为:返回解解 依题意, 总体为: 包装食品每袋净重量)5 . 1 ,(2NX, 19.5, 19.0, 20.1, 21.0, 18.9, 20.3, 21.5, 18.8, 19.6, 19.8, 19.8, 19.6, 19.6, 18.9, 17.8, 18.0, 20.0, 20.3, 21.0, 21.2, 18.5, 19.9, 20.6,

14、20.1, 21.1, 22.0, 20.8, 20.4, 20.4, 20.3, 19.5, 19.5, 20.0, 21.0, 18.9, 19.6, 19.8, 20.0, 21.0, 20.1, 20.0, 18.8, 18.9, 20.0, 21.0, 19.6, 19.8 19.6, 20.0, 19.9.问有无充分证据说明这些包装食品的平均重量减少了?假设:20:00H, 01:H5.2.4例例5.2.4一家食品加工公司的质量管理部门规定, 某种包装食品每包净重不得少于20千克, 经验表明, 重 量近似服从标准差为1.5的正态分布, 假定得到50包食品构成的样本为:返回接受域接受

15、域 (2)选择包含选择包含2的分布已知函数的分布已知函数:(1)提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设:(3)由给定由给定,查查 H0: 2 = 02; H1: 2 02222) 1(Sn)1n(2)1n()1n(2222121Xf(x)/2/212否定域否定域否定域否定域3.未知期望未知期望，2的的(双侧双侧)假设检验：假设检验：( ( 检验）检验）2得得接受域为接受域为1 2;2(4)将样本观测值代入将样本观测值代入 , 若若1 2.0301,|n/SX|T|故接受原假设故接受原假设.即可以认为考生平均成绩为即可以认为考生平均成绩为70.14.449接受域为接受域为1 022221) 1

16、(Sn)1n(2(2)选择统计量选择统计量2022) 1(Sn则212对给定的及任意实数有212即212PP取) 1(2n=)1(22nP(3) 所以所以,否定域为否定域为)1(22n(4)将样本观测值代入将样本观测值代入 ,若若接受原假设接受原假设;否则否则,拒绝原假设拒绝原假设.)1(22n2返回接受域接受域Xf(x)否定域否定域)1(22nP)1n(2单侧假设检验2221) 1(Sn) 1(2n返回例例5.2.7.某中导线要求电阻的标准差不得超过0.005,今在生产的一批导线中取样品9根,测得S=0.007.设总体服从正态分布,在显著性水平=0.05条件下,能认为这批导线的标准差显著偏大

17、吗? 解解:(1)H0: 0=0.005; H1: 0.0052022) 1(Sn507.15)8()1n(05. 022(2)选择统计量选择统计量(3)查临界值得查临界值得507.152所以所以,否定域为否定域为(4)将样本观测值代入将样本观测值代入 , 得得68.15215.507所以所以拒绝原假设拒绝原假设,即认为标准差显著偏大即认为标准差显著偏大.2返回例例5.2.8在正常的生产条件下 , 某产品的测试指标总体),(200NX, 其中23. 00. 后来改变了生产工艺 , 出了新产品,假设新产品的测试指标总体仍为X, 且知),(2NX. 从新产品中随机地抽取 10 件, 测得样本值为1

18、021,xxxL,计算得到样本标准差S=0.33. 试在检验水平=0.05 的情况下检验 : (a) 方差2有没有显著变化 ? (b) 方差2是否变大?解：(a)是双侧检验, (b) 是单侧检验. (a)建立假设 2202023. 0:H, 2021:H5.2.8新产品指标的方差与正常情况下产品指标的方差比较没有显著变化(b) 建立假设 2202023. 0:H, 2021:H新产品指标的方差比正常情况下产品指标的方差显著地变大.返回5.5. 已知已知, ,2的假设检验的假设检验 2020:H, 2021:H 2020:H, 2021:H 2020:H, 2021:H选用检验统计量为:2012

19、2)(niiX返回未知时检验统计量2022) 1(Sn(2检验)已知时检验统计量20122)(niiX(2检验)0H1H在显著性水平下拒绝0H的条件202202) 1(2122n或) 1(222n)(2122n或)(222n202202) 1(22n)(22n202202) 1(212n)(212n结论如下结论如下：返回第第5.35.3节节 两个正态总体的假设检验两个正态总体的假设检验 先看一个例子，先看一个例子，某地区高考负责人从某年来自A市中学考生和来自B市中学考生中抽样获得如下资料: A市中学考生: B市中学考生:50,545,17111sxn55,495,15222sxn 已知两地考生

