一元函数连续性的判别方法探讨

1、一元函数连续性的判别方法探讨摘要 连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间

2、上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.关键词 连续函数 ；极限 ；有界函数 ； 一致连续 ；非一致连续1. 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数在某区间内连续，是指函数在该区间内每一点都连续，它反映函数在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵

3、有更全面的理解和认识。弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论：2. 函数连续与

4、一致连续的关系2.1 函数连续与一致连续的区别2.1.1 函数连续的局部性定义1 函数在某内有定义，则函数在点连续是指，使得当时，有 。 （2-1）那么，函数在点处连续，是否意味着 在的邻域内连续呢？或者说其图象在此邻域上连绵不断呢？回答是否定的。如函数只在连续；函数仅在两点连续；又如函数 （2-2）容易证明这个函数在任意点是连续的，但是我们却不能一笔画出函数在的任意小邻域内的图形。上述例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，不能仅从字面去理解 在连续。当且仅当 在的邻域内每一点都连续，才能说在的邻域内连续。函数在点处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意，这确实是个遗憾，但是，如果在连续点的函

5、数值，那么上述例外情形就不会发生了，有如下命题命题 设在连续，且，则一定存在的某个邻域，使 在此邻域内连续。证明: 因在点连续，即，都有 。 （2-3）现对，由（2-3）显然有， （2-4）又，当充分小时，由局部保号性有， （2-5）即，从而有 。 （2-6）可见在连续，由的任意性，知在的邻域内连续。因此，函数的连续性是一种按点而言的连续性，它仅仅反映了函数在区间上一点附近的局部性质。2.1.2 函数一致连续的整体性连续函数以它具有一系列良好的性质而成为数学分析研究的主要对象，然而在连续函数中，又以一致连续的函数最为重要。因此，判定一个函数在其定义域内是否一致连续，是数学分析的一个重要内容之一

6、。定义2 设函数在区间上有定义，若对，只要，就有， （2-7）则称函数在区间上一致连续。定义中的“一致” 指的是什么呢？只要与函数在区间上连续的定义进行比较，不难发现，连续定义中的，不仅仅依赖于，还依赖于点在区间中的位置，即；而在上一致连续是指，存在这样的，它只与有关而与在区间中的位置无关，即。也就是说，如果函数 在区间上连续，则对任意给定的正数，对于上的每一点，都能分别找到相应的正数，使得对上的任意一点，只要，就有，其中。对于同一个而言，当在上变动时，的大小一般也随着改变，即依赖于。如图1，在曲线比较平坦的部分所需的远比在曲线比较陡峭的部分所需的大得多。如果的大小只与给定的有关，而与点在上的

7、位置无关，那么这时就在上一致连续。可见“一致”指的就是存在适合于上所有点的公共，即。直观地说，在上一致连续意味着：不论两点与在中处于什么位置，只要它们的距离小于，就可以使。这里可能会产生这样的疑问：既然对中每一个点都能找出相应的，那么取这些的最小者或者是下确界作为正数，不就能使其与点无关了吗？事实上，这不一定能办得到。因为区间中有无穷多个点，从而一般地也对应着无穷多个正数，这无穷多个正数却未必有最小的正数或取下确界为零。 所以，在区间上一致连续，反映出在上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体性质。2.2 函数连续性与一致连续性的联系函数在区间上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间

8、也有联系。有如下结论（1） 函数在区间上一致连续，则在上连续。这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的一个点（或）固定即可，但这个命题的逆命题却不一定成立。例1 证明函数在内不一致连续（尽管它在内每一点都连续）。证明: 取 ，对（充分小且不妨设），取，则虽然有 ， （2-8）但 。 （2-9）所以函数在内不一致连续。那么应具备什么条件，在上连续的函数才在上才一致连续呢？（2） 在闭区间上连续的函数在上一致连续。这是著名的G.康托定理。闭区间上连续函数的这一性质对研究函数的一致连续性十分重要，由它我们可以推出许多重要的结论。注1 对函数的一致连续性概念的掌握，应注意以下三个方面：（1）函数在区间

