中考探究性问题专题讲座

1、中考探究性问题专题讲座中考探究性问题专题讲座 内江二中 祝小燕 中考探究性问题专题讲座中考探究性问题专题讲座一、一、探探究性问题的重要意义和作用究性问题的重要意义和作用二二 、内江内江近三年考题统计近三年考题统计三、探究性问题的常见类型三、探究性问题的常见类型四、探究性问题的四、探究性问题的复习建议复习建议一、一、探探究性问题的重要意义和作用究性问题的重要意义和作用 探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论息，通过

2、观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答。开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题答。开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征。这类题目形式新颖，格调清新，涉及的的明显特征。这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本技能十分广泛，解题过程中有较多的基础知识和基本技能十分广泛，解题过程中有较多的创造性和探索性，解答方法灵活多变，既需要扎实的创造性和探索性，解答方法灵活多变，既需要扎实的基础知识和基本技能，具备一定的数学能力，又需要基础知识和基本技能，具备一定的数学能力，又需要思维的创造

3、性和具有良好的个性品质。因此备受出题思维的创造性和具有良好的个性品质。因此备受出题教师青睐。在近几年全国各地的中考试题中教师青睐。在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频不仅频频出现出现,而且而且花样百出花样百出。 【命题趋势【命题趋势】 探究性数学问题在近几年的中考中频频探究性数学问题在近几年的中考中频频出现。出现。探究问题主要考查学生探究、发现、探究问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力总结问题的能力,主要包括规律探究问题、动主要包括规律探究问题、动态探究问题、态探究问题、条件条件结论探究问题、存在性探结论探究问题、存在性探究问题究问题，实验操作型探究问题实验操作型探究问题和阅读探究问和

4、阅读探究问题题.内江中考试卷中多以一至两小题和一个大内江中考试卷中多以一至两小题和一个大题出现，分值约有题出现，分值约有1020分，要求考生对问分，要求考生对问题进行观察、分析、比较、概括；达到发现题进行观察、分析、比较、概括；达到发现规律，或得出结论，并用结论解决相关问题。规律，或得出结论，并用结论解决相关问题。二二 、 内江内江近三年考题统计近三年考题统计年份201220132014题型A卷 B卷A卷 B卷A卷 B卷题号12 23，26 28(3) 23，24 12,16 25,21（2）28（3）分值3分 22分 12分14 分 10分合计25分12分24分考题回放考题回放（2012内江

5、）如图，正内江）如图，正ABC的边长为的边长为3cm，动点，动点P从点从点A出发，以出发，以每秒每秒1cm的速度，沿的速度，沿ABC的方向运动，到达点的方向运动，到达点C时停止，设运动时时停止，设运动时间为间为x（秒），（秒），y=PC2，则，则y关于关于x的函数的图象大致为（）的函数的图象大致为（）ABCD动态探究问题动态探究问题考题回放考题回放23. （12内江）已知反比例函数 的图像，当x取1，2，3， ，n时，对应在反比例图像上的点分别为 M1，M2，M3，Mn , 则：xy1= _规律探究问题规律探究问题考题回放考题回放 26. （12内江）已知内江）已知 为等边三角形，点为等边三角

6、形，点D 为直线为直线BC 上的一动点上的一动点（点（点 D不与不与BC 重合），以重合），以AD 为边作菱形为边作菱形ADEF ( 按逆时按逆时针排列），使针排列），使 ,连接连接CF. (1 ) 如图如图13-1，当点，当点D在边在边BC上时，求证：上时，求证： （2）如图）如图13-2，当点，当点 D 在边在边BC的延长线上且其他条件不变时，结的延长线上且其他条件不变时，结论论 是否成立？若不成立，请写出是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存之间存在的数量关系，并说明理由；在的数量关系，并说明理由； （3）如图）如图13-3，当点，当点D在边在边CB的延长线上且其他条件不变时，

7、补全的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在之间存在 的数量关系。的数量关系。ABCA D E F、 、060D AFB D C FAC CF CDACCFCD存在性探究问题存在性探究问题考题回放考题回放28（12分）（）（2012内江）如图，已知点内江）如图，已知点A（1，0），），B（4，0），点），点C在在y轴的正半轴上，且轴的正半轴上，且ACB=90，抛物线，抛物线y=ax2+bx+c经过经过A、B、C三点，其顶点为三点，其顶点为M（1）求抛物线）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；的解析式；（2）试判断直线）试判断直线CM与以与以AB

