第十六章分式知识点和典型例习(用)

1、第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等2建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历 “实际问题 分式方程模型 求解 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程

2、的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义3类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程第一讲 分式的运算【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 ) 4. 幂的运算法则【主要公式】 1. 同分母加减法则 : bcb ca0aaa2.异分母加减法则bdbcdabcdaa0, c 0 ;:cacacaca3.分式的

3、乘法与除法 : bdbd,bcbdbdacacadacac4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法mnm+nmnm n; a a =a ; a÷a =a6. 积的乘方与幂的乘方mamnm nmn:(ab) =b , (a)= a7.负指数幂 : a-p = 1pa0=1a8. 乘法公式与因式分解: 平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a 2- b 2 ;(a ±b) 2= a 2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义：形如 A （ A、B 是整式，且中含有字母， B0）的式子叫分式。其中 A 叫做分式的

4、分子，BB叫做分式的分母。b , x2y21【例】下列代数式中：x , 1 xy,a,xy ，是分式的有：.2abxyxy【练习】 1、各式中， 1x+1y,1,1,4xy,x2,x 分式的个数有（）32xy5 axA、1个B、2个C、 3 个D 、4个2、在 ab , xx3 , 5x , ab ， 21中，是分式的有（）2abaA、1个B、2个C、3个D、 4 个3、下列各式：ab ， x3 ， 5y ，3 x 21 ， ab ， 1(xy) 中，是分式的共有（）2x4abmA、1个B、2个C、3个D、 4 个题型二：考查分式有意义的条件：分式有无意义的条件取决于是否等于零，分式无意义。【

5、例 1】当 x 有何值时，下列分式有意义（ 1） x 4（2）3x（ 3）2（4） 6 x（ 5）1x 4x22x21| x | 3x1x【例 2】当 x_ 时，分式 x1 有意义；当 x_时，分式 | x |2 无意义。x3x24【练习】（ 1）当 x_时，分式2x 有意义；（ 2）当 x_时，分式4有意义；x2x21（ 3）当 x_ 时，分式 2x1 无意义；（ 4） 当 x_ 时，分式 x2 无意义；2xx2（ 5）当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A、2B、1C、 2D、11x3x22x 2x2（ 6）已知当 x2 时，分式 xb 无意义， x4时，此分式的值为0，则 a

6、b 的值等于（）xaA、 6B、 2C、6D、 2题型三：考查分式的值为0 的条件： 分式值为零的条件：【例 1】当 x时，分式3x的值为0；当 x时，分式x29的值为 0.x2x32【例 2】当 x 取何值时，下列分式的值为0.（ 1） x 1（ 2） | x | 2（ 3） x22x 3x3x24x25x 6x+2x21【练习】（ 1）当 x时，分式 x2的值为0； （ 2）当 x时，分式x1的值为0x2xx的值是（）（ 3） 能使分式2的值为零的所有x1A 、 x 0B 、 x1 C 、 x0 或 x1 D 、 x0 或 x1题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】（ 1）当 x 为

7、何值时，分式4为正； （ 2）当 x 为何值时，分式5x8 x3 (x1)2 为负；（ 3）当 x 为何值时，分式x2 为非负数 .x3练习：1当 x 取何值时，下列分式有意义：（ 1）1（2）3x（ 3）1(x 1)2116 | x | 31x2当 x 为何值时，下列分式的值为零：（1） 5| x1 |25 x 24（ 2） x26x 5x3解下列不等式（ 1） | x | 20（ 2）x2x50x 12 x 3（二）分式的基本性质及有关题型1分式的基本性质：AAMAM2分式的变号法则：aaaaBBMBMbbbb题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 】不改变分式的值，把分子、分母的系数

8、化为整数.1 x2 y（ 2） 0.2a0.03b（1） 2311y0.04abx43【练习】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（ 1） 0.03x0.2 y =_0.4a3b5（ 2）=_0.08x0.5y11ba104题型二：分数的系数变号【例 】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（ 1）x y（2）a（3）axyabb【练习】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号ab（2）xy=_（ 3）n（ 1）=_xy=_abm题型三：分式中的字母扩大、缩小【例题】若将分式aba,b 均为正数）中的字母 a, b 的值分别扩大为原来的

9、2 倍，则分式的值为(ab11A 、扩大为原来的2 倍B 、缩小为原来的 2C 、不变D、缩小为原来的 4【练习】 1如果把2 y中的 x 和 y 都扩大 5 倍，那么分式的值（）3y2xA扩大 5倍 B不变 C缩小5倍 D扩大 4倍2、若 x、 y 的值均扩大为原来的2 倍，则下列分式的值保持不变的是（）A、 3xB、 3xC、 3x2D、 3x 32 y2 y22 y2y 23、下列各式中，正确的是（）A a m aB a b =0 C ab 1 b 1D xxy1b m ba bac 1 c 12y2x y题型四：化简求值题【例 1】已知： 115 ，求 2x3xy2 y 的值 .（提示

10、：整体代入，x y3xy ，转化出11.）xyx2 xyyxy【例 2】已知： x1221x，求 xx2 的值 .【例 3】若 | xy1 |(2x3)20 ，求1的值 .4x2y练习：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（ 1） 0.03x0.2 y0.4a3 b（ 2）150.08x0.5 y1ba4102已知： x13 ，求x 4x 21的值 .3已知： 113 ，求 2a3ab2b 的值 .xx 2a bb ab a4若 a 22ab 26b100 ，求2ab 的值 .5如果1 x2，试化简 | x2 |x1| x | .3a5b2x| x1 |x（三）分式的运算1