9、的连续性与一致连续性的区别和联系。（2）函数一致连续的实质，是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的绝对值可以任意小，即对，当时，就有 。 （2-10）（3）函数一致连续的否定叙述：设函数在区间上有定义，若，使，总，虽然有， （2-11）但是 ， （2-12）则称函数在区间上非一致连续。总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性。函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质。3. 一元函数一致连续性的判定及应用3.1 一元函数在有限区间上的一致连续性由于用函数一致连续的定义判定函数是否一致连续，往往比较困难。于

10、是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。 定理1（Contor定理） 若函数在上连续，则在上一致连续4。这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。分析：由函数一致连续的实质知，要证在上一致连续，即是要证对，可以分区间成有限多个小区间，使得在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于。证明：若上述事实不成立，则至少存在一个，使得区间不能按上述要求分成有限多个小区间。将二等分为 、则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为；再将二等分为 、依同样的方法取定其一，记为；.如此继续下去，就得到一个闭

11、区间套，n=1，2， ，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足 （2-13）且属于所有这些闭区间，所以，从而在点连续，于是， 当时,就有 。 （2-14）又由（2-13）式，于是我们可取充分大的k，使,从而对于上任意点，都有。因此，对于上的任意两点， 由（2-14）都有 。 （2-15）这表明能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间的取法矛盾，从而得证。注2 定理1对开区间不成立。例如函数在内每一个点都连续，但在该区间并不一致连续。G.康托定理告诉我们：函数在闭区间上一致连续的充要条件是在上连续，所以在闭区间上连续的函数必定一致连续，然而对于有限开区间和无限区间，则结论不一定成立。阻碍由区间连续

12、性转变为区间一致连续性有两种情况：（1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点。 （2）对于无限区间，这时函数在无穷远处也可能破坏一致连续性。虽然如此，我们对于破坏一致连续性的有限开区间的端点或无穷远点附加一定的限制条件，G.康托定理也可以推广到有限开区间和无限区间。定理2 函数在内一致连续在连续，且与都存在。证明： 若在内一致连续，则对，当时，有 ， （2-16）于是当时，有。 （2-17）根据柯西收敛准则，极限存在，同理可证极限也存在，从而在连续，与都存在。 若在连续，且和都存在，则令 （2-18）于是有在闭区间上连续，由Contor定理，在上一致连续，从而在内一致连续。根据定

13、理2容易得以下推论：推论1 函数在内一致连续在连续且存在。推论2 函数在内一致连续在连续且存在。 注3 当是无限区间时，条件是充分不必要的。例如，在上一致连续，但是，不存在。3.2 一元函数在无限区间上的一致连续性定理3 在内一致连续的充分条件是在内连续，且都存在。证明：（1） 先证在上一致连续。令，由柯西收敛准则有对使对，有 。 （2-19）现将分为两个重叠区间和，因为在上一致连续，从而对上述，使，且时，有 。 （2-20）对上述，取，则，且，都有 。 （2-21）所以函数在内一致连续。（2） 同理可证函数在内一致连续。由（1）、（2）可得在内一致连续。注4 若将分为和，则当与分别在两个区间

14、时，即使有，却不能马上得出的结论。由定理3还容易得出以下推论：推论3 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。推论4 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。推论5 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。推论6 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。例2 判定下列函数在指定区间上是否一致连续。（1）；（2）；（3）。解：（1） 易见在内连续，且， （2-22）即与都存在，从而在内一致连续。（2） 易见在内连续，且， （2-23）， （2-24）因此在内一致连续。（3） 易证在内连续，且， （2-25）， （2-26）所以在内一致连续。注5 由例2可见，上述判