8、为直径的圆的位置关系，并加以为直径的圆的位置关系，并加以证明；证明；（3）在抛物线上是否存在点）在抛物线上是否存在点N，使得，使得SBCN=4？如果存在，那？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由存在性探究问题存在性探究问题考题回放考题回放23 (2013,内江）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为 cm动态探究问题动态探究问题考题回放考题回放（2013内江）如图，已知直线l：y= x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N

9、，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，；按此作法继续下去，则点M10的坐标为规律探究问题规律探究问题考题回放考题回放12（3分）（分）（2014内江）如图，已知内江）如图，已知A1、A2、A3、An、An+1是是x轴上的点，且轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=AnAn+1=1，分别过点，分别过点A1、A2、A3、An、An+1作作x轴的垂线交直线轴的垂线交直线y=2x于点于点B1、B2、B3、Bn、Bn+1，连接，连接A1B2、B1A2、B2A3、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点，依次相交于点P1、P2、P

10、3、PnA1B1P1、A2B2P2、AnBnPn的面积依次记的面积依次记为为S1、S2、S3、Sn，则，则Sn为（）为（）ABCD规律探究问题规律探究问题考题回放考题回放16（5分）（分）（2014内江）如图，将若干个正三角形、正内江）如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是个图形是规律探究问题规律探究问题考题回放考题回放21（9分）（分）（2014内江）如图，一次函数内江）如图，一次函数y=kx+b的图象的图象与反比例函数与反比例函数y= （x0）的图象交于点）的图象交于点P（n，2），与），与x轴交于点轴交于点A

11、（4，0），与），与y轴交于点轴交于点C，PBx轴于点轴于点B，且且AC=BC（1）求一次函数、反比例函数的解析式；）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形，使四边形BCPD为菱为菱形？如果存在，求出点形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由的坐标；如果不存在，说明理由存在性探究问存在性探究问题题mxmx考题回放考题回放25（6分）（分）（2014内江）通过对课本中内江）通过对课本中硬币滚动中的硬币滚动中的数学数学的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（

12、如图的圆心运动的路程（如图）在图）在图中，有中，有2014个半径个半径为为r的圆紧密排列成一条直线，半径为的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆的动圆C从图示位置从图示位置绕这绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆动圆C自身转动的周数为自身转动的周数为动态探究问题动态探究问题考题回放考题回放28（12分）（分）（2014内江）如图，抛物线内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过经过A（3.0）、）、C（0，4），点），点B在抛物线上，在抛物线上，CBx轴，且轴，且AB平分平分CAO（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）

13、线段）线段AB上有一动点上有一动点P，过点，过点P作作y轴的平行线，交抛物轴的平行线，交抛物线于点线于点Q，求线段，求线段PQ的最大值；的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点）抛物线的对称轴上是否存在点M，使，使ABM是以是以AB为为直角边的直角三角形？如果存在，求出点直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不的坐标；如果不存在，说明理由存在，说明理由存在性问题探究存在性问题探究三、探究性问题的常见类型三、探究性问题的常见类型（一）规律探究问题（一）规律探究问题（二）动态探究问题（二）动态探究问题（三）条件、结论探究问题（三）条件、结论探究问题（四）存在性探究问题（四）存在性探究

14、问题（五）阅读探究问题（五）阅读探究问题（六）实验操作型探究问题（六）实验操作型探究问题（一）（一）规律探究问题规律探究问题 规律探究问题是指由几个具体结论通过类比、规律探究问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用结论，

15、然后再给出合理的证明或加以运用. .例例1（2014南充）一列数a1，a2，a3，an，其中a1=-1，a2= ，a3= ，an= ，则a1+a2+a3+a2014= （一）（一）规律探规律探究究问题问题1、数、代数式规律探究、数、代数式规律探究111a211 a111na 例例2（2014北海）下列式子按一定规律排北海）下列式子按一定规律排列：列： ，则第，则第2014个式子个式子是是 （一）（一）规律探规律探究究问题问题1、数、代数式规律探究、数、代数式规律探究 357aaaa,2468 （一）规律探究问题（一）规律探究问题2、图形规律探究、图形规律探究例例1（2014德阳）如图，直线德阳