11、确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例 1】将下列各式分别通分 .（ 1）cba；（ 2）ab；2ab ,3a2 c ,5b 2 cb ,a2b 2a（ 3）1x2；（ 4） a2,1x2x , 1 2x x2 , x 2x 22 a题型二：约分【例 2】约分：（ 1）16 x2 y；（ 3） n2m2；（ 3） x2x2 .20 xy3mnx 2x6题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（ 1）

12、 (a 2b ) 3 (c2) 2( bc)4 ；（2） ( 3a 3)3 ( x2y2 ) ( y x) 2 ；cabaxyyx（ 3） m 2nnn2m ；（4） a 21a1 ；nmmnma112x4x 38x 7111（5） 1x1x1x 21x41x8 ；（ 6）( x1)(x1) ( x1)( x3)( x3)( x 5)；（7） (x2441) ( x 22x )x24xx2x1题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（ 1）已知： x1，求分子1x 28( x241) (11 ) 的值；（ 2）已知： xyz ，求 xy2 yz3xz的值；44x2 x2 3 4x 2y 2z2

13、（ 3）已知： a 23a 10 ，试求 (a 21 )(a1)的值 .a 2a题型五：求待定字母的值【例 5】若 13xMN，试求 M,N的值.x21x1x1练习： 1计算（ 1） 2a 5a12a3 ；（2） a 2b 22ab ；2(a1)2(a1)2(a1)abba（ 3） a b c a 2b3cb 2c ；（4） a b2b 2；a b cb c ac a ba b（ 5） (ab4abb4ab) ；（6）112；)(a1 x 1 x1 x2a ba b（ 7）121.2)(x3)(x1)( x3)(x1)( x2)(x2先化简后求值a 1a 241，其中 a 满足 a 2a0 .

14、 2.已知 x : y2 : 3 ，求 ( x2y2( x y) ( xy) 3 x 的值 .1.a 22a 1 a 2)a 21xyxy 23已知：5 x 4AB，试求 A、B的值.( x 1)( 2x 1) x1 2x 14当 a 为何整数时，代数式399a805 的值是整数，并求出这个整数值.a2（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例 1】计算：（1） ( a2 ) 3 (bc 1 )3（ 2） (3x3 y2 z 1 ) 2 (5xy 2 z3 )2（ 3） (ab) 3 (ab)5 2（ 4） ( x y)3 (x y) 2 2 ( xy) 6(ab)2(ab)

15、4题型二：化简求值题【例 2】已知 xx 15 ，求（ 1） x 2x 2 的值；（ 2）求 x 4x 4 的值 .题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1） (310 3)(8.210 2) 2；（2） (410 3)2(210 2)3.练习： 1计算：（1） (11) (1)2|1 |(13) 0(0.25) 2007 4 2008（ 2） (3 1 m3n2 ) 2(m 2n)33553（3） (2ab 2 ) 2 (a 2b)2（ 4） 4( x y)2 (x y ) 2 2(3a3 b2 )(ab 3 )2 2( xy)1( xy)22已知 x 25x10，求（ 1） x x 1

16、 ，（ 2） x 2x 2 的值 .3直接写出计算结果： （1）（ -3 ） -2 =；（2）2 3；（3） (3)3；2（ 4） ( 13)04、用科学记数法表示0.000 501=5、一种细菌半径是1.21 ×10 -5 米 , 用小数表示为米。题型四 ：运用技巧进行计算技巧一：构造 a1a； 2）寻找出 a1代数式法 ： 1 ）将已知条件中的每一项同时除以； 3）有平方的用完全平分公式aa1221（ a） = aa2 +2a例 1、（一题多变）如果m22m20 ，则 m1。1m（1）一变： m22m20 ，则 m2。m2（2）二变： m22m20 ，则 m31。m3随堂练习 2

17、：已知 x23x10 ，那么 x21的值是。x2技巧二：整体代入法：1）观察：分式和已知条件的相同点；2）化简或移项；3）整体代入求值例 2、（ 1）若 x2x20 ，则x2x23的值等于 _ _ 。(x2x) 2132222n 的值等于（）（ 2）设 m n 0， m n 4mn，则 mmnA.23B.3C.6D.3随堂练习 3：已知 113 ，则分式 2x3xy2 y 的值为 _。xyx2xyy技巧三：设 K 法： 连等情况下使用。1）设 K； 2）用 K 表示未知数； 3）代入求值例 3、已知xy1，则 xy 的值是 _。m nnppm随堂练习 4：已知xxyz，那么x_34y 5 zx

18、yz第二讲分式方程【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法 ;2. 分式方程产生增根的原因3. 分式方程的应用题【主要方法】 1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 .3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 .（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程（ 1）13 ；（2）210 ；（ 3） x1411；（4） 5x x5x 1 xx 3 xx1x2x3 4x提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程

19、【例 2】解下列方程（ 1）x4 x 44 ；（2） x7x9x 10x 6x 1xx6x8x 9x 5提示：（ 1）换元法，设xy ；（2）裂项法， x711.x1x6x6【例 3】解下列方程组111(1)xy2111(2)yz3111(3)zx4题型三：求待定字母的值【例 4】若关于 x 的分式方程231m有增根，求 m 的值 .xx3【例 5】若分式方程2 xa1 的解是正数，求a 的取值范围 .x22a0 且 x2 ，a2 且 a4 .提示： x3题型四：解含有字母系数的方程【例 6】解关于 x 的方程xac (cd0)（提示：（1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） cd 0 .）bxd题型五：列分式方程解应用题练习：1解下列方程：（ 1） x12x0 ；（ 2）x24；（ 3） 2x32 ；x 1 1 2xx 3x 3x 2 x 2（ 4）7317x 2（ 5） 5x 42 x 5