方程与不等式之一元二次方程基础测试题及答案

1、方程与不等式之一元二次方程根底测试题及答案一、选择题1. 聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式2扌-3x + 5的值的情况他们做了如下分 工,聪聪负责找值为0时x的值,明明负贵找值为4时x的值,伶伶负责找最小值,俐俐 负资找最大值,几分钟,各自通报探究的结论,其中正确的选项是()(1) 聪聪认为找不到实数X,使2-3x + 5的值为o；(2) 明明认为只有当x = l时,2x直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根,那么此三角形的第三边是()-3x + 5的值为4：(3) 伶伶发现2F 3X + 5有最小值；(4)俐俐发现2F 3X + 5有最大值A. (1) (2)B

2、. (1) (3)C. (1)(4)D. (1) (2)(4)【答案】B【解析】【分析】3解一元二次方程,根据判别式即可判断(1) (2),将式子2/-3X+5配方为2 (% -)431彳+瓦,根据平方的非负性即可判断(3) (4).【详解】解：(1) 2x2-3x+5 = 0, A = 32-4x2x5<0,方程无实数根,故聪聪找不到实数X,使R -3x+5的值为0正确,符合题意,(2) 2/3x+5=4,解得Xi = l9 *2=丄,方程有两个不相等的实数根,故明明认为只有2当x=l时,2x2 - 3x+5的值为4错误,不符合题意,3 31(3) 2x2 3x+5 = 2 (x )2

3、+ ,4 83又 V (x - -) 2>0,43 , 31 31：.2 (x)2+ > ,4 882x2_3x+5有最小值,故伶伶发现2x2 - 3x+5有最小值正确,符合题意,(4) 由(3)可知2/-3X+5没有最人值,故俐俐发现2/-3X+5有最人值错误,不符合题 意,应选：B,【点睛】此题考查解一元二次方程和配方法的应用,掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本 题的关键.A. 6 或 8B. 10 或 J?C. 10 或 8D. 2>/7【答案】B【解析】【分析】先解方程x2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长,再根据勾股定理即可求得结果.【详解】解：解方程

4、 x2-14x+48=0 得 xf6, x2=8当8为直角边时,第三边=你而=10当8为斜边长时,第三边=唐有=2丁7 应选B.考点：解一元二次方程,勾股定理点评：分类讨论问题是初中数学学习中的重点和难点,是中考的热点,尤其在压轴题中比 较常见,一般难度较大,需特别注意.3. 假设a, b为方程x2-5x一1 = 0的两个实数根,贝9 2a' + 3ab + 8b 2a的值为()A. -41B. -35C. 39D. 45【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-l=0, a+b=5, ab=-1,把 2a2+3ab + 8b-2a

5、 变形为 2(a2-5a-l)+3ab+8(a+b)+2,即可得答案.【详解】 a, b为方程x2-5x-l = 0的两个实数根,:.a2-5a-l=0, a+b=5, ab=-l,'2 a2 + 3ab + 8b-2a=2(a2-5a-l)+3ab+&a+b)+2=2x0+3x (-1) +8x5+2=39.应选：c.【点睛】此题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系,假设一元二次方程bcax2+bx+c=0(a0)的两个根为xi、x2t那么X1+X2二,xrx2=:熟练掌握韦达定理是解题关aa键. 八年级(1)班局部学生去春游时,每人都和同行的其他每一人

6、合照一张双人照,共照了 双人照片36张,那么同去春游的人数是()A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】A【解析】【分析】设同去春游的人数是X人,由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照 片36张,即可得出关于X的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【详解】解：设同去春游的人数是X人, 依题意,得：扌xx1 = 36, 解得：呂=9, x2 =-8 舍去.应选：4.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.5. 一列自然数0, 1, 2, 3,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.那么以下结论正确的选项是A

7、. 原数与对应新数的差不可能等于零B. 原数与对应新数的差,随着原数的增人而增人C. 当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30D. 当原数取50时,原数与对应新数的差最人【答案】D【解析】【分析】设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解.100y=o,那么A错误【详解】 解：设原数为m,那么新数为厶讦,100设新数与原数的差为y那么 y = innr =/矿 + m ,100 "易得,当m=0时,V-<0100b二.时,y有最大值.那么B错误,D正确.当y"时,-而"+心m =- 当 2a 解得耳=30,加2 =70,那么C错误.故答案选：D.

