2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法优化练习新人教A版选修2_220180802354

1、2.3 数学归纳法课时作业a组基础巩固1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0 等于()a1 b2c3 d0解析：边数最少的凸n边形是三角形答案：c2用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n·1·3(2n1)(nn*)时，从“nk到nk1”左边需增乘的代数式为()a2k1 b2(2k1)c. d.解析：当nk时，左边(k1)(k2)··(kk)，当nk1时，左边(k2)(k3)··(kk)(k1k)(2k2)(k1)·(k2)··(kk)(2k1)×2，

2、故需增乘的代数式为2(2k1)答案：b3凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形对角线的条数f(n1)为()af(n)n1 bf(n)ncf(n)n1 df(n)n2解析：增加一个顶点，就增加n13条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故应选c.答案：c4用数学归纳法证明34n152n1(nn)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形为()a56·34k125(34k152k1)b34·34k152·52kc34k152k1d25(34k152k1)解析：34(k1)152(k1)181×

3、;34k125×52k156×34k125(34k152k1)答案：a5已知f(n)，则()af(n)中共有n项，当n2时，f(2)bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)1cf(n)中共有n2n2项，当n2时，f(2)1df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)1解析：由条件可知，f(n)共有项数为n2(n1)1n2n2项，且n2时，f(2).故选c.答案：c6凸k边形内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和为f(k1)f(k)_.解析：将k1边形a1a2akak1的顶点a1与ak相连，则原多边形被分割为k边形a1a2ak与三角形a1akak1，其内角和f(k1)是k

4、边形的内角和f(k)与a1akak1的内角和的和，即f(k1)f(k).答案：7在数列an中，a12，an1(nn*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳猜想得出an的表达式为_解析：a12，an1，a2，a3，a4，于是猜想an.答案：an(nn*)8已知数列an中，a11，an1(nn*)(1)计算a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明解析：(1)a11，a2，a3，a4.(2)由(1)的计算猜想：an.下面用数学归纳法进行证明：当n1时，a11，等式成立假设当nk(kn*)时等式成立，即ak，那么，ak1，即当nk1时等式也成立由可知，对任意nn*都有an.9用数学

5、归纳法证明： <1(n2，nn*)证明：(1)当n2时，左边，右边1.因为<，所以不等式成立(2)假设nk(k2，kn*)时，不等式成立，即<1，则当nk1时，<111<11.所以当nk1时，不等式也成立综上所述，对任意n2的正整数，不等式都成立b组能力提升1已知f(n)(2n7)·3n9，存在自然数m，使得对任意nn*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()a30 b26c9 d6解析：因为f(1)364×9，f(2)10812×9，f(3)36040×9，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推测最大的m值为9

6、.答案：c2设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()a若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立b若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立c若f(7)<49成立，则当k8时，均有f(k)<k2成立d若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析：对于a项，f(3)9，加上题设可推出当k3时，均有f(k)k2成立，故a项错误对于b项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故b项错误对于c项，没有奠基部分，即没有f(8)82，故c项错误对于d项，f(4)25

7、42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选d项答案：d3对任意nn*,34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_.解析：当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5，当a3时且n2时，31035不能被14整除，故a5.答案：54设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示)解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n

8、)f(2)234(n1)(n2)f(n)(n1)(n2)答案：5(n1)(n2)5试比较2n2与n2的大小(nn*)，并用数学归纳法证明你的结论解析：当n1时，2124>n21，当n2时，2226>n24，当n3时，23210>n29，当n4时，24218>n216，由此可以猜想，2n2>n2(nn*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边2124，右边1，所以左边>右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边>右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边>右边不等式成立(2)假设当nk(k3，且kn*)时，

9、不等式成立，即2k2>k2，那么当nk1时，2k122·2k22(2k2)2>2k22.又因：2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12>(k1)2成立原不等式成立根据(1)和(2)知，原不等式对于任何nn*都成立6已知等差数列an的公差d大于0，且a2，a5是方程x212x270的两根，数列bn的前n项和为tn，且tn1bn.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)设数列an的前n项和为sn，试比较与sn1的大小，并说明理由解析：(1)由已知得因为an的公差大于0，所以a5>a2，所以a23，a59.所以d2，a11，即an2n1.因为tn1bn，所以b1.当n2时，tn11bn1，所以bntntn11bn(1bn1)，化简得bnbn1.所以bn是首项为，公比为的等比数列，即bn·()n1.所以an2n1，bn.(2)因为sn×nn2，所以sn1(n1)2，.下面比较与sn1的大小：当n1时，s24，所以<s2，当n2时，s39，所以<s3，当n3时，s416，所以<s4，当n4时，s525，所以>s5，猜想：n4时，>sn1.下面用数学归纳法证明：当n4时，已证假设当nk(kn*，k4