直线圆锥曲线有关向量的问题

1、直线圆锥曲线有关向量的问题局考考什么知识要点：1直线与圆锥曲线的公共点的情况Ax Bx C 0(或 A* B'y C 0)直线：ax by c 0 曲线:f(x, y) 0(1)没有公共点方程组无解(2) 一个公共点I)相交ii)相切(3)两个公共点Ao, 02连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：I-AB 47 k2 Xi X2Yi y23以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4.几何与向量综合时可能出现的向量内容(3)给出，等于已知是的中点;(5)存在实数；若存在实数给出以下情形之一

2、：； ，等于已知三点共线(6)给出，等于已知是的定比分点，为定比，即(7)给出，等于已知，即是直角，给出，等于已知是钝角，给出，等于已知是锐角。在平行四边形中，给出，等于已知是菱形(10)形在平行四边形中，给出，等于已知是矩(11)在中，给出，等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)；(12)在中，给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点)；(13)在中，给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点)；(16)在中，给出，等于已知是中边的中线高考怎么考主要题型:1 三点共线问题；2 公共点个数问题；3 弦长问题；4.中点问题

3、；5 .定比分点问题；6.对称问题；7.平行与垂直问题；8.角的问题。近几年平面向 量与解析几何交汇试题考查方向为(1)考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。(2)考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。例1 .过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和 关于y轴对称，oV轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P为坐标原点，若uuuuu 且 UULTUUU则点P的轨迹方程是(D )A.1(xo,y0)3X21(x 0,y 0)3y21(xo,

4、y0)-x2 3y2 21(x 0,y0)例2.已知椭圆C：椭圆C2以c的长轴为短轴，且与c有相同的离心率.求椭圆C2的方程;(2)设。为坐标原点，点A, B分别在椭圆G和C2上，OB= 2OA求直线AB的方程.22yx解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为一+=1 (a>2),a 4其离心率为，故2-二，贝Ua=4,故椭圆C2的方程为鲁+x=1.a216 4(2)解法一 ：A, B两点的坐标分别记为(Xa, yA) , (XB,ys),由OB= 2 了及知，0 A B三点共线且点A, B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y二42，1 + 4kkx.将 y 二 kx 代入匚 + y2 =

5、 1 中，得(1 + 4k2)x2 = 4，所以 Xa二 422所以Xb二42,又由。8=2(必得XB=4XA,4十kRJ 1616即 4+F = 1 十？，解得k二士 1,故直线AB的方程为y二x或y二一x.解法二：A, B两点的坐标分别记为(xa, yA) , (xb, yB),由6B=2盹(1)知，OAB三点共线且点A, B不在y轴上，因此可设直线AB的方程 为 y= kx.2将y = kx代入£十y2二1中，得(1十4k2)x2 = 4,所以XA=；干灵，由张力f 1616k2Xb=1 十 yn 十22A， L21 ,即 4 十 k2= 1 十 4k2,将XByB代入稳十7中

6、，得 箕:'1十解得k二士 1,故直线AB的方程为y二x或y二一x.UUU UUU例4已知A,B为抛物线x2=2py(p。)上异于原点的两点，。A。B0,点C坐标为(0, 2p)(1)求证：A,B,C三点共线； UUUU UUU(2)若AM二BM( R )且OM AB 0试求点M的轨迹方程。22()证明:设 A(xh ), B(X2,-), 2p 2pUUU UUU由 OaOb 0 得 XiX2UUUT又 Q AC (xi,2p22X X22p 2pOj X1X24P之,x f UUU 2 X22 牛),AB (X2 M2p2p222X2 X1：)伙Xi 02p2p)UUUT UUUA

7、CAB，即A,B,C三点共线。UUUU UUU R)知 0M ABM的轨迹方程为(2)由(1)知直线AB过定点C,又由0 M ABO及AM二BM (垂足为M所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点222x+(y-p)=p(xo, yO)o例6设F-F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点uuur uuun(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PFi PF2的最大值和最小值解法二：易 a 2,b 1,c ,3，所以Fi、3,0 , F2 3,0，设Px, yuurPF1UUUTPF2UUITPF1.3显然直线联立y2 x4kxX24k又0°又y解:UU LU PF24kuuiT uu

8、ll cos F1PF2 PF1PF212 x2。不满足题设条件，可设直线消去y ,整理得:AOB 90。2 kx- 2 kx2X2cosAOBO。得:UUU2k aX2 2k xiUU 2PF1UU 2 PF2UUI 2F1F23Vl2 PE PF2y2 3(以下同解法一)I : y kx 2,A Xi,y2,BX2 4kx 3UUUX2(n)设过定点M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点标原点)，求直线I的斜率k的取值范围.(I )解法一易知a2,b1,C /3,所以Fi .3,0尼,3,0，设PX2,y2 ,uuuruuuu则 PF PF23X, y,.322X,yXuuu UJU二