16、）如图，直线ab，ABC是等边三角是等边三角形，点形，点A在直线在直线a上，边上，边BC在直线在直线b上，把上，把ABC沿沿BC方方向平移向平移BC的一半得到的一半得到ABC（如图（如图）；继续以上的）；继续以上的平移得到图平移得到图，再继续以上的平移得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在；请问在第第100个图形中等边三角形的个数是个图形中等边三角形的个数是 （一）规律探究问题（一）规律探究问题2、图形规律探究、图形规律探究例例2（2014绵阳）将边长为绵阳）将边长为1的正方形纸片按图的正方形纸片按图1所示方法所示方法进行对折，记第进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为次对折后得到的图形面

17、积为S1，第，第2次次对折后得到的图形面积为对折后得到的图形面积为S2，第，第n次对折后得到的图次对折后得到的图形面积为形面积为Sn，请根据图，请根据图2化简，化简，S1+S2+S3+S2014= （一）规律探究问题（一）规律探究问题3、等式规律探究、等式规律探究例例1（2014安徽）观察下列关于自然数的等式：安徽）观察下列关于自然数的等式：（1）32412=5 （1）（2）52422=9 （2）（3）72432=13 （3）根据上述规律解决下列问题：根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：）完成第四个等式：924（ ）2=（ ）；）；（2）写出你猜想的第）写出你猜想的第n个等式（用含

18、个等式（用含n的式子表示），并验的式子表示），并验证其正确性。证其正确性。（一）规律探究问题（一）规律探究问题3、等式规律探究、等式规律探究例例2(2014年湖北黄石年湖北黄石)观察下列等式：观察下列等式：第一个等式：第一个等式：a1= = ；第二个等式：第二个等式：a2= = ；第三个等式：第三个等式：a3= = ；第四个等式：第四个等式：a4= = 按上述规律，回答以下问题：按上述规律，回答以下问题：（1）用含）用含n的代数式表示第的代数式表示第n个等式：个等式：an=；（2）式子）式子a1+a2+a3+a20=（二）（二）动态动态探究问题探究问题 动态性问题多以函数图象、三角形、四边形等

19、动态性问题多以函数图象、三角形、四边形等图形为背景，以点、线或图形的运动为直观反映，图形为背景，以点、线或图形的运动为直观反映，探寻运动过程中各种数量之间的关系解决此类问探寻运动过程中各种数量之间的关系解决此类问题要对图形的运动过程有一个完整、清晰的认识，题要对图形的运动过程有一个完整、清晰的认识，尤其要关注具有特殊位置的关键点，尤其要关注具有特殊位置的关键点，“化动为化动为静静”“”“动中求静动中求静”，挖掘，挖掘“动动”与与“静静”的内在联的内在联系，寻找变化规律，寻求解决问题的策略系，寻找变化规律，寻求解决问题的策略（二）动态探究问题（二）动态探究问题例例1(2014年河南省年河南省)如

20、图，在如图，在RtABC中，中，C=90，AC=1cm，BC=2cm，点，点P从点从点A出发，以出发，以1cm/s的速度沿折线的速度沿折线ACCBBA运运动，最终回到点动，最终回到点A，设点，设点P的运动时间为的运动时间为x（s），线段），线段AP的长度为的长度为y（cm），则能够反映），则能够反映y与与x之间函数关系的图象大致是（）之间函数关系的图象大致是（）A.B.C.D.（二）动态探究问题（二）动态探究问题例例2.（2014广东）如图，在广东）如图，在ABC中，中，AB=AC，ADAB点点D，BC=10cm，AD=8cm，点，点P从点从点B出发，在线段出发，在线段BC上以每秒上以每秒3c

