4向量组的线性相关性习题解答

1、习题四A组1 ?填空题设x = (2,3,7)T,y =(4,0,2)T,z = (1,0, 2)T,且2 X- a )3y a z则a=?解由2(x -a) - 3(y a) = z得=15 a = 2x -3y+z= 61-18(2)单个向量：？线性无关的充分必要条件是?解舄-0?(3)已知向量组：？= (1, 0,1) =(2, 2,3),:八(1, 3,t)线性相关，贝U 1 1 0+a2a2=0 1 1031*2,2 *3, 3-13即1, 2,3与M 2, 2*3,解因为?1101= 223=?313t1t -1=2t -5 =0 ,所以t(4)设有向量组又:2A-2、，贝U向量组

2、：？,1，、，；线可由-1,j线性表示，所以相关.若向量组一，、，线性相关，则向量组，1, :，2，3的秩小于等于2,从而可知：，1, :, 2, 线性(8)设三阶矩阵维列向量a = (a,1,1 /.已知A与线性相关，则(1)n维向量组a1, a2A1 , as(3 s、-? ,-s均线性无关;(C)：IIL：s、-? ,-s均线性相关;答(A ).因为1(M? Us(s - s) k1(11)?川ks(ss)=0,所以1 -川，s-s,11,川，s线性相关.(3)设向量组：1, : 2jl|, m和向量组 ，一 ：3 IH, -m为两个n维向量组(m_2),且P2+ P3+ | + Pm,

3、勺=片+ % +川+PmIIIHHIIHIHIIIIIII=0广0尹J |+Pm4则有_,川，化中至少有一个向量可由其余 设有两个n维向量组,:二,|(,、I(, ?,若存在两组不全为零的数ki,k2,|l(,ks ；(D)?迥:;5 川(，：:ms-线性无关.(k2l(,m的秩小于-, HI ,m的秩；(B)：1, 2,山，m的秩大于-;-.:JH,m的秩；(C) 1, 2,川，m的秩等于:,J(，冷的秩；(D)无法判定. 设有向量组A：12,ms与B :,二川，=均线性无关，且向量组A中的每个向量都不能由向量组B线性表示，同时量组B中的每个向量也不能由向量组A线性表示，则向量组(a11HI

4、1)01III答(C).因为 20+*I * FMl*11p2*，乂1*04III, .m I1 1.III.0 J.p i*1,1,IImA=(-1m)1+1III 1Y1， 、怎1 0III局匠I1III即：1,2, |1(,m与：1, :2, III ,F等价,从而知1, 2,m:m与5辽，Jl|,：m的秩相等.设有两个n维向量组1, : 2JIL - m和 一，：1(m均线性无关，则向量组(A)线性相关；(C)可能线性相关也可能线性无关；(B)线性无关；(D)既不线性相关，也不线性无关例如， = 1、0402 = 1 14；01，哄-1则-1, - 2和:1 2都线性无关，但冷：1,

5、2关.又如，也线性无关.1q、06,口2 =1；一1、00,哄1,则M,2和f七都线性无关 -1,:1,?,川， ; JH,-t的线性相关性为.(A)线性相关；(B)线性无关；V例如，当盲丁0,口211,2不能(C)可能线性相关也可能线性无关；(D)既不线性相关，也不线性无关 由：1, : 2 线性表示，：1, : 2 也不能由1, 2 线性表示？但：1, 2 , : 1, : 2 线性相关.fi ) i1 ) fo ) fo )勺届血01o0o0又例如1 I =，& =楫=0010110 )Q J11 )(1 ):1, J线性表示，：1, ： 2也不能由1, 2线性表示？但1, 2,

6、: 1, : 2线性无关.(6)设向量组I：,2,|l(,r可由向量组口：-1, -2dl|,s线性表示，贝U(A )当r:S时，向量组II必线性相关；(B)当r . s时，向量组II必线性相关；(C)当r : s时，向量组I必线性相关；(D)当r . s时，向量组I必线性相关.答(D).(7)设冷，2l(,均为n维向量，下列结论不正确的是.(A)若对于任意一组不全为零的数佥也， ，ks,都有Kr ?k22线性无关；(B)若冷，21(,线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2/,ks，都有1k2 2川ks :s二0；(C)M/2AL?S线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s；(D)-1

7、/2A1 ,工线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关:2和I, -2都线性无关，且：1, ： 2不能由kA0,则1, 2l(,s答(C).3?将b表示为a1, a2, as的线性组合印=(1,1,- 1)丁,aA(1,2,1)T,aA(0, 0,1)T,b= (1,0, 2)T； a1=(1,2, 3)T,aA (1,0,4)T,aA(1,3,1)T,b = (3,1,11)1解(1)令xa X2a2 X3a3= b,即答(B) ?(8)设A,B为满足AB = O(A)A的列向量组线性相关,(B)A的列向量组线性相关,(C)A的行向量组线性相关,(D)A的行向量组线性相关,答(A ) ?