20、成绩服从正态分布，方差大致相同,由以上资料能不能说某年来自能不能说某年来自A市中学考生的平均成绩比来自市中学考生的平均成绩比来自B市中学考生的平均成绩高市中学考生的平均成绩高.设A市考生成绩XN(1,12), B市考生成绩Y N(2,22),21假设检验返回(一一) 12, 22已知已知, 1- -2的假设检验的假设检验: 设总体XN(1,12),总体Y N(2,22),X,Y相互独立,从中分别抽取容量为n1,n2的样本X1, 和Y1, , 样本均值和样本方差分别记为.,;,2221SYSX1nX2nY2221210/)(nnYXZ (2) 选择检验统计量选择检验统计量:(1) 提出原假设和备

21、择假设提出原假设和备择假设: H0:1- -2=0 ，H1: 1- -2 0 返回同单正态总体类似可得同单正态总体类似可得:0210:H的拒绝条件为: zZ 0210:H的拒绝条件为: zZ(4)将样本观测值代入将样本观测值代入Z, 若若|Z|z/2,否定原假设否定原假设; 若若|Z|z/2,接受原假设接受原假设.21)(2 z(3)给定给定,查查z/2, 得得否定域为否定域为|Z| z/2, 其中其中返回解解 设第一教学班数学成绩)57,(1NX,第二教学班数学成绩)53,(2NY, nnn21= 14, 05. 0. 建立假设 0:210H, 0:211H5.3.1例例5.3.1 从两个教

22、学班各随机选取14名学生进行数学测验, 第一教学班与第二教学班测验结果分别由表5.3.1中的A列与B列单元格所示, 已知两教学班数学成绩的方差分别为57与53, 在显著性水平0.05下, 可否认为这两个教学班学生的数学测验成绩有差异?返回(二二) 12=22=2, 2未知未知,1- -2的假设检验的假设检验:)2(/1/1)(2121021nntnnSXXTp (1) 选择检验统计量选择检验统计量(2)给定给定,由由Excel得得 t/2(n1+n2-2)，可知，可知(T(T检验）检验）0210:H的拒绝条件为: )2(|212nntT0210:H的拒绝条件为: )2(21nntT0210:H

23、的拒绝条件为: )2(21nntT返回例例5.3.2 某地区高考负责人想知道能不能说某年来自城市中学考生的平均成绩比来自农村中学考生的平均成绩高,已知总体服从正态分布且方差大致相同, 由抽样获得资料如图A 列和 B 列解解 建立假设: 0:210H, 0:211H5.3.2返回(三三)未知未知1,2，方差比方差比12/ /22的假设检验的假设检验: (2)选择检验统计量选择检验统计量:(3)查临界值查临界值:) 1, 1(212221nnFSSF)1n , 1n(F2121Xf(x)/2/2)1n , 1n(F21212得否定域为F 2)1n , 1n(F1122/) 1, 1(,) 1, 1

24、(121221221nnFnnF(4)将样本观测值代入将样本观测值代入F, 若若F 2否定原假设否定原假设; 否则否则,接受原假设接受原假设.(1)提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设: H0:12/ /22=1; H1: 12/ /22 1返回类似地可得:1:22210H的拒绝条件为: ) 1,1(21nnFF1:22210H的拒绝条件为: ) 1,1(211nnFF返回 双正态总体参数的假设检验双正态总体参数的假设检验 设总体 ,来自各个总体的s.r.s 分别为 ,且相互独立.),(),(222211NYNX21,;,11nnYYXXLL右侧左侧双侧检验方差均未知但相等时检验方差均已知

25、时均值的比较)()(. 1TZ右侧左侧双侧检验均值都未知时检验均值都已知时方差的比较)()(. 2FF返回例例5.3.3 假定分别抽选男生与女生各14名进行英语测验(成绩如下), 假定男生与女生的英语测验成绩分别服从正态分布 和 , 试以0.05的显著性水平检验),(NX211),(NY222,:H,:H22211222105.3.3返回单正态总体参单正态总体参数的假设检验数的假设检验双正态总体双正态总体的假设检验的假设检验小结小结: :期望假设检验方差的假设检验2已知2未知均值差的假设检验方差比的假设检验两个方差都已知两个方差未知但相等ZTF双侧单侧双侧单侧ZT2返回 (1)检验的命名依据的

