2011年全国高中数学联合竞赛加试试题+解析

1、2011年全国高中数学联赛桐秋初四整理2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日9 : 4012: 10一、（本题满分40分）如图，R。分别是圆内接四边形T8的对用线立；助的中 点.若 8FA =巴4 ,证明：&QB = KQR、D9D证明 延长线度。尸与圆交地另一点E.则= .又尸是战段的中点，故且5二（7 ,从而 =.10分XZABD = ZPCD ,所以An80s尸。）,于是幽=区，即 BD CD冰 cd = ran20分从而存ABCD = ACBD=AC BDi = ACBQ .AB BQAC CD只乙4BQ=乙3,所以/BQs月CD,所以/23二/

2、D/C.30分延长线段X。与圆交于另一点尸，贝U/CWR =/ZMF ,故向7 = DF,又因为。为私 的中点，所以0s = NOQF.又44QB = 4QF ,所以 AQB=CQ8 .40分12011年全国高中数学联赛桐秋初四整理二、(本题满分40分)证明：对任意整数n 4,存在一个n次多项式n _ n 1_f(x) x an vxax a0具有如下性质：(D ao,ai, ,ani均为正整数；(2)对任意正整数m,及任意k(k 2)个互不相同的正整数ri,， 均有f(m) f(ri)f(2) f(。).证明令F3 = (h+I依+2)&+哺+2 ,W分将的右边展开即知/Z是一个首领系数为】

3、的正整数系数的H次多项式.下面证明八满足性质(2).对任意整数F,由于收故连续的个螫数F + m +力中必有一个为4的倍数,从而由知F) = 2gM4),20分因此.对任意兴伏之2)个正整数不力,I ,有fgfg/(/;)-0(mod4) ,但对任意正整数叫* W/(m)2(mod4) 故/O)出)FS)(mod4) 7从而* /(，/匕)/3) 所以，(幻符合题设要求.40分5 -r ,满足1 ak a jr (1 i jk n）的三元数组（i, j,k）的个数记为（r）.三、（本题满分50分）设ai,a2,冏（n 4）是给定的正实数，ai a2an .对任意正实数证明：fn（r）证明 对给

4、定的2.满足】M J M居人 且设FT = 2*则有m(m - I) 1)+ 一厂的三元数组（i,衣口的个数记为g g10分注意到.若ij固定，则显然至多有一个工使得成立.因即有种选法， 故. G） j-1.同样地，若/固定，则至多有一个j使得成立，因无 人 即上有ILJ种注法，故 gj（r）n-J.从而30分因此,当内为偶数时,=m2 m m2 =,40 龛4当为奇数时.设也=2加/1,则有A-I阳1题6 = ZgjC =工&+工盯。7J7产/*1(2 + 1-7)j=2J-1=m1 = ,一SO 分四、（本题满分50分）设A是一个3 9的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数.称A中的一个

5、m n （1 m 3,1 n 9）方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数.称A 中的一个1 1的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形” .求A中“坏格”个数的 最大值.解 首先证明A中“坏格”不多于25个.用反证法.假设结论不成立，则方格表、中至多有1个小方格不是.坏格二由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格二设方搭表A第/列从上到广填的数依次为%也4i =12,9，记 kk5* =工电,T* =工（“十心/亚= U,12,9 ,这里51廿=TU = 0 .10分1i-i我们证明：三组数S小QT,7；及其+兀山+几卢广今都是模0的完 全剩余系.事实上，假如存在他叫 0

6、 M J 9 p使工工Smod I。）.则 fll% 二5小-5时=0（modl0）T j-ffi-l即第I行的第m - 1至第界列组成一个“好矩形 与第1行都是*坏格”矛盾，20分 又假如存在研明,使兀鼻rjmod】。）,则之板+勺卜1乙-10）， - I即第2行至第3行、第m + 1列至第巧列组成一个“好处形叱从而至少有2个小方格不是“坏 格”，矛盾.类似地,也不存在叽/ 04加门49 ,使5nB十二.30分因此卜.述断言得证,故 *59臬三Z乙三工（几十）三0+1 + 2+ - + 95（1110410人%T立口4-0999所以Z（羽+）三Z$去+工八三5*5三O（modlO）,i=0*=0=0矛盾！战假设不成立，即“坏格”不可能多于25个.40分另一方面