云南省2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含解析

1、试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共12题）1、 已知集合 ， ，则 （ ） A B C D 2、 下列结论不正确的是 A 若 a b ， c 0 ，则 ac bc B 若 a b ，则 a c b c C 若 ac 2 bc 2 ，则 a b D 若 a b ， c 0 ，则 3、 已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 的虚部为（） A B C D 4、 一元二次方程 ax 2 2 x 1 0( a 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（    ） A a <0 B a >0 C a < 1 D a <1 5

2、、 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A B C D 6、 如图，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列命题正确的是（ ） A B C D 7、 函数 的图象大致为（ ） A B C D 8、 函数 的最小正周期为（ ） A B C D 9、 在 中， ， ， ，则直线 通过 的（ ） A 垂心 B 外心 C 重心 D 内心 10、 掷铁饼者取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张 “ 弓 ” ，掷铁饼者的肩宽约为 米，一只手臂长约为 米， “ 弓 ” 所在圆的半径约为 米，则掷铁饼者双手之间的直线

3、距离约为（ ） A 米 B 米 C 米 D 米 11、 若向量 ， 是不共线的两个向量， 与 共线，当 时， 的最小值为（ ） A 4 B 2 C D 12、 已知函数 是定义在 R 上的偶函数，对任意 都有 ，当 ，且 时， ，给出如下命题： ； 直线 是函数 的图象的一条对称轴； 函数 在 上为增函数； 函数 在 上有四个零点 . 其中所有正确命题的序号为 A B C D 二、填空题（共4题）1、 已知 是任意角，且满足 ，则常数 k 的一个取值为 _ 2、 将一个直角边长为 1 的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为 _. 3、 在山顶铁塔上 处测得地面上一点 的俯角

4、 ，在塔底 处测得点 的俯角 ，已知铁塔 部分高 米，山高 _ 4、 已知定义在 上的函数 满足 且 ，函数 的表达式为 ，则方程 在区间 上的所有实数根之和为 _. 三、解答题（共7题）1、 向量 ， （ 1 ）求向量 的模长； （ 2 ）若向量 ，且 ，求实数 的值 . 2、 若向量 ， ，设函数 （ 1 ）求 在 上的单调增区间； （ 2 ）在角 为锐角的 中，角 的对边分别为 ， 且 的面积为 3 ， ，求 的值 . 3、 某生物研究者于元旦在湖中放入一些风眼莲（其覆盖面积为 ），这些风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为 ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为 ，凤眼莲

5、的覆盖面积 （单位： ）与月份 （单位：月）的关系有两个函数模型 与 ）可供选择 （ 1 ）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； （ 2 ）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 倍以上的最小月份（参考数据： ， ） 4、 已知 的内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， A 为锐角，在以下三个条件中任选 一个： ( b 3 c )cos A a cos B 0 ； sin 2 cos2 A ； ；并解答以下问题： （ 1 ）若选 _ （填序号），求 cos A 的值； （ 2 ）在（ 1 ）的条件下，若 a 2 ，求 面积 S 的最大值 5、 如图所示， 为

6、平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M,N 分别为 AB,PC 的中点，平面 PAD 平面 PBC . (1) 求证： BC ； (2)MN 与平面 PAD 是否平行？试证明你的结论 6、 已知定义域为 的单调减函数 是奇函数，当 时， . （ 1 ）求 的值； （ 2 ）求 的解析式； （ 3 ）若任意 ，不等式 恒 成立，求实数 的取值范围 . 7、 已知集合 是满足下列条件的函数 的全体：在定义域内存在实数 , 使得 成立 . (1) 判断幂函数 是否属于集合 ？并说明理由； (2) 设 , , i) 当 时 , 若 , 求 的取值范围； ii) 若对任意的 , 都有 , 求 的取值

7、范围 =参考答案=一、选择题1、 C 【分析】 首先求集合 ，再求集合 的补集，即可求解 . 【详解】 或 ， ， . 故选： C. 2、 D 【分析】 根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果 . 【详解】 对于选项 A ：由于 a b ， c 0 ，根据不等式性质 2 ，则 ac bc ，故正确 . 对于选项 B ：由于 a b ，根据不等式性质 1 ，则 a c b c ，故正确 . 对于选项 C ：由于 ac 2 bc 2 ，根据不等式性质 2 ，则 a b ，故正确 . 对于选项 D ：当 a 0 ， b 1 时， 没有意义，故错误 . 故选： D 【点睛】 本题主要考查判断命题的真