8、的任意两个非零矩阵，则必有B的行向量组线性相关；B的列向量组线性相关；B的行向量组线性相关；B的列向量组线性相关？因为D =10 =1-1/ 1 1、/ 11+ X22+ X300-2JXi工0,所以由Cramer法则，得X1=2,X21,X3(2)令xe - X2a2 油小，即pl HI 1、Xi 2；+x20+ x31 313J(4 JI lljjiJVJF11 1因为D =20 3 = 3式0,所以由Cramer法则，得34 181X1=0,X2, X3 =3381b = 0a1a2a3.334?已知向量组a1,a2, |l(,a线性无关，且b二ara1.证明当r为奇数时b1, b2,1

9、(, br线性无关；当r解令X1bi实b2JIIXrb- = 0，得br故一a1为偶数时a, b2,a2a3,线性相关.X1(a1a2) X2(a2 a3)? | -x(ar aj = 0,(X1Xr)a1(X1X2)a2(Xr4Xr)ar二0.因为a1, a2JH, ar线性无关，所以有X1+X2=0,1inminXr4X二0.该方程组的系数行列D为非零解，即b,b2, |比br线性相关.已知a?JI|,ar线性无关，且b=印，b2 = aHa2,b, b2, 11(, br线性无关.从而a1, a2, |l(, ar与b, b2, |l(, br等价,6.设有两个n维向量组A：可=(1 (

10、 Pn是1,2,Hl, n这n个自然数的某个排列，证明向量组A与向量组B的线性相关性相同.证明令“1? x?a2JI, xmam=0,即T +a22X2+川 +am2Xm=0,IHIIIIIIIIIIHIIIII0IIIIICnXr a2nX28mnXA0,amX1- a2pX2HI - ampXm=0,iiiHiiiiiiiiHiiiiniiiiiiiiiX1a2pnX2 JI10 011 oo+1+1川1-i00 0川00 0IH1GIII0 0y? =1+(宇Idi当r为奇数时D =0,方程组只有零解，即IIIb, b2, I2, r为奇数；0, r为偶数.1(,br线性无关；当r为偶数

11、时D = 0,方程组有匕必+a21X2+11am1Xm=0,上下交换方程，可得ad1 p2X1%2X2 J|ampjXm-,。,br = a1? a?I1( ar,证明(1证明因为炬IIIIIIIIIIII4 +0可逆，即IIIHI0b0 aIII1JbJ IH于是得a “ a2JII, aai1,ai2l M) ,B：ip2,11|,孤)，其中i =1,2|l,m,而pp IampnXA-011线性无b=(弘，即Xib - X2b2? |l( ? Xmbm二0.因为烟1- X?a2V Xmam= 0与Xibi- X2b2? |l( ? Xmbm= 0同解，所以ai, a2, |l(, am与

12、bi, b2, I 1(,*的线性相关性相同7.m个r维向量的每个向量添上n_r个分量，成为m个n维向量.若m个r维向量线性无关,m个n证明维向量亦线性无关.证明设有m个r维向量3i =. ft *a =fa12)*=1 & ma” J因为ai, a?, |l(, am线性无关，所以当拜倒下列向量组的线性相关性.Xiai- x?a2Xmam= 0时，有且仅有为=X2= 11 ( = Xm= 0,即方程组只有零解，从而方程组ai1X1 -人2X2VaimXm=0,、IIIIIIHHIIIIIHinillllH耳必+ar2X2 + i|+armXm=0aiiXi+ai2X2 + +aimX

13、m=0,IHlIHIIiniHIINlXHIIH2X2 ? 11( ? armXm川I川I川=0,I川I川IIUM InaniXi- an2X2 W=0也只有零解.令则当XibiX?b2? II,Xmbm0时,A2 n一9aim +R+1h+Ra .ar2ar i+,P =Wm+1R+lanmlani )an2 J【I(, bm线性无关.有XiXA=XA0,所以b,b?, I(i,i,0),(0,i,i),(3, 0, 0);(i,i,3),(2, 4, 5),(i,-i,0),(2, 2,6);(2,i),(3, 4),(-i,3);(4)(2, -1,7,3),(1,4,11, 2),(3