21、m的速度向点的速度向点C匀速运动，与匀速运动，与此同时，垂直于此同时，垂直于AD的直线的直线m从底边从底边BC出发，以每秒出发，以每秒2cm的速度沿的速度沿DA方向匀速平方向匀速平移，分别交移，分别交AB、AC、AD于于E、F、H，当点，当点P到达点到达点C时，点时，点P与直线与直线m同时停止同时停止运动，设运动时间为运动，设运动时间为t秒（秒（t0）。）。（1）当）当t=2时，连接时，连接DE、DF，求证：四边形，求证：四边形AEDF为菱形；为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的）在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当的面积存在最大值，当PEF的面积的面积最大时，求线段最大时

22、，求线段BP的长；的长；（3）是否存在某一时刻）是否存在某一时刻t，使，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，的值，若不存在，请说明理由。若不存在，请说明理由。（三）条件、结论探究问题（三）条件、结论探究问题 探究条件型问题是指问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题探究条件型问题是指问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目。解答探求条件型问题的思路是，从所给结论出发，设想出合乎要求的一目。解答探求条件型问题的思路是，从所给结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，并进行逻辑证明，从而寻找出满足结论的条件。些条件，逐一列出，并进行

23、逻辑证明，从而寻找出满足结论的条件。 探求结探求结论型问题是指由给定的已知条件探求相应的结论的问题。解答这类问题的思论型问题是指由给定的已知条件探求相应的结论的问题。解答这类问题的思路是：从所给条件（包括图形特征）出发，进行探索、归纳，大胆猜想出结路是：从所给条件（包括图形特征）出发，进行探索、归纳，大胆猜想出结论，然后对猜想的结论进行推理、证明。论，然后对猜想的结论进行推理、证明。 【例【例1】(2010河南河南)如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，ADBC，E是是BC的的中点，中点，AD=5，BC=12，CD= ，C=45，点，点P是是BC边上一动点，设边上一动点，设PB的长为的长为x

24、.(1)当当x的值为的值为_时，以点时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；为顶点的四边形为直角梯形；(2)当当x的值为的值为_时，以点时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；为顶点的四边形为平行四边形；(3)点点P在在BC边上运动的过程中，以边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由试说明理由.24（三）条件、结论探究问题（三）条件、结论探究问题1、条件探究问题、条件探究问题（三）条件、结论探究问题（三）条件、结论探究问题2、结论探究问题、结论探究问题例例1.2013淄博淄博 分别以平行四边形分别以平行四边形ABCD

25、(CDA90)的三边的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形：为斜边作等腰直角三角形：ABE，CDG，ADF.(1)如图如图ZT43，当三个等腰直角三角形都在该平行四，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的外部时，连接边形的外部时，连接GF，EF.请判断请判断GF与与EF的关系的关系(2)如图如图，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的内，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的内部时，连接部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，给出中结论还成立吗？若成立，给出证明：若不成立，说明理由证明：若不成立，说明理由(四四)存在性探究问题存在性探究问题 探究存在性型问题是指在一定的条件下

26、，判断某种数探究存在性型问题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题，它有结论存在和结论不存在两学对象是否存在的问题，它有结论存在和结论不存在两种情形，解答这类问题，一般先对结论作肯定存在的假种情形，解答这类问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论证，若导出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论。论，则说明假设正确，由此得出问题的结论。 【例【例1】（2011内江）如图抛物线内江）如图抛物线y = x2mx +

27、n与与x轴交于轴交于A、B两点，两点，与与y轴交于点轴交于点C（0，1），且对称轴），且对称轴x=l（1）求出抛物线的解析式及）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；两点的坐标；（2）在）在x轴下方的抛物线上是否存在点轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形，使四边形ABDC的面积为的面积为3若若存在，求出点存在，求出点D的坐标；若不存在说明理由；的坐标；若不存在说明理由；（3）点）点Q在在y轴上，点轴上，点P在抛物线上，要使在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标。的坐标。(四四)存在性探究问题存

28、在性探究问题【例【例2】（2012内江）如图，已知点内江）如图，已知点A（1，0），），B（4，0），点），点C在在y轴轴的正半轴上，且的正半轴上，且ACB=90，抛物线，抛物线y=ax2+bx+c经过经过A、B、C三点，其三点，其顶点为顶点为M（1）求抛物线）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；的解析式；（2）试判断直线）试判断直线CM与以与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；为直径的圆的位置关系，并加以证明；（3）在抛物线上是否存在点）在抛物线上是否存在点N，使得，使得SBCN=4？如果存在，那么这样的点有几？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由个？如果不存在，请说明