8、假，熟记不等式的性质，灵活运用特殊值法处理即可，属于常考题型 . 3、 B 【分析】 由复数的除法运算及模的运算可得 ，再结合复数虚部的概念即可得解 . 【详解】 解：复数 满足 ，则 ， 即复数 的虚部为 ， 故选： B. 【点睛】 本题考查了复数的除法运算及模的运算，重点考查了复数虚部的概念，属基础题 . 4、 C 【分析】 等价转化求得一元二次方程满足题意的条件，再根据充分不必要条件即可判断 . 【详解】 一元二次方程 ax 2 2 x 1 0( a 0) 有一个正根和一个负根的充要条件是 <0 ，即 a <0 ， 则充分不必要条件的范围应是集合 a | a <0 的真

9、子集， 故选： C 【点睛】 本题考查充分不必要条件的判断和选择，属简单题 . 5、 A 【分析】 由换底公式比较 ， 的大小，再由 可得答案 【详解】 ， ， ， ， ，则 故选： A 6、 C 【详解】 分析：记 ACBD=O ，则 MNOD 1 ，利用线面平行的判定可得 MN 平面 BD 1 D 详解： A ： 和 是异面直线，故选项不正确； B ： 和 是异面直线，故选项不正确； C ：记 ACBD=O 正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分别 C 1 D 1 ， BC 是的中点， OND 1 MCD ， ON=D 1 M= CD ， MNOD 1 为平

10、行四边形， MNOD 1 ， MN 平面 BD 1 D ， OD 1 平面 BD 1 D ， MN 平面 BD 1 D D ：由 C 知 ，而面 和面 相交，故选项不正确； 故答案为 C. 点睛：这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断 . 还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断 . 7、 A 【分析】 由条件判断函数为奇函数，且在 为负数，从而得出结论 . 【详解】 , 因此函数 为奇函数，图像关于原点对称排除 ； 当 时， ， ，因此 . 故选： . 【点睛】 本题主要考查的是函数图像的应用，

11、奇偶性的应用，根据奇偶函数的对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题 . 8、 C 【分析】 由切化弦，及两角和的正弦公式化简函数，然后由正弦函数的周期性得结论 【详解】 由已知， ， 最小正周期为 ， 故选： C 9、 D 【分析】 根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到 在 的角平分线上，从而作出判定 . 【详解】 因为 , ， 设 , 则 ， 又 ， 在 的角平分线上， 由于三角形中 , 故三角形的 边上的中线，高线，中垂线都不与 的角平分线重合， 故 经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选 D. 10、 C 【分析】 利用弧长公式可求圆心角的大小，

12、再利用解直角三角形的方法可求弦长 . 【详解】 掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张 “ 弓 ” 即如图中的 及弦 ， 取 的中点，连接 . 由题设可得 的弧长为 ，而 ， 故 ，故 的长度为 ， 故选： C. 11、 A 【分析】 利用平面向量共线定理求出 的关系式，再利用基本不等式：积为定值，和有最小值即可求解 . 【详解】 因为 与 共线， 由平面向量共线定理可知， ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立 . 故选： A 【点睛】 本题考查平面向量共线定理和利用基本不等式求最值；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；熟练掌握平面向量共线定理是求解本题的关键；属

13、于中档题 . 12、 D 【分析】 根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定 【详解】 令 ，则由 ，函数 是定义在 上的偶函数， 可得： ，故 ，故 正确 由 可得： ，故函数 是周期等于 6 的周期函数 是偶函数， 轴是对称轴，故直线 是函数 的图象的一条对称轴，故 正确 当 ，且 时， ， 故 在 上为增函数 是偶函数，故 在 上为减函数 函数 是周期等于 6 的周期函数 故 在 上为减函数，故 错误 函数 是周期等于 6 的周期函数 故函数 在 上有四个零点，故 正确 综上所述，则正确命题的序号为 故选 【点睛】 本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解

14、过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解 二、填空题1、 （答案不唯一） 【分析】 利用诱导公式，求得 的取值集合 . 【详解】 满足 ， ，得 ， ， 当 时， . 故答案为： （答案不唯一） 2、 【分析】 由条件可知旋转的几何体是圆锥，根据底面半径和高，计算几何体的体积 . 【详解】 几何体是一个高为 1 ，底面半径为 1 的圆锥， . 故答案为： 3、 米 【分析】 设 米，在直角三角形中表示出 ，利用 的长求得 ，从而得 【详解】 由 ， 易得 ， ， 设 ， 则 ， ， ， 4、 【分析】 法一：根据解析式和递推关系，分区间直接求解得到所有根，然后求和； 法二：绘出两个函数