9、OA OB X1X2.2k3 k218k22 1 k4A、B,且/y2OAOB为锐角(其中。为坐2X141 23x84因为x 2,2 uuur uiuui,故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，LUIuuuuPF1 PF2有最小值-2当x= 2，即点P为椭圆长釉端点时, PFi PF2有最大值12故由、得2 k自我提升1、平面直角坐标系中，-其中。为坐标原点，已知A( 3, 1), B(-1 , 3)，若点 C 满足OC OA OB，R,且=1,则点C的轨迹方程为(D)A. 3x+2y-1 COB. (x-1)2+(y-2)2=5 C .2 x-y =0 Dx+2y-5=02、已知i, j是x,

10、y轴正方向的单位向量,设a=(x 2)i yj,b =(x 2)i满足I a|+| b |=4.则点P(x,y)的轨迹是.(C )A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线5.2012许昌一模设只、F2分别是双曲线线上，且PFPF2= 0，贝iJ | PF+ PF2I =()2X2- 9 二 1 的 左、右焦点.若点 P在双曲A. 24'2. 2 70向量PF+ PF2= 2PQ根据直角三角形斜,则| PF+Pfe|= 2|而二| FiF2| = 2/10.边上的中线等于斜边的一半即可求出 .PF - PF2= 06 .已知A B为抛物线x2=2py (p>0)上两点，直线AB过焦点F，

11、A、B在准线上的射影分别为C、D,贝Uy轴上恒存在一点K，使得KA?KF 0 :CF ? DF 0 :存在实数使得ADAO :若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有FT7AB 0。中说法正确的为 7 .已知椭圆y21，过P(1,0)作直线I，使得I与该椭圆交于A,B两点，I与y2uuir uuu轴的交点为Q且AQ PB，求直线I的方程。解：直线I过P(1，故可设方程为y=k(x-1)，因为AQ PB，所以AB的中点与PQ的中点重合.由2X y2 12y k(x 1)2222得(1 +2 k) x -4 k x+2 (k -1)=0所以Xa4k?，又 xp+xfi 故Xb 1 2k24k21

12、2k22，所求的直线方程为o1)& (201222XV瑞安质检丁设椭圆M才+ 22a1 （at）的右焦点为R,直线I ： x = va2- 2与X轴交于点A,若OF+ 2AF=0（其中。为坐标原点）-（1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N： X2+ （y - 2）2= 1的任意一条直径（E, F为直径的两个端点），求PE- PF的最大值.&2解：由题设知，Am一 2。, R（.a 2,。）,a /y由OF+ 2Af=。得寸a2 -2=2 JO-2 一寸a2- 2 .解得a2= 6.所所圆M的方程为石+ 2(2)解法1 ：设圆N： x2+ (y - 2产

13、=1的圆心为N,则 PE-PF= (NENfp (NF-Np = ( NFNp -(NF- Np = NfPnF=nPI.设 P(Xo, y。)是椭圆 M上，一点，贝 u6+)d1 1,所以 nP=Xo+ (y0- 2)二一2(y0+ 1)+ 12.因为y° 2,2，所以当y匚一1时，NP取得最大值12.所以PE- PF勺最大值为II.X2二一Xi ,解法 2 :设点曰 Xi, yi) , F(x2, y2) , P(Xo, y。)，所以后 4-y,.可得PE PF二(Xi Xo)( X2 Xo) + (yi y0)( y y。)二(Xi x0)( Xi x0)+ (yi y

14、6;)(4 y /°)=Xo X2 + y0 y2 + 4yi 4y匚 x°+ 4y0 (x2 + y? 4yJ .因为点 E 在圆 N 上，所以 X1+ (yi 2) 2= 1,即 xi+ yi 4yl二一3.22Xo y。又因为点P在椭圆M上，所以6+ -2=1,即 Xo= 6 3y。.所以 PE PF= 2y2 4y0+ 9=一 2(y0+ 1)2 +11.因为 yo ',2, U2,所以当 yo=- 1 时，(PE - PF> 11.22F,上顶点为A,过点A作垂直于AF9.设椭圆C:笃 莒1 (a b 0)的左焦点为a b2的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半触于点且AP-PQ 5(1)求椭圆C的离心率;(2)若过A、QF三点的圆恰好与直线I :0相切，求椭圆C的方程.解:设Q(x。.0)，由 F (-C，0)知FA(c5b) ,AQ(x。, b)b2FA AQ, exo bO5Xo8 设 P (Xi, yd 由 AP -PQ，得 X!