8、【点睛】此题以规律探究为背景,综合考查二次函数性质和解一元二次方程,解题时要注意将数字 规律转化为数学符号.6. 己知是方程x2-2x-1 = 0的两根,且7" -1伽+a3沪一 5“+加=10,那么"的值是A. -5B. 5C. -9D. 9【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m2-2m = l,n2-2n = 1,/n + n = 2,结合 7讦一1伽+町3'一5 + ? = 10,可求出Q的值,此题得解.【详解】解：？,是方程x2-2x-1 = 0的两根,in1 - 2m = 1, n2 - 2n = 1, m +n = 2 .7

9、F -147 + °3' 一5 + 加=10 ,即7 + c/3 + 2 = 10,ci = -5.应选：A.【点睛】此题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系,解题的关键是掌握根与系数的关系,正 确求出4的值. 某厂四月份生产零件100万个,第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均 每月的增长率为x,那么x满足的方程是A. 100 1+x 2=282B. 100+100 1+x +100 1+x 2=282C. 100 l+2x =282D. 100+100 1+x +100 l+2x =282【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题,一般增长后的量二增长前的

10、量x 1+增长率,如果该厂五、六月份 平均每月的增长率为X,那么可以用x分别表示五、六月份的产量,然后根据题意可得出 方程.【详解】五月份的产量“00 (1+x),六月份的产量=100(1 + X)2,根据题意可得：100+100 (1+x) +100(l + JC)2 =282.应选：B.【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,增长率问题,一般形式为d(l + x)'=b, a 为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量.&£、兀是一元二次方程x2-2x = 0的两个实数根,以下结论错误的选项是() A.兀工丕B. x; -2 = 0 C.兀 + 兀=2D

11、. xt-x2 = 2【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.【详解】X】、X2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,这里 a=l, b=-2, c=0,b2-4ac=(-2)2-4xlx0=4>0»所以方程有两个不相等的实数根,即兀H.E,故A选项正确,不符合题意；彳-2人=0,故B选项正确,不符合题意；b -2xl + x=- = - = 2,故C选项正确,不符合题意；a 1%1.=£ = 0,故D选项错误,符合题意,a应选D.【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式,根的意义

12、,根与系数的关系等,熟练掌握相关知 识是解题的关键.9.从-4,-2, -1, 0, 1, 2, 4, 6这八个数中,随机抽一个数,记为假设数.使关 于x的一元二次方程疋2(.4)兀+用=0有实数解.且关于),的分式方程y + a 宀 1-3=有整数解,那么符合条件的.的值的和是()y-11-yA. -6B. -4C. 一2D. 2【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程F2(a 4)x+/ = 0有实数解,确定a的取值范围,由分式方程丄斗-3 = 亠有整数解,确定a的值即可判断.y-11-y【详解】方程x2-2(a-4)x+a2= 0有实数解,AA=4(a-42-4a2>0,解得a&l

13、t;2满足条件的a的值为-4, -2, 4 0, 1, 2方程y + a)'一11ly解得y=亍+2y有整数解a=-4, 0, 2, 4, 6综上所述,满足条件的a的值为-4, 0, 2,符合条件的a的值的和是-2应选：C【点睛】此题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范I制：以及分式方 程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值,这个 值叫分式方程的解.10.设 a,卩是方程 x'+9x + l = 0 的两根,那么(<x' +2021a+ 1)(/+ 2021(3 + 1)的值是()A. 0B. 1C. 20

14、00D. 4000000【答案】D【解析】【分析】由方程的系数可得两根的关系(根据韦达定理或者叫根与系数的关系),再将所求代 数式变形可求得代数式结果.【详解】解：Ta,卩是方程X2+9X + 1 = 0的两个实数根.&0 = ： = 1,+ 9& + 1 = 0,0,+90 + 1 = 0.(疋 + 2021a +1)(俨 + 2021p + l) = (a2+9a + l + 2000a)(p2 + 9卩 + 1 + 20000)* * = 2OOOa2OOO0 = 4000000妙=4000000应选D.【点睛】(1) 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用

15、的解题方法.(2) 二次函数为ax2 +bx + c = 0(a不等于0)的两个不同实数根：a, p满足bca + p=,a0 = _.aa11. 某商品原售价225元,经过连续两次降价后售价为196元,设平均每次降价的百分率为x,那么下面所列方程中正确的选项是()A. 225(1- X)2=196B. 196(1- x)2=225C. 225(1- x2) =196D. 196(1- x2) =225【答案】A【解析】【分析】可先表示出第一次降价后的价格,那么第一次降价后的价格x (1-降低的百分率)=225,把相应数值代入即可求解.【详解】第一次降价后的价格为225x (1 -x),第二次