29、理由(四四)存在性探究问题存在性探究问题(四四)存在性探究问题存在性探究问题例例3（2014内江）如图，一次函数内江）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函的图象与反比例函数数y= （x0）的图象交于点）的图象交于点P（n，2），与），与x轴交于点轴交于点A（4，0），与），与y轴交于点轴交于点C，PBx轴于点轴于点B，且，且AC=BC（1）求一次函数、反比例函数的解析式；）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形，使四边形BCPD为菱形？为菱形？如果存在，求出点如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由的坐标；如果不存在

30、，说明理由mx（四）存在性问题探究（四）存在性问题探究例例4.（2014内江）如图，抛物线内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过经过A（3，0）、）、C（0，4），点），点B在抛物线上，在抛物线上，CBx轴，且轴，且AB平分平分CAO（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）线段）线段AB上有一动点上有一动点P，过点，过点P作作y轴的平行线，交抛物线于点轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段求线段PQ的最大值；的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点）抛物线的对称轴上是否存在点M，使，使ABM是以是以AB为直角边的为直角边的直角三角形？如果存在，求出点直角三角形？如果存在，求出点M的

31、坐标；如果不存在，说明理由的坐标；如果不存在，说明理由（五）阅读（五）阅读探究问题探究问题 阅读探究型主要是有两种形式。第一种是通过阅读材料，阅读探究型主要是有两种形式。第一种是通过阅读材料，发现规律，归纳得到一般性结论并加以运用；第二种是发现规律，归纳得到一般性结论并加以运用；第二种是通过阅读材料学习一个新的定理或新的解题方法，直接通过阅读材料学习一个新的定理或新的解题方法，直接运用这一定理或方法解决问题。在这一类问题中，从特运用这一定理或方法解决问题。在这一类问题中，从特殊到一般、类比等数学思想和方法就显得尤为重要。殊到一般、类比等数学思想和方法就显得尤为重要。 （五）阅读探究问题（五）阅

32、读探究问题例例1.（2014成都）在边长为成都）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为称小正方形的顶点为“格点格点”，顶点全在格点上的多边形，顶点全在格点上的多边形为为“格点多边形格点多边形”格点多边形的面积记为格点多边形的面积记为S，其内部的格，其内部的格点数记为点数记为N，边界上的格点数记为，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边；图中格点多边形形DEFGHI所对应的所对应的S，N，L分别是分别是经探究发现，经探究发现，任意格点多边形的面积任意格点多边形

33、的面积S可表示为可表示为S=aN+bL+c，其中，其中a，b，c为常数，则当为常数，则当N=5，L=14时，时，S=（用数值作答）（用数值作答）（五）阅读探究问题（五）阅读探究问题例例2（2014自贡）阅读理解：自贡）阅读理解：如图如图，在四边形，在四边形ABCD的边的边AB上任取一点上任取一点E（点（点E不与不与A、B重合），分别连接重合），分别连接ED、EC，可以把四边形，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把我们就把E叫做四边形叫做四边形ABCD的边的边AB上的上的“相似点相似点”；如果这三个三角形都相似，；如果这

34、三个三角形都相似，我们就把我们就把E叫做四边形叫做四边形ABCD的边的边AB上的上的“强相似点强相似点”解决问题：解决问题：（1）如图）如图，A=B=DEC=45，试判断点，试判断点E是否是四边形是否是四边形ABCD的边的边AB上的相似点，并说明理由；上的相似点，并说明理由；（2）如图）如图，在矩形，在矩形ABCD中，中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出中画出矩形矩形ABCD的边的边AB上的强相似点；上的强相似点；（3）如图）如图

35、，将矩形，将矩形ABCD沿沿CM折叠，使点折叠，使点D落在落在AB边上的点边上的点E处，若点处，若点E恰恰好是四边形好是四边形ABCM的边的边AB上的一个强相似点，试探究上的一个强相似点，试探究AB与与BC的数量关系的数量关系（五）阅读探究问题（五）阅读探究问题例例3.（2013安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为形称为“准等腰梯形准等腰梯形”如图如图1，四边形，四边形ABCD即为即为“准等腰梯形准等腰梯形”其中其中B=C（1）在图）在图1所示的所示的“准等腰梯形准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一

