高等数学第8章8节

1、2021/8/61一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法三、小结三、小结2021/8/62的的图图形形观观察察二二元元函函数数22yxexyz 2021/8/63一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内有定义，的某邻域内有定义， 对于该邻域内异于对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx： 若满足不等式若满足不等式 ),(),(00yxfyxf ， 则称函数在则称函数在),(00yx有有极大值；极大值； 若满足不等式若满足不等式 ),(),(00yxfyxf

2、 ， 则称函数在则称函数在),(00yx有有极小值极小值； 1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. . 使函数取得极值的点称使函数取得极值的点称为为极值点极值点. . 2021/8/64例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz (3)(2)(1)2021/8/65定理定理 1 1（必要条件）（必要条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在在点点),

3、(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值, , 则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意 ),(yx),(00yx 都有都有 ),(yxf),(00yxf, , 证证故当故当0yy ，0 xx 时，时， 有有 ),(0yxf),(00yxf, , 2021/8/66说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值, , 必有必有

4、0),(00 yxfx; ; 类似地可证类似地可证 0),(00 yxfy. . 说明：说明： 从几何上看，这时如果曲面从几何上看，这时如果曲面 在点在点处有切平面，则切平面处有切平面，则切平面成为平行于成为平行于 坐标面得平面坐标面得平面 。),(yxfz ),(000zyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyxxoy0zz 推广推广：如果三元函数：如果三元函数 ),(zyxfu 在点在点 ),(000zyxP 具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的有极值的必必 要条件要条件为为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),

5、(000 zyxfz. . 2021/8/68例如，点例如，点)0 , 0(是函数是函数 xyz 的驻点，的驻点， 但但点点 (0, 0) 不是极值点不是极值点. . 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点. .驻点驻点偏导数存在的极值点偏导数存在的极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：; 0)0 , 0( , xxzyz. 0)0 , 0( , yyzxz2021/8/69定理定理 2 2（充分条件充分条件） 设函数设函数 ),(yxfz 在点在点 ),(00

6、yx 的某邻域内连的某邻域内连 续，有一阶及二阶连续偏导数，又续，有一阶及二阶连续偏导数，又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，则，则 (1) 02 BAC时具有极值，且时具有极值，且 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值； (2) 02 BAC时没有极值；时没有极值； (3) 02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值， 还需另作讨论还需另作讨论 2021/8/610求函数求函数 ),(yxfz 极值的一般极值的一般步骤步

7、骤： 第一步第一步 解方程组解方程组 , 0),( yxfx0),( yxfy求出所有驻点求出所有驻点. . 第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx， 求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C. . 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值. . 例例4 4 求函数求函数xyxyxyxf933),(2233 , 063),(, 0963),(22yyyxfxxyxfyx的极值的极值解解先解方程组先解方程组求得驻点为求得驻点为)23()03()2,1()0,1(，、，、将上方程组再分别对将上方程组再分别对yx ,求偏导数求偏导数,

8、 66),( xyxfxx, 0),( yxfxy66),( yyxfyy在点在点 处处, 06122 BAC所以函数在所以函数在)0 , 1()0 , 1(处有极小值处有极小值; 5)0 , 1( f又又, 0 A在点在点 处处，)2 , 1(, 0)6(122 BAC所以所以 )2 , 1(f不是极值不是极值；在点在点 处，处，)0 , 3( , 06122 BAC所以所以)0 , 3( f不是极值；不是极值；在点在点)2 , 3( 处处, 06122 BAC又又, 0 A所以函数在所以函数在 处有极大值处有极大值)2 , 3( .31)2 , 3( f2021/8/613与一元函数类似，

9、可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数22yxz . )0 , 0(处取得极小值处取得极小值在在处偏导数处偏导数但函数在但函数在 )0 , 0(不存在。不存在。因此因此, 在考虑函数的极值问题时在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑那么对这些点也应当考虑. 2021/8/614求最值的一般求最值的一般方法方法： 将函数在将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处

10、的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. .3 3、多元函数的最值、多元函数的最值2021/8/615 例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体 水箱问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省 解 令0)8( 22xyAx0)8( 22yxAyx 2 y 2得 根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D(x y)

11、|x0 y0内取得 又因为函数在D内只有一个驻点(2 2) 所以此驻点一定是A的最小值点设水箱的长为x m 宽为y m 则所用材料的面积为 水箱所用的材料最省 )0 , 0( )88(2)88(2yxyxxyxyxxyyxyA 因此 当水箱的长为 2m、宽为 2m、高为2228m时 2021/8/616 根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D(x y)|0 x12 0a90内取得 又函数在D内只有一个驻点 因此可以断定 当x8cm a60时 就能使断面的面积最大 令 Ax24sina4xsina2xsina cosa0 Aa24xcosa2x2cosax2(cos2asin2a)0 解

12、这方程组 得a60 x8cm 例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折可使断面的面积最大？ 解 则断面面积为设折起来的边长为xcm 倾角为a A24xsina2x2sinax2sina cosa (0 x12 0a90) 2021/8/617实例实例：小王有：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买买 x 张磁盘，张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳果，盒录音磁带达到最佳果， 效果函数为效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁设每张

13、磁 盘盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的问题的实质实质：求：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx三、条件极值拉格朗日乘数法2021/8/618拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数 ),(yxfz 在条件在条件 0),( yx 下的可能下的可能 极值点极值点, , 条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值先构造函数先构造函数 ),(),(),(yxyxfyxF ，其中，其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(,

14、0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , , yx，其中，其中yx ,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. . 2021/8/619拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数要找函数 ),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ， 0),( tzyx 下的极值。下的极值。 先构造函数（其中先构造函数（其中21 , 均为常数）均为常数） ),(),(tzyxftzyxF),(),(21tzyxtzyx . 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(tzyxt

15、zyxtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx 求解方程组求解方程组解出解出 x, y, z, t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.2021/8/620解解 )22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx 则则例例7 求表面积为求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为体积为 V .则问题就是条件则问题就是条件求函数求函数的最大值的最大值.)0, 0, 0( zyxxyzV令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxF , 0 , 0 , 0 . 0222

16、2 axzyzxy02222 axzyzxy下，下，2021/8/621 )22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx 则则令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxF , 0 , 0 , 0 . 02222 axzyzxy即即 )4( 0222)3( )(2)2( )(2)1( )(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz , 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 2021/8/622, 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 于是，于是，. zyx 代入条件，得代入条件，得.