14、, -6,3,8);(5)( 1,0, 0,2),(2,1, 0, 3),(3, 0,1,5).0解(1)因为1= 3 ,0所以(1, 1, 0), ( 0, 1, 1), ( 3, 0, 0)线性无关.0所以R( A) =2,所以向量组的秩也等于2,故3个向量线性相关z25311743If122/、1r75945313210215-1(1)759454134；(2)203-132532204811104T解(1)因为12531174325 311743*1 0 0 2、1 0 0(5)因为在矩阵A =210 3中，有个3阶子式2 1 0(3 01 53 0 19 ?利用初等行变换，求下列矩阵

15、的列向量组的最大无关组=1 = 0 ,所以3个向量线性无关(2)4个3维向量定线性相关.(3)3个2维向量也一定线性相关(4)因为(2-1714113-2广311743*2531174325、759453132T0123759454134013512532204801353A-638f广10T0116、-4-11,a2,a3,a4)-0123T012300120012100120000(2)因为所以ai, a?, as或ai, a2, a4或ai, a2, a5是取大无关组.2 100-4所以向量组的秩等于2.a1, a?或a1, a，都是最大无关组.a2,(,en可由n维向量组a1, a2,

16、 I I (, an线性表示，证明a，a2I ( , an线性无关.广122广12211ra_、0 215-10 215-15 )=T20 3-13001-11I1104-b(00 00a；a2,a3,a4,2(1) a =ij a，2 =! -1 410010I 4；MJ12!-8 j 1、4(1一1广3(2)a2a3-5-6 J-4-7 ；io?求下列向量组的秩，并求一个最大无关组11一2、9 1解(1)因为所以向量组的秩等于a2或a2, a3者惺最大无9-2.2.ai,A=(ai, a2, as)=14(2)因为A = (a1,a2,a3)110 242-4f -31 -5-4 0*00

17、 50 0 01W 0 0ya3也是最大无关组.证明因为0, e2,川，en可由ai, a2JH, an线性表示，所以?, e : Jl ,en的秩小于或等于印，a?, I 1(, a.的秩，即d, a2,JI|,a的秩大于或等于n，从而可得a1, a?,1(, a的秩等于n.故11?已知n维单位坐标向量e1, e2,a1, a?, Ill, an线性无关.12.证明n维向量组a1, a?，a.线性无关的充分必要条件是，任证明 必要性.已知ai, a?, |(, an线性无关，又对于任意n维向量a,有ai, a?, |(, an, a线性相关,所以a可以ai, a2, |l(, a.线性表示(

18、且表示式惟一).充分性.根据已知可得，环e2, |(, en可由ai, a2J|, an线性表示，所以由11题可知，ai, a?, 11(, an线性无关.13 .向量组：-1, : 2山，f 勺秩为ri,向量组-的秩为D，向量组1,2, IH,?:，:(，：t的秩为3,证明max(ri,叨一a r r?.证明 因为:JH,：s可由-UH,：s, -iJH,-t线性表示，又r, |l(,X也可由1,|l(, s, ：1,川，：t线性表示，所以得ri r3且D乞3,即max ri,叨乞3?设GJ I ,的最大无关组为？nn2J|L?nM,Aij| ,H的最大无关组为 P m2J | I,舄？,则

19、川，氏,PiJII,Pt可由a m, %, 111,%Pmi,八2, HI,打2线性表示，所以bEri + a ?14.设A, B是同型矩阵，证明R( A B) R( A) R(B)?证明将同型矩阵Am n,Bm n表示为n维向量都可由aa2,山，an线A =(ai,a2, |l(,an)，B=(D,坊，I1(,bn)则A + B= (ai+ b, a ：十b2|,abn).因为ai+ b ,a占b |,|J a,n+ bn可 由ai, a2,ili , an,b, b2Jl|, bn线性表示，所以aia, a2? b2, |l(, a “ b的秩小于或等于ai,a21(, an,b,b2,|

20、l(, bn的秩?又根据13题可知，aib1, a2 b2A| , anbn的秩小于或等于ai, a 2八1 , a的秩与b,坊，|1(, bn的秩之和，所 以R( A B) 2,3所生成的向量空间为V=(X二ki： ikr2kr3| ki, k2, kAR?任取：；-V,则有ki, k2, k3,使得二二ki、 ik?、； 2k3、； 3=化2 3,丘3ki, kik?).可知JSER3,从而得V R3.又任取.R3,则1,2,3,线性相关，又因为：1, : 2,3线性无关，所以可用1,2,3线性表示且表示式惟一，即有惟一的ki, k2, k3,使得:=r k2: 2k3: 3.从而可知用三