15、别法在判定某些函数非一致连续时十分简便。例3 若单调有界函数在区间上连续，则函数在区间上一致连续。证明: 不妨假设。由于函数在上单调有界，即函数在上单调有界，从而极限都存在。根据定理2、3及其推论可知，函数在上一致连续。定理4 设是定义在上的以为周期的周期函数，则在上一致连续的充要条件是在上连续6。证明： 必要性易证，下证充分性。 因为在上连续，所以在上也连续，从而一致连续。因此，对，使得对，且，有 。 （2-27），且，不妨假设且，即 。 （2-28）（1） 若，则， （2-29）此时 ， （2-30）故 。 （2-31）（2） 若，则， （2-32）此时 （2-33）且，故。 （2-34）

16、综上所述，函数在上一致连续。注6 运用定理4，易得三角函数等周期函数在上一致连续，较之用函数一致连续的定义来证明简单。3.3 一元函数在任意区间上的一致连续性对于一元函数在任意区间上一致连续与非一致连续，有以下结论：定理5 函数在区间上一致连续，只要， （3-1）就有 。 （3-2）证明： 由在上一致连续知，使得，只要，就有 。 （3-3）又，知，对上述存在，有 ， （3-4）从而对有 ， （3-5）即 。 若不然，则必存在，虽然， （3-6）但是 。 （3-7）显然 ， （3-8）但是 。 （3-9）推出矛盾，故在一致连续。注7 此定理主要用来判定函数非一致连续。注8 利用定义证明函数在上非

17、一致连续的关键是确定，找出使得，而要做到这一点，对于某些函数而言通常是比较困难的。但是，根据前面判定函数一致连续的充要条件，易得函数在区间上非一致连续的两个比较简单的充分条件。（1）连续函数在区间内非一致连续的充分条件是和至少有一个不存在。（2）连续函数在区间非一致连续的充分条件是在区间上存在两个数列，使得，但 。 （3-10）例4 证明函数在上非一致连续。证明：法一 ，对，虽然有， （3-11）但是 。 （3-12）所以在上非一致连续。现在利用判别法（2）证明例4。法二 取，则， （3-13）但是 。 （3-14）所以由判别法（2）知在上非一致连续。注9 利用这两个判别法证明函数在区间上非一

18、致连续的优点是易见的：它不用直接确定找满足，而只须观察和的存在性或找出两个数列和满足判别条件即可。利用上述两个判别法还可以证明以下题目：（1） 函数在上非一致连续。（2） 函数在上非一致连续。（3） 函数在非一致连续。（4） 函数在上非一致连续。（提示：取，）定理6 若函数在区间上满足利普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数，使得对都有 （3-15）成立，则在区间上一致连续。证明：因为函数在区间上满足Lipschitz条件，即，有，于是对，取，只要，就有。故函数在区间上一致连续。例5 证明函数在上一致连续。证明：由于对，使得，都有 ， （3-16）即在上满足Lipschitz条件。所以函

19、数在上一致连续。注10 例5若用函数一致连续的定义证明，则较用定理6证明繁琐。 定理6仅仅是函数在区间上一致连续的充分非必要条件，如下例例6 证明在上一致连续但不满足Lipschitz条件。证明：在上连续，由Contor定理在上一致连续。取 显然，且有 ， （3-17） ， （3-18） 。 （3-19）从而，对任意充分大的正整数，总存在使得 ， （3-20）即 。 （3-21）故在上一致连续，但在上不满足Lipschitz条件。由著名的利普希茨（Lipschitz）条件得到启发，还可得推论7 设存在，使对任意，都有 （3-22）成立，且在区间上一致连续，则在区间上一致连续。证明：由在区间上一

20、致连续，则，就有 ， （3-23）于是，对上述，只要，就有 。 （3-24）故在区间上一致连续。定理7 函数在区间上一致连续时有 。 （3-25）证明： 由函数在上一致连续，则，使得当，且时，有 ， （3-26）于是，当时，令，只要，就有，从而 。 （3-27）所以 。 由，当时，有 ，则，使得当时，有， （3-28）从而有 。 （3-29）所以函数在上一致连续。例7 讨论在上一致连续性。解：在上连续，设（1） 当时，设，则 ， （3-30）， （3-31）且 。 （3-32）所以在上一致连续。（2） 当时， （3-33）且 。 （3-34）所以在上一致连续。由（1）、（2）可得，在上一致连续