16、降价后的价格为225x (1 -x) x (1 -x),那么 225 (1 -x) 2=196.应选A.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用-增长率问题.假设设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,那么经过两次变化后的数量关系为a (l±x) 2=b.12. 假设一次函数y = k.x+b的图象不经过第二彖限,那么关于尤的方程x2 + kx + b = 0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定【答案】A【解析】【分析】利用一次函数性质得出k>0, b<0,再判断出A=k2-4b>0,即可求解.【详解】解：丁一

17、次函数 i + b的图象不经过第二彖限,.£ >0, Z?<0,.A = k2-4b>0 ,方程有两个不相等的实数根.应选：4.【点睛】此题考查的是一元二次方程的根的判别式,熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的 判别式是解题的关键.13.某果园2021年水果产量为100吨,2021年水果产量为144吨,求该果园水果产量的 年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x,那么根据题意可列方程为()A. 144 (1 - x) 2=100 B. 100 (1 -x) 2=144 C. 144 (1+x) 2=100 D. 100 (1+x) 2=144 【答案】D

18、【解析】试题分析：2021年的产量=2021年的产量x (1+年平均增长率)2,把相关数值代入即可.解：2021年的产量为100 (1+x),2021 年的产量为 100 (1+x)(1+x) =100 (1+x) 2,即所列的方程为100 (1+x) 2=144,应选D.点评：考查列一元二次方程；得到2021年产量的等量关系是解决此题的关键.314关于X的一元二次方程x2-x-67 + - = 0有两个不相等的实数根,那么满足条件的4最小整数.的值为()A. -1B. 0C 2D 1【答案】D【解析】【分析】根据根的判别式即可求出a的范I制.【详解】由题意可知：>(),3A1-4 (

19、q+一) >0,4解得：a>-2故满足条件的最小整数a的值是1,应选D.【点睛】此题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式.15.某种植基地2021年蔬菜产量为100吨,2021年比2021年产量增长8.1%, 2021年比2021年产量的增长率为X, 2021年底产量到达144吨,那么x满足()A. 100 (1+x) 2=144B. 100 (1+8.1%) (1 -x) =144C. 100 (1+8.1%) +x=144D. 100 (1+8.1%) (1+x) =144【答案】D【解析】【分析】由题意知,2021年蔬菜产量为：100 (1+8.1%) , 2021

20、年蔬菜产量为：100 (1+8.1%)(1+x),然后根据2021年底产量到达144吨列方程即可.【详解】解：某种植基地2021年蔬菜产量为100吨,2021年比2021年产量增长8.1%,A 2021年蔬菜产量为:100 (1+8.1%),V2021年比2021年产量的增长率为X, 2021年底产量到达144吨,A 2021 年蔬菜产量为:100 (1+8.1%) (1+x) =144, 应选D.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用,熟练掌握这些知识是解题的关键.16. 某种药品的价格,二月比一月下降百分比为7 ,三月比二月下降百分比为X, 月到 三月的平均每月下降率为,

21、那么以下关系式正确的选项是().A. x = 211 -mB.n2 一 2/7 + mm-177-1【答案】B【解析】【分析】根据题意分别表示三月的价格建立方程求解即可.【详解】解：设一月的价格为.,那么二月的价格为(1-m 三月的价格为 而三月的价格又可表示为：a(l-n)2,:.(1 - x)(l _ m)a =- n)2,l-2n + n2l-m,1 - 2/z + /?2 n2 - 2n + m:.x = 1=1 一 min 一 1应选B.【点睛】此题考查的是含字母系数的方程的应用,同时考查分式的加减运算,掌握相关知识点是解 题关键.17. 某商品经过连续两次降价,销售单价由原来100

22、元降到81元.设平均每次降价的百分 率为X,根据题意可列方程为A. 1001 + x2=81 B. 811 + x2 = 100 C. 811-打= 100 D. 1001-打=81 【答案】D【解析】【分析】此题利用根本数量关系：商品原价X1-平均每次降价的百分率=现在的价格,列方程即 可.【详解】由题意可列方程是:1001-才=81.应选：D.【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题关键在于列出方程18. 关于x的一元二次方程ax2bx+c = 0的根为2和3,那么关于x的一元二次方程ax2 -bx-c = 0 的根为A. -2,-3B. -6,1C. 2,-3D. -L6【答案】B【解析】【分析】由2, 3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根,可以得到如下四个等式：2+3=-=-5, 2x