36、条直线中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图）如图2，在，在“准等腰梯形准等腰梯形”ABCD中中B=CE为边为边BC上一点，若上一点，若ABDE，AEDC，求证：，求证： ；（3）在由不平行于）在由不平行于BC的直线的直线AD截截PBC所得的四边形所得的四边形ABCD中，中，BAD与与ADC的平分线交于点的平分线交于点E若若EB=EC，请问当点，请问当点E在四边形在四边形ABCD内部时（即内部时（

37、即图图3所示情形），四边形所示情形），四边形ABCD是不是是不是“准等腰梯形准等腰梯形”，为什么？若点，为什么？若点E不在四不在四边形边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由ABBEDCEC（六）实验操作型探究问题（六）实验操作型探究问题 数学不仅是思维科学，也是实验科学，通过实数学不仅是思维科学，也是实验科学，通过实验操作，观察猜想，调整等合情推理，得到数学结验操作，观察猜想，调整等合情推理，得到数学结论，近年来，各地中考试题常以此来考查学生的数论，近年来，各地中考试题常以此来考查学生的数学实践能力和创新能力，这种实验操作形

38、式也是进学实践能力和创新能力，这种实验操作形式也是进行科学研究的最基本形式。实验操作型探究问题主行科学研究的最基本形式。实验操作型探究问题主要考察：全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等要考察：全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等操作变幻的若干方法和技巧，综合运用相关知识解操作变幻的若干方法和技巧，综合运用相关知识解决应用问题。决应用问题。 （六）实验操作型探究问题（六）实验操作型探究问题例例1（2014山西）山西）.课程学习：正方形折纸中的数学课程学习：正方形折纸中的数学动手操作：如图动手操作：如图1，四边形，四边形ABCD是一是一张正方形纸片，先将正方形张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，

39、使对折，使BC与与AD重合，折痕为重合，折痕为EF，把这个正方形展平，把这个正方形展平，然后沿直线然后沿直线CG折叠，使折叠，使B点落在点落在EF上，对应点为上，对应点为B数学思考：（数学思考：（1）求）求CBF的度数；（的度数；（2）如图）如图2，在图，在图1的基础上，连接的基础上，连接AB，试判断，试判断BAE与与GCB的大小关系，并说明理由；的大小关系，并说明理由；解决问题：解决问题：（3）如图）如图3，按以下步骤进行操作：，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形第一步：先将正方形ABCD对折，使对折，使BC与与AD重合，折痕为重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继，把这个正方形展平

40、，然后继续对折，使续对折，使AB与与DC重合，折痕为重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设，再把这个正方形展平，设EF和和MN相交于点相交于点O；第二步：沿直线第二步：沿直线CG折叠，使折叠，使B点落在点落在EF上，对应点为上，对应点为B，再沿直线，再沿直线AH折叠，使折叠，使D点落在点落在EF上，对应点为上，对应点为D；第三步：设第三步：设CG、AH分别与分别与MN相交于点相交于点P、Q，连接，连接BP、PD、DQ、QB，试判断四边形，试判断四边形BPDQ的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论（六）实验操作型探究问题（六）实验操作型探究问题例例2.（2014南昌）如图南昌）如图1，边

41、长为，边长为4的正方形的正方形ABCD中，点中，点E在在AB边上（不与边上（不与点点A，B重合），点重合），点F在在BC边上（不与点边上（不与点B，C重合）重合）第一次操作：将线段第一次操作：将线段EF绕点绕点F顺时针旋转，当点顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段第二次操作：将线段FG绕点绕点G顺时针旋转，当点顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点落在正方形上时，记为点H；依次操作下去依次操作下去（1）图）图2中的中的EFD是经过两次操作后得到的，其形状为是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线，求此时线段段EF的长；的长；（2）若经过三次