21、。注11 定理7提供了一个直接观察一致连续的方法，即在图象上最陡的地方，若，有，则一致连续；若在某处无限变陡，则非一致连续。综上所述，一元函数一致连续的判定，是由函数所满足的条件或所定义的范围所决定的，上述定理给出几种情况下函数一致连续的判定但不全面，我们还可以进行更加深入的讨论和研究。4. 二元函数一致连续性的判定及应用4.1 二元函数一致连续的概念及两个重要定理定义3 设为定义在区域上的二元函数，（它或者是的聚点，或者是的孤立点）。若即对，使得当 时，有 ， （4-1）则称函数 关于区域在点连续。若二元函数在区域上任意一点都连续，则称在区域上连续。定义4 函数在区域上，如果对，（仅与有关）

22、，当且时，有， （4-2）则称函数在上一致连续。若，对，使得，而 ， （4-3）则称函数在上不一致连续。定理8（柯西收敛准则） 平面点列收敛使得当时，对，都有 。 （4-4）证明： 设 ， （4-5）则由三角不等式 （4-6）及点列收敛的定义，对使得当时，恒有 （4-7） ， （4-8）从而易得 。 由，则有 ， （4-9） ， （4-10）从而数列满足柯西收敛准则，所以它们都收敛。设，由点列收敛概念得收敛于点。定理9（归结原则） 设二元函数在有定义。存在对任何含于且以为极限的点列，极限都存在且相等。证明： 设 ， （4-11）则对，使得当 时，有 。 （4-12）又点列 且 ， （4-13）

23、则对上述，使得当时，有 ， （4-14）从而有 ， （4-15）即 。 （4-16） 设 ， （4-17）下面用反证法证明 。 （4-18）事实上，若时， （4-19）则（不论多么小），总，虽然，但是。 （4-20）现依次取 ，则存在相应的点，使得，而， （4-21）与假设矛盾。所以。4.2 二元函数在有界闭区域上的一致连续性定理10（一致连续性定理） 若函数 在有界闭区域上连续，则 在上一致连续。证明一致密性定理：假设在上不一致连续，则 ，使得，但 。 （4-22）令（），在中总能找到相应的，使得，但 。 （4-23）在有界闭区域中由致密性定理有，平面点列 必有收敛子列 ，且。同时由 ， （

24、4-24）得 。最后，由，有 。 （4-25）令，由二元函数 在的连续性及数列极限的保不等式性，得 ， （4-26）从而推出矛盾。故在上一致连续。证明二有限覆盖定理：由在上连续，则，使得，有 。 （4-27）考察开区域 ， （4-28）显然是的一个开覆盖。由有限覆盖定理，存在的一个有限开区域 （4-29）覆盖了。记，对，则必属于中某开区域。设，即，此时有 。 （4-30）故由（4-27）式，同时有 ， （4-31） （4-32）成立，从而 。 （4-33）所以在上一致连续。注12定理中的有界闭区域可改为有界闭集，证明过程无原则性变化。4.3 二元函数在有界开区域上一致连续的一致连续性定理11

25、二元函数在有界开区域上在上连续且存在（其中表的边界）。证明： 二元函数在有界开区域上一致连续，则必然在上连续，下面证明存在。（1） 由二元函数在有界开区域上一致连续，则，当时，就有 。 （4-34）对，则。任取，则 ，且。 （4-35）于是对上述，当时，有 ， （4-36）从而 。 （4-37）由柯西收敛准则知存在。（2） 若且 ， （4-38）则由（1）有与都存在。于是，对上述，使得当时，有 且， （4-39）从而当时，有 。 （4-40）所以 ， （4-41）即 。 （4-42）结合、，由归结原则得存在。 令 （4-43）则对（表示的闭包），有。当时，由为开区域知：，当时。因为在连续，所以 ， （4-44）故在连续。当时，有 ， （4-45）其中为中趋于的点列。对中任一趋于的点列，由存在，有 。 （4-46）