同步讲义2导数的几何意义(理)

1、华罗庚数学为全国学生提供优质教育1.1.3 导数的几何意义释习目标】1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.而为探究点点落实问题导学知识点一导数的几何意义如图,Pn 的坐标为(Xn, f(Xn)(n=1,2,3,4,)，P聪明在于勤奋，天才在于积累2的坐标为(Xo, yo),直线PT为过点P的切线.思考1割线PPn的斜率kn是多少？答割线PPn的斜率knJn 一,>.Xn X0思考2当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有

2、什么关系? 答kn无限趋近于切线PT的斜率k.(1)切线的定义：设PPn是曲线y=f(X)的割线，当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这 个确定位置的直线 PT称为曲线y=f(X)在点P处的切线.(2)导数f'(X0)的几何意义：导数f'(X0)表示曲线y=f(X)在16(XQ： f(XO)处的切线的斜率k,即 k= f' (xo)f xo+ Ax f X0xyf(xo)=f' (xo)(x xo).切线方程：曲线y=f(x)在点(xo, f(xo)处的切线方程为 知识点二导函数对于函数y=f(x),当x=xo时，f' (xo)是一个确定的数

3、，则当 x变化时，f' (X)便是一个关于x fx-l-Axfx的函数，我们称它为函数 y=f(x)的导函数(简称为导数),即f' (x)=y'=机o八LjX题型探究重点建点个个击破类型一求切线方程例1已知曲线y=x2, (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.反思与感悟1.求曲线在某点处的切线方程的步骤求斜牵卜俅出曲线在点(加，尸声处切畿的斜率/(/)U写.程眄斜式X (右)4 J( H-如).出切线方程一形式卜-将强斜4支为一瓶式2.过不在曲线y= f(x)上一点(xi, yi)的切线的求法步骤.(1)设切点为Po(xo,

4、yo),则切线方程为y-yo= k(x-xo);yo= f xo ,(2)建立方程组 y1 yo= kx1-xo , k=f' xo ;(3)解方程组得k, xo, yo,从而写出切线方程.跟踪训练1求函数y=x33x2 + x的图象上过原点的切线方程.国 华罗庚数学为全国学生提供优质教育类型二求切点坐标例2已知抛物线y=2x2+1分别满足下列条件，求出切点的坐标.(1)切线的倾斜角为45° (2)切线平行于直线 4x-y-2=0; (3)切线垂直于直线 x+8y 3=0.反思与感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤：(1)设切点坐标(xo, yo);(2)求导函数f' (

5、x);(3)求切线的斜率f' (xo);(4)由斜率间的关系列出关于xo的方程，解方程求 xo;(5)点(xo, yo)在曲线f(x)上，将(xo, yo)代入求yo得切点坐标.跟踪训练2已知直线l： y=4x+a与曲线C： y= x32x2+3相切，求a的值及切点坐标.类型三导数几何意义的应用例3 (1)已知函数f(x)在区间。,3上的图象如图所示，记ki=f' (1), k2=f' (2),k3=f(2)-f(1),则k1, k2, k3之间的大小关系为 .(请用“ >”连接)(2)设点P是曲线y=x3 强+2上的任意一点，P点处的切线倾斜角为%则”的取值范围

6、为 3反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸 如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结 合.跟踪训练3 (1)若函数y=f(x)的导函数在区间a, b上是增函数，则函数y=f(x)在区间a, b上的图象可能是()(2)曲线y = X和y=x2在它们交点处的两条切线与达标检测当堂检测巩固反浪1,若曲线y=x2+ax+ b在点(0, b)处的切线方程是 x-y+1 = 0,则()A . a = 1, b= 1 B. a=1,b=1 C. a=1,b=1 D. a=1,b=12 .已知y=f(x)的图象如图

7、所示，则 f' (xa)与f' (xb)的大小关系是()A . f'(xA)>f'(xb)B. f'(xA)<f,(xb)C. f'(xA)=f'(xb)D.不能确定A聪明在于勤奋，天才在于积累4y=- x+8,则 f(5)+f' (5)=3 .如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是4 .已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则P点坐标为规律与方法1 .导数f' (xo)的几何意义是曲线y=f(x)在点(xo, f(xO)处的切线的斜率,即k=则of xo + Ax f xoAx

8、f' (xo),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2 . “函数f(x)在点xo处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区 别，但又有密切关系，f' (xo)是其导数y=fz (x)在x=xo处的一个函数值.3 .利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(xo)=f' (xo)(x xo);若已知点不在切线上，则设出切点(xo, f(xo),表示出切线方程，然后求出切点.国 华罗庚数学为全国学生提供优质教育40分钟课时作业、选择题若曲线y=f（x）在点（xo,f（xo）处的切线

9、方程为2x+ y+1 = 0,则（2.A. f' (xo)>0B. f' (xo)=0C. f (xo)<0D.f'（xo）不存在1 一 ，一曲线y=/ 2在点。3 2）处切线的倾斜角为（）5C.4兀兀D- -4若曲线f（x） = x2的一条切线l与直线x+ 4y8=0垂直，则l的方程为()3.为（）B. - 1C. 1D. - 26.设P为曲线C: y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为P横坐标的取值范围为（A . (0012B. -1,0C. 0,11D. -2, 十°°二、填空题7.已知函数y= ax2+ b在点（1,3）处的切线斜率为聪明在于勤奋，天才在于积累68 .已知曲线9 .已知函数y=f（x）= 2x2+1在点M处的瞬时变化率为一4,则点M的坐标为1 一y=f(x)的图象在点 M(1, f(1)处的切线万程是 y = "x+ 2,则f(1) + f' (1)=10 .若抛物线y=x2x+c上一点P的横坐标是2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则 c的 值为三、解答题c ，一."- 1 _'一11 .若曲线y=x3在点(a, a3)(aw0)处的切线与x轴、直线x= a所围成的三角形的面积为 彼 求a的 值.12,设函