42、操作可得到四边形）若经过三次操作可得到四边形EFGH请判断四边形请判断四边形EFGH的形状为的形状为，此时，此时AE与与BF的数量关系是的数量关系是；以以中的结论为前提，设中的结论为前提，设AE的长为的长为x，四边形，四边形EFGH的面积为的面积为y，求，求y与与x的的函数关系式及面积函数关系式及面积y的取值范围；的取值范围；四、探究性问题的复习建议四、探究性问题的复习建议 （一）注意数学思想和方法的渗透（一）注意数学思想和方法的渗透 （二）回归教材，加强对课题学习的探究（二）回归教材，加强对课题学习的探究 （三）注意初高中知识的衔接（三）注意初高中知识的衔接 （四）加强对学生自信心的培养（四

43、）加强对学生自信心的培养四、探究性问题的复习建议四、探究性问题的复习建议 （一）注意数学思想和方法的渗透 1、从特殊到一般、从特殊到一般 2、类比与推理、类比与推理 3、分类讨论、分类讨论 4、数形结合、数形结合 （一）注意数学思想和方法的渗透（一）注意数学思想和方法的渗透1、从特殊到一般、从特殊到一般61 【例【例1】（2011 内江）同学们，我们曾经研究过内江）同学们，我们曾经研究过nn的正方形网格，得到了网格的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为中正方形的总数的表达式为12+22+3+n2但但n为为100时，应如何计算正方形的具体个数时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就

44、一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道01+12+23+(n-1) n= n(n+1)(n-1)时，我们可以这样做：时，我们可以这样做：（1）观察并猜想：）观察并猜想：12+22=（1+0）1+（1+1）2=l+01+2+12=（1+2）+（01+12）12+22+32=（1+0）1+（1+1）2+（l+2）3=1+01+2+12+3+23=（1+2+3）+（01+12+23）12+22+32+42=（1+0）1+（1+1）2+（l+2）3+ _=1+01+2+12+3+23+ _=（1+2+3+4）+（_ _）（2）

45、归纳结论：）归纳结论：12+22+32+n2=（1+0）1+（1+1）2+（1+2）3+1+（n-l）n=1+01+2+12+3+23+n+（n-1）n=（_）+ _= _+ _= _（3 ）实践应用：）实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当通过以上探究过程，我们就可以算出当n为为100时，正方形网格中正方形的总个数是时，正方形网格中正方形的总个数是_。（一）注意数学思想和方法的渗透（一）注意数学思想和方法的渗透1、从特殊到一般、从特殊到一般例例2.（2013泸州）如图，点泸州）如图，点P1（x1，y1），点），点P2（x2，y2），），点，点Pn（xn，yn）在函数（）在函数（x0）的

46、图象上，）的图象上，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn1An都是等都是等腰直角三角形，斜边腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，An1An都在都在x轴上（轴上（n是大于或等于是大于或等于2的正整数），则点的正整数），则点P3的坐标是的坐标是；点点Pn的坐标是的坐标是（用含（用含n的式子表示）的式子表示）（一）注意数学思想和方法的渗透（一）注意数学思想和方法的渗透2、类比与推理、类比与推理例例1（2013达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完

47、整请补充完整原题：如图原题：如图1，点，点E、F分别在正方形分别在正方形ABCD的边的边BC、CD上，上，EAF=45，连接，连接EF，则，则EF=BE+DF，试说，试说明理由明理由（1）思路梳理）思路梳理AB=CD，把把ABE绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90至至ADG，可使，可使AB与与AD重合重合ADC=B=90，FDG=180，点，点F、D、G共线共线根据根据_，易证，易证AFG _，得，得EF=BE+DF（2）类比引申）类比引申如图如图2，四边形，四边形ABCD中，中，AB=AD，BAD=90点点E、F分别在边分别在边BC、CD上，上，EAF=45若若B、D都不是直角，则当都不是直角

48、，则当B与与D满足等量关系满足等量关系_时，仍有时，仍有EF=BE+DF（3）联想拓展）联想拓展如图如图3，在，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，点，点D、E均在边均在边BC上，且上，且DAE=45猜想猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程应满足的等量关系，并写出推理过程.（一）注意数学思想和方法的渗透（一）注意数学思想和方法的渗透3、分类讨论、分类讨论例例1.（2011内江）如图抛物线内江）如图抛物线y = x2mx + n与与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C（0，1），且对称轴），且对称轴x=l（1）求出抛物线的解析式及）求出抛物线的解析式及A