21、乙于是得R3V.综上可知V =R3.17?设Vi是由ai= (1,1,0, oj,a2=(1,0,1,1)T所生成的向量空间，W是由bi = (2, - 1,3,=(0,1,一1,一1)所生成的向量空间,试证V1= V2.证明因为n120、n120、(a1a2b1b2)10-11T013-1013-10000013一11 3, 4线性无关，所以：2, - 3线性无关；又因为 1,2,3线性相关，由_:j2,所以：可_ :j3线性表示(且表7K式惟一).(2)反证法，假设：-4可由r, : -2/-3线性表示，又由(1)知,:-1可由：2,3线性表示.由-2,3线性 所以：4可 表示，这与2,

22、3,4线性无关相矛盾？于是得-1不能由1, 2, 3线性表示.2?设A是n阶方阵，a，a2, a3是n维列向量，且a人=0,AaAa1,AaAa1a2,Aa3a2a3.证明a1, a2, a3线性无关.证明根据已知条件，得(A-E )a1 =0,(A-E) a2 =a1,(A-E=a2,设)-岸2*2 3*3= 0 ,上式两边左乘AE ,得上式两边再左乘A_E得3a1= 0,=0.又由2a1,线性无关，-一-1+它：辽+川+ss,其中=1, |1 ( , /-1 J，汕，线性无关.证明令k12kiKiks?= 0则由2二帚*22 f ss,得(ki? k J|(ki!- ki i jAii ?

23、ki从而有k| +K人=0,IIIHIIIIkij + KA=0,ki=0,ki+ KA洋=0,IIIHIIII他+k2s =0.因为热护0,所以得ki = 0,根据上述方程组又可得k.= i1 ( = ki=ki .i = () | = ks = 0，即冷，川，i _i /i川一线性无关.4.设向量组A :二，2, |1(,m线性无关，向量1可由向量组A线性表示，而向量-2不能由向量组A线性表示？证明向量组U2,山，m,|?2线性无关(其中I为常数).: :证明 若：i, : 2A1|,m,2线性相关，而：52,川，m线性无关，由定理2可知空可由. 一一 一 一. 一 ： : : .1, I

24、|, :m线性表示，矛盾？所以i, AJ|, m, 2线性无关.因为：i可由：iJ|,m线性表示，所以有一组数2,，？使：|-rIVmm?又令kv1k22?川kAmkm i(| :12)= 0,则有(k1IkmrArAH!(kmIkm/mLm ?km2二0,从而有匕+唬聿1=0,k2+%言寸2=0,川I| 11II(ki i? ki.iJi 1 ? 11( (kski s) s二0,km+叫肆m=0, km 1=0._ - _ : 一解之侍，k - k H - k - km- 0,所以-:?,III, -m, I 2线性无关.5.设有一个含m个向量的向量组：】，：d川m(m2),且-+2+川+

25、m,证明向量组1,-2,川，一m线性无关的充分必要条件是12|(m线性无关.证明因为0 1 1III01 0 1III ,、，一乂*.=(_1)z(m 1) = 0,于是有+ti+I-F1 1 1III0*0 1 1川1 0 1IH+ p12J):m与：；1,2,川,pcfm等价.故性相关性相同，即：仆：2jl|,: m线性无关的充分 MS 条件为6?设向量组B : m b2,|l(,br能由向量组A: a1, a?, as线性表示为(b, bdlh br)七1, a2jl|, as) K,其中K为s r矩阵，且向量组A线性无关，证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(KHr?证明令

26、B =(九b2,|l(,br),A=(a1, a?山a$),并将K按列分块为K = (K, k2, |山kJ?必要性？由于B组向量线性无关，有r = R(B) R(K) 2,川，m与匕二1,-2,川J -的线:-V：1, : :-V：2川(3 Y m线性无关.充分性？设有一组数二工J I |, r使,冉 * *I 1( br =0,则有=(bi,b2,川，br).=人b+ 入2 b2 + i I ( +打br而ai, a2,|l(, as线性无关，所以=0,即rkj u2k2?I 1( H kr= 0,而ki, k2,|l(, kr线性无关，故说明b, b2,|l(, br线性无关.0.7 ?设有两个向量组A :1,2,川,B :=A- -0,所以。=。，从而有A上式两边左乘Am。，则有从而，又得=0.以此类推，还可以得IIIIII:2,IH,-1r与：1,： 2,川，：r有相同的秩.Am久0,Am?,=0，试证，A,A2，Am-1线性无关?令+hmAm七=0,2A2? |-mjAmJ? =0 ,m - =0,所以:,A , AS, | (, Amt线性无关.9 ?已