15、的整体图象，利用数形结合思想，结合对称性得到所有根的和 【详解】 法一：由题意，当 时， ， ；当 时， ，即 ，解得 ；当 时， ， ，无解；当 时， ， ，无解；当 时， ， ，无解；当 时， ， ，无解；当 时， ， ，则 ，解得 ；则 ；当 时， ，可得所有根之和为 . 法二：函数 满足 则 关于点 对称，又因为 ，故 关于点 对称， 也关于点 对称，如图， 过点 和 ， 两函数的图象有如图所示的三个交点，其横坐标为对应方程的三个实数根 . ， ， 由于点 不在 上，所有根之和为 . 【点睛】 利用数形结合思想，注意函数的图象的对称性的应用，是快捷高效的方法 . 三、解答题1、 （ 1

16、 ） ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）利用向量模的公式计算；（ 2 ）利用向量数量积的坐标表示列式，即可计算结果 . 【详解】 解：（ 1 ） ， . （ 2 ） ，且 ， . 2、 （ 1 ） ( ) ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）由向量数量积的运算和三角函数恒等变换公式求得 ，由 可求出函数单调增区间； （ 2 ）由 求出角 ，由 的面积为 3 ，求出 ，再由余弦定理可求得结果 【详解】 解：（ 1 ） ， ， 令 ( ) ， 得 ( ) ， 在 上的单调递增区间为 ( ). （ 2 ）由（ 1 ）可得 ， ， 因为 ，所有 ， 从而 ， ， 又 ， ，又 ， ， . 3、

17、（ 1 ）函数模型 较为合适，且该函数模型的解析式为 ；（ 2 ） 月份 . 【分析】 （ 1 ）根据两个函数模型增长的快慢可知函数模型 较为合适，将点 、 代入函数解析式，求出 、 的值，即可得出函数模型的解析式； （ 2 ）分析得出 ，解此不等式即可得出结论 . 【详解】 （ 1 ）由题设可知，两个函数 、 ）在 上均为增函数， 随着 的增大，函数 的值增加得越来越快， 而函数 的值增加得越来越慢， 由于风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型 满足要求 . 由题意可得 ，解得 ， ， 故该函数模型的解析式为 ； （ 2 ）当 时， ，故元旦放入凤眼莲的面积为 ， 由 ，即 ，故 ，

18、由于 ，故 . 因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 倍以上的最小月份是 月份 . 【点睛】 思路点睛：解函数应用题的一般程序： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模 将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模 求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思回顾 对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性 4、 （ 1 ）答案见解析；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）若选 ，利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得 ，从而可得 ；若选 ，利用二倍

19、角的余弦公式即可求解；若选 ，利用正弦定理的边角互化即可求解 . （ 2 ）由（ 1 ）利用余弦定理可得 ，再利用基本不等式可得 ，根据三角形的面积公式即可求解 . 【详解】 （ 1 ）若选 ，因为 ，由正弦定理有： , 即 ， 所以 ，在 中， ，所以 . 若选 , ， ， 中， , ， ， , ，或 （舍） , . 若选 ，因为 ，由正弦定理有： ，因为在 中， ，所以 ， 又 ， A 为锐角，解得 . （ 2 ）由（ 1 ）可知， ，由 ， A 为锐角，得 ， 由余弦定理可知， ， ，当且仅当 时等号成立 . 面积： . 所以 面积 的最大值为 . 5、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）见解

20、析 【详解】 试题分析：证明线线平行的方法； 1 ，向量法， 2. 垂直于同一平面的两条直线平行， 3 平行于同一直线的两条直线平行， 4 一个平面与另外两个平行平面相交 , 那么两条交线也平行线面平行， 1 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行， 2 若一条直线与一个平面同时平行于另一个平面且这条直线不属于这个平面，则这条直线与这个平面平行， 3 若一条直线与两平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行， 4 ，最好用的还是向量法 试题解析： (1) 证明 因为 BCAD ， AD 平面 PAD ， BC 平面 PAD ，所以 BC 平面 PAD. 又平面 PAD 平面 PBC l ， BC 平面 PBC ，所以 BCl. (2) 解 MN 平面 PAD. 证明如下： 如图所示，取 PD 中点 E ，连结 AE ， EN. 又 N 为 PC 的中点， 又 即四边形 AMNE 为平行四边形 AEMN ，又 MN 平面 PAD ， AE 平面 PAD .MN 平面 PAD. 考点：线面平行的性质定理及判