49、、B两点的坐标；两点的坐标；（2）在）在x轴下方的抛物线上是否存在点轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形，使四边形ABDC的的面积为面积为3若存在，求出点若存在，求出点D的坐标；若不存在说明理由；的坐标；若不存在说明理由；（3）点）点Q在在y轴上，点轴上，点P在抛物线上，要使在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标。的坐标。（一）注意数学思想和方法的渗透（一）注意数学思想和方法的渗透3、分类讨论、分类讨论例例2. （2014内江）如图，抛物线内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过经过A（3.

50、0）、）、C（0，4），点），点B在抛物线上，在抛物线上，CBx轴，且轴，且AB平分平分CAO（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）线段）线段AB上有一动点上有一动点P，过点，过点P作作y轴的平行线，交抛物线于点轴的平行线，交抛物线于点Q，求线，求线段段PQ的最大值；的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点）抛物线的对称轴上是否存在点M，使，使ABM是以是以AB为直角边的直角为直角边的直角三角形？如果存在，求出点三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由的坐标；如果不存在，说明理由（2008乐山）阅读下列材料：乐山）阅读下列材料：我们知道我们知道x的几何意义是在数轴上

51、数的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即对应的点与原点的距离；即x=x-0，也就是说，也就是说，x表示在数轴上数与数对应点之间的距离；表示在数轴上数与数对应点之间的距离；这个结论可以推广为这个结论可以推广为x1-x2表示在数轴上数表示在数轴上数x1、x2对应点之间的距离；对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：解方程解方程x=2容易得出，在数轴上与原点距离为容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为的点对应的数为 2，即，即该方程的该方程的x=2；解不等式解不等式x-12如图（如图（16）在数轴上找出）在数轴上找出x-

52、1=2的解，即到的解，即到1的距离的距离为为2的点对应的数为的点对应的数为-1、3，则，则x-12的解为的解为x3；解方程解方程x-1+x+2=5由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和和-2的距离之和为的距离之和为5的点对应的的点对应的x的值在数轴上，的值在数轴上，1和和-2的距离为的距离为3，满足，满足方程的对应点在方程的对应点在1的右边或的右边或-2的左边若对应点在的左边若对应点在1的右边，由图（的右边，由图（17）可以）可以看出看出x=2；同理，若对应点在；同理，若对应点在-2的左边的左边x=-3，可得故原方程的解是，可得故原方程的解

53、是x=2或或x=-3参考阅读材料，解答下列问题：参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程）方程x+3=4的解为的解为 ；（2）解不等式）解不等式x-3+x+4 9；（3）若）若 对任意的对任意的x都都成立，求成立，求a的取值范围的取值范围|3|4|xxa（一）注意数学思想和方法的渗透（一）注意数学思想和方法的渗透4、数形结合、数形结合（二）回归教材，加强对课题学习的探究（二）回归教材，加强对课题学习的探究例例1（2010内江）阅读理解：内江）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标

54、系中，任意两点 的对称中心的坐标为的对称中心的坐标为 观察应用：观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点）如图，在平面直角坐标系中，若点 的对称中心是点的对称中心是点A则点则点A的坐的坐标为标为_；（2）另取两点）另取两点 有一电子青蛙从点有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点处开始依次关于点A,B,C作循环作循环对称跳动，即第一次跳到点对称跳动，即第一次跳到点P1关于点关于点A的对称点的对称点P2处，接着跳到点处，接着跳到点P2关于点关于点P的对的对称点称点P3处，第三次再跳到点处，第三次再跳到点P3关于点关于点C的对称点的对称点P4处，第四次再跳到点处，第四次再跳到点P4关于点关于点A的对称点的对称点P5处，处，则点则点 的坐标分别为的坐标分别为_、_.拓展延伸：拓展延伸：（3）求出点）求出点P2012的坐标，并直接写出在的坐标，并直接写出在x轴上与点轴上与点P2012、点、点C构成等腰三角形的点的坐标构成等腰三角形的点