26、是所用检验统计量的概率分布,无论是哪种检验,都要用到相应分布的分位数,各种分布的分位数记号一定要清楚; (2)无论是双侧检验还是单侧检验,对同一类检验问题,所选用的统计量都是一样的,所不同的是否定域,要很好地掌握确定否定域的方法; (3)方差未知时,对两总体均值的比较,应当先进行方差的比较(F F-检验),得到两总体方差相等的结论后,再进行均值的比较(t t-检验).注意注意: :返回2. 成对数据比较检验法成对数据比较检验法实例实例1 设某一种农作物有两个品种A、B, 要比较谁的平均亩产量大, 按前一段所讨论的检验两个正态总体均值之差的方法, 我们可以准备 块形状面积相同的地块, 其中 块种

27、植品种A, 得亩产量 , 另 块种植品种B, 得亩产量 , 然后按上段检验法去处理. 这样做有一个前提, 就是这个地块的条件必须比较一致, 不然的话, 假如分配给品种A的那块地比较肥沃, 或其它条件较好, 则即使A品种并不优于B, 试验结果也可能有利于它. 改进的方法是取n对地块, 每对包含两个形状条件一致的地块, 其中一块种植A, 另一块种植B (哪一块给A可随机决定). 这样设计时, 哪一个品种也不会占地利之便, 不同对的地块条件不必一致, 因而较容易办到21nn 1n1n21X,X,XL2n2,21nYYYL返回一般模型: 设有两个需要进行比较的处理,每对中的两个试验单元条件尽可能一致,

28、 而不同对之间则不要求一致, 在每一对内, 随机地决定把其中的一个试验单元给处理 1, 另一个给处理 2, 经过试验, 观测各处理在每个试验单元上的试验结果, 如下表:对处理 1处理 2差iiiYXZn21nXXX21nYYY21nnnYXZYXZYXZ222111假定iiiYXZ服从正态分布),(2N,表示处理 1 平均优于处理 2 的量.返回 两处理效果一样: =0 处理 2 不优于处理 1: 0 处理 2 不劣于处理 1: 0 处理 1 平均优于处理 2 的量为0: =0 处理 1 平均优于处理 2 的量不超过0: 0 处理 1 平均优于处理 2 的量不小于0: 0nZZZ,21L可视为

29、取自正态总体),(2N的样本,选取检验统计量: nSdZT0其中 YXZ, niindZZS12112)(,00:H成立时, ) 1(ntT,返回对给定的显著性水平,00:H的拒绝条件为: ) 1(|2ntT00:H的拒绝条件为: ) 1( ntT00:H的拒绝条件为: ) 1( ntT返回例例5.3.5 为了解两种教学法对9名学生试验的结果, 经试验后, 测得成绩如图中A列和B列. 假定总体为正态, 以0.05为显著性水平, 检验此两种教学法效果是否不同?解解 检验原假设00:H=05.3.5返回 1. 设我国出口凤尾鱼罐头250克,根据以往经验,标准差是3克.现在某食品工厂生产一批供出口用

30、的这种罐头,从中抽取100罐检验,其平均净重是251克.假定罐头重量服从正态分布,按规定显著性水平为0.05,问这批罐头是否合乎出口标准,即净重恰为250克?2=9已知,=250的一个正态总体假设检验.练习练习返回 2 . 一家食品加工公司的质量管理部门规定,某中包装食品每包净重不得少于20千克.经验表明,重量近似服从标准差为1.5千克的正态分布.假定从一个由50包食品构成的随机样本中得到的平均重量为19.5千克,问有无充分证据说明这些包装食品的平均重量减少了?方差已知,一个正态总体均值的单侧假设检验返回 3(954). 设 是来自正态总体 的s.r.s, 其中,2均为未知.记 则假设 的 t

31、 检验使用统计量 t =_niiniiXXSXnX1221)(,10:0H),(2NXnXX,1L) 1( nnSX返回 4(981). 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随即地抽取36位考生的成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并写出检验过程.附表: t 分布表pntntPp)()(0.950.975351.68962.0301361.68832.0281pn返回 5 某公司人事部门为一项工程上马在社会上招大批青年工人.在文化考试结束后,经理问人事部门情况怎么样?回答说:很好,估计平均成绩可达90分.经理随即地从试卷中抽出20份,发现平均成绩为83分,标准差为12分.如果经理想在0.01的显著性水平下检验人事部门所做的推测的准确性,应该怎样处理?方差未知,一个正态总体均值的双侧假设检验 H0:=90返回第第5.4节节 两个需要说明的问题两个需要说明的问题1. 统计检验与区间估计的关系统计检验与区间估计的关系 利用统计检验可建立区间估计, 反之亦然设 为取自正态总体 的样本,方差未知n21X,X,XL),(N2检验00:H, 01:H接受条件为:)1n(t|X|2nS0亦即)1n(tX)1n(tX22nS0nS0改成, 便可得到的置信度为 1-的置信区间.返回反之, 若我们先确定了 的区间