201x-201x高中数学 2.2.1圆的方程 苏教版必修

1、第第2章平面解析几何初步章平面解析几何初步 22圆与方程圆与方程2圆的方程圆的方程 栏目链接栏目链接课课 标标 点点 击击 1理解圆的方程的意义理解圆的方程的意义2掌握圆的标准方程和一般方程的形式特征掌握圆的标准方程和一般方程的形式特征3会根据圆的方程求圆心坐标和半径会根据圆的方程求圆心坐标和半径4会用待定系数法求圆的方程会用待定系数法求圆的方程 栏目链接栏目链接典典 例例 剖剖 析析 栏目链接栏目链接圆的方程圆的方程设圆满足：设圆满足：截截y轴所得的弦长为轴所得的弦长为2；被被x轴分成两段圆轴分成两段圆弧，其弧长的比为弧，其弧长的比为31.在满足在满足的所有圆中，求圆心到的所有圆中，求圆心到

2、直线直线l：x2y0的距离最小的圆的方程的距离最小的圆的方程分析：设圆心分析：设圆心(a，b)、半径、半径r ，然后利用平面几何知识解决然后利用平面几何知识解决问题问题 栏目链接栏目链接解析：解析：设所求圆的圆心为设所求圆的圆心为P(a，b)，半径为半径为r，则则P到到x轴轴，y轴轴的距离分别为的距离分别为|b|，|a|. 栏目链接栏目链接5d2|a2b|2a24b24aba24b22(a2b2)2b2a21，当且仅当当且仅当ab时时，上式等号成立上式等号成立，此时此时5d21，从而从而d取取得最小值得最小值 栏目链接栏目链接规律总结：规律总结：(1)求圆的方程的一般步骤：求圆的方程的一般步骤

3、：选用圆的方程两种形式中的一种选用圆的方程两种形式中的一种(如果已知圆上的三个点如果已知圆上的三个点的坐标的坐标，一般选用一般方程；如果给出圆心的特殊位置或圆一般选用一般方程；如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系心两坐标间的关系，一般选用标准方程一般选用标准方程)；根据所给条件根据所给条件，列出关于列出关于D、E、F或或a、b、r的方程组；的方程组；解方程组解方程组，求出求出D、E、F或或a、b、r的值的值，并把它们代入并把它们代入所设的方程中所设的方程中，得到所求的圆的方程，得到所求的圆的方程(2)本题是解析几何和代数的一个综合题本题是解析几何和代数的一个综合题，实质是根据已知实质是根

4、据已知条件求最值问题条件求最值问题，有机地将代数和几何联系在一起有机地将代数和几何联系在一起，利用圆利用圆的有关性质是解决本题的关键的有关性质是解决本题的关键 栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接动点的轨迹问题动点的轨迹问题如右下图所示，已知如右下图所示，已知O为坐标原点，为坐标原点，P在圆在圆C：(x2)2y21上运动，求线段上运动，求线段OP的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程 栏目链接栏目链接分析：点分析：点P运动引起点运动引起点M运动运动，而点而点P在已知圆上运动在已知圆上运动，点点P的坐标满足方程的坐标满足方程(x2)2y21，建立点建立点M与点与点P坐标之间的关系坐标之间的关系，就可以

5、得到点就可以得到点M的坐标满足的条件的坐标满足的条件，求出点求出点M的轨迹方程的轨迹方程，或利用圆的定义求出点或利用圆的定义求出点M的轨的轨迹方程迹方程 栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接规律总结：规律总结：(1)代入法和定义法代入法和定义法，是求轨迹方程的常用方法是求轨迹方程的常用方法，注意熟练掌握注意熟练掌握(2)直接法求点的轨迹方程的步骤：直接法求点的轨迹方程的步骤： 栏目链接栏目链接建系设点：建立适当的直角坐标系建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点设曲线上任一点坐标为坐标为M(x，y)；几何点集：写出满足题设的点几何点集：写出满足题设的点M的的集合集合PM|

6、P(M)；翻译列式：将几何条件翻译列式：将几何条件P(M)用坐用坐标标x，y表示表示，写出方程写出方程f(x，y)0；化简方程：通过化简方程：通过同解变形化简方程；同解变形化简方程；查漏除杂：验证方程表示的曲线查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点余的点，曲线上是否有遗漏的点该方法常用于解答与该方法常用于解答与圆相关的应用性问题圆相关的应用性问题 栏目链接栏目链接变式训练变式训练2设圆的方程为设圆的方程为x2y24，过点过点M(0，1)的直线的直线l交圆于交圆于A、B两点两点，O是

7、坐标原点是坐标原点，点点P为为AB的中点的中点，当当l绕点绕点M旋转时旋转时，求动点求动点P的轨迹方程的轨迹方程解析：解析：方法一设点方法一设点P的坐标为的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)因为因为A、B在圆上在圆上，所以所以x21y214，x22y224.两式两式相减得相减得x21x22y21y220，所以所以(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0. 栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接规律总结：研究与圆有关的最值问题时规律总结：研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性可借助

8、图形的性质质，利用数形结合求解利用数形结合求解，一般地：一般地：形如形如u形式的最值问题形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值可转化为动直线的斜率的最值问题；问题；形如形如laxby形式的最值问题形式的最值问题，可转化为动直线的截距可转化为动直线的截距的最值问题；的最值问题；形如形如(xa)2(yb)2形式的最值问题形式的最值问题，可转化为动点到可转化为动点到定点的距离的最值问题定点的距离的最值问题 栏目链接栏目链接已知圆已知圆C：(x3)2(y4)21，点，点A(1，0)，B(1，0)，点点P为圆上的动点，求为圆上的动点，求d|PA|2|PB|2的最大、最小值的最大、最小值及对应的点及对

9、应的点P的坐标的坐标分析：设出点分析：设出点P的坐标的坐标，转化为求函数最值问题转化为求函数最值问题 栏目链接栏目链接解析：解析：若设若设P(x0，y0)，则则d|PA|2|PB|2(x01)2y 20(x01)2y 202(x 20y 20)2，欲求欲求d的最值的最值，只需求只需求x 20y 20的最值的最值，即求圆即求圆C上上的点到原点的距离的平方的最值的点到原点的距离的平方的最值，故过原点故过原点O与圆心与圆心C的的直线与圆的两个交点直线与圆的两个交点P1，P2即为所求即为所求 栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接规律总结：研究圆上的点到定点规律总结：研究圆上的点到定点(或到定直线或到定直线)的距离的最的距离的最值问题值问题，一般在点与定点的连线一般在点与定点的连线(点与直线的垂线点与直线的垂线)过圆心过圆