一个圆柱表面最短路径问题的解决

1、一个圆柱表面最短路径问题的解决陕西师范大学数学系 （710062） 罗增儒 本文展示一个圆柱表面最短路径问题的流行误解和探索轨迹，并提供最终解决1 一个流行误解的探索轨迹1-1 误解的呈现有一个流行的误解已经引起了部分人们的注意，但还没有被大家全都认识，请看：例1 （文1 P6说）在讲授平面展开图时我设计了这样一个题目：如图1，一只圆筒的下方有一只小壁虎，上方有一只蚊子现在小壁虎要想尽快吃到蚊子，它应该走哪条路径？请你帮小壁虎设计一条路线，具体怎么操作呢 文1继续说：“学生小组讨论，自主合作，共同探讨，鼓励学生发表自己的观点，充分肯定学生的积极参与性，让学生通过探索发现将圆筒沿着一条棱展开就可

2、得出解法的方法” 图1文1没有说学生具体怎么计算，但从图形没有出现上底直径、展开没有提到上下底等迹象可以猜测：学生的“探索发现”形同下面的例2（将圆筒沿着一条棱展开）例2 （2005年贵阳（课改）中考）如图2，一圆柱体的底面周长为24，高为4，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程大约是（ ）（A）6 （B）12 （C）13 （D）16图2 图3 解 把圆柱体沿母线展开，得图3所示的矩形，从点到点的最短路程就是线段的长（路径）因为的长是底面圆的周长的一半12，高的长是4，所以在直角中，由勾股定理得（cm）答案选（C）这种处理对吗？我们说，如果这正是例1学生“小组讨论，自主合作，共同

3、探讨”得出的方法的话，那么师生们就全都陷进了“流行的误解”，而教师则还没有尽到指导的责任（也可能是没有看清“表面”与“侧面”的微小区别）1-2 误解的剖析首先指出，上述例1、例2的处理中有三个“化归”是很好的：化归1：把一个实际问题转化为一个数学问题； 化归2：把一个空间问题转化为平面问题；化归3：把一个平面问题转化为解直角三角形（用到两点之间直线距离最短）但是，在把空间图形展平时没有注意到由点到点有两类路径：路径1：只走侧面展平后，转变为“两点之间直线距离最短”；路径2：既走侧面又走底面，走侧面时，转变为“两点之间直线距离最短”；走底面时，也走“两点之间的直线距离”这时，要用到底面的展平，并

4、且底面展平有多样性“流行的误解”就在于只看到第一类路径，没有看到第二类路径（逻辑漏洞1），更没有看到第二类路径的多样性（逻辑漏洞2，参见下文的讨论）如图4，将圆柱的侧面展开为矩形、上底面展开为母线上方的圆，由“两点之间直线距离最短”可以得到两条直线距离： 第一条，如例2所述，是沿侧面展平后的直线距离，有第二条，是先沿侧面走母线，然后走圆的直径，展平后有由于，所以比更小例2的答案是错误的 图4那么，是不是任何情况下都有呢？请看反例例3 如图2，一圆柱体的底面周长为16，高为4，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是 解 如图4，沿用例2的解法，有 ， ，但，所以那么，什么时候小、什

5、么时候小呢？1-3 误解的流行“解决”考虑更一般性的情况例4 如图2，一圆柱体的底面周长为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程解 如图4，沿用例2的解法，有 ， 分三种情况讨论：（1）（2）（3）记常数为，可见，与的大小关系有三种情况：当时，沿侧面爬行的路程最短，为；当时，先竖直向上爬到的正上方，再沿直径爬到点的路程最短，为；当时，两种爬行方式的路程一样看上去，这种讨论已经很细致了，文2进行到这里时，“教室响起了热烈的掌声”误认为问题已彻底解决的类似认识在文3等处也可以看到，然而，这依然有逻辑的漏洞为什么只有这两条路径呢？ 1-4 误解的继续探索事实上，蚂蚁从点出发沿着

6、圆柱体的表面爬行到点的路径，除了以上两种之外，还存在无穷多条从到的路径如图5所示：，其中是侧面上的最短距离（侧面展平后的直线距离），是上底面两点之间的直线距离，、也有可能三点共线文4清楚看到了这一点，也列出了相关函数式（以为自变量）， 但由于“涉及到一些较复杂的函数”，故仅“采用几何画板进行辅助探究”，“无法代替”证明 图5以上，就是人们对圆柱表面最短路径的认识轨迹（限于个人所见，疏漏在所难免），本文的目的是在简要展示的基础上，继续完成理论证明2 最短路径的的理论解决2-1 建立函数关系如图6，考虑例4设圆心角，则，展平后，为圆与矩形的切点，为折线，在直角中，有，在中用余弦定理，有 ，得的长度

7、为（的函数） ，（）当时，当时，下面，我们来讨论的最值图62-2 求导数令当时，对求导，有令，并连续变形，有 ， ， 在展开（即式）的讨论之前，我们先来认识式的几何意义，如图7所示， 图7首先，在等腰中，由外角定理有 其次，在中，由，可得 又由与矩形的边（）相切知，得 ， 即三点共线可见，三点共线2-3 的讨论分两种情况讨论：（1）当时把式变为由不等式（）知，所以 ，得为减函数，当时，取最小值 （2）当时易知（）为增函数，且值域为，故存在，使，即存在，使又当时，有，且 ，函数在上为增函数当时，有，且 函数在上为减函数可见，时，函数取极大值，也是上的最大值 所以，时函数的最小值为 对此再分三种情况讨论：（1）当时，有，得； （2）当时，有，得； （3）当时，有，得 2-4 函数最小值的结论综合、得：（1）当时，的最小值为；（2）当时，最小值为；（3）当时，最小值为此处的结果与§1-3相同，但逻辑路径不一样参考文献1 苏嘉玲初一数学教学应注意“首因效应”，防止厌学、弃学情绪的产生与蔓延基于中小学数学教学衔接的初步研究中学数学研究，2011，102