相似三角形与圆综合题

1、1、已知：如图，AB是。的直径，E是AB延长线上一点，过E作。的 切线ED,切点为C, AD1.ED交ED于点D,交。0于点F, CG_LAB交AB于 点G.求证：BGAG=DFDA.2、已知：如图，AB为。的直径，AB±AC, BC交。0于D, E是AC的 中点，ED与AB的延长线相交于点F.(1)求证：DE为。0的切线.(2)求证：AB： AC=BF： DF.w3、()已知：如图，AB是。0的直径，AB=AC, BC交。0于点D, DEJ_AC, E为垂足.(1)求证：ZADE=ZB：(2)过点0作OFAD,与ED的延长线相交于点F,求证:FDDA=FODE.4、如图，AB为。的

2、直径，BF切。0 F点B, AF交。0 F点D,点C在DF匕BC 交。0 广点 E,且NBAF二2NCBF, CG_LBF 广点 G,连接 AE.(1)直接写出AE与BC的位置关系；(2)求证:ABCGAACE；若NF=60。，GF=1,求。0的半径长.5、如图，AB、AC分别是。的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE_LAB分别交。于E,交AB于H,交AC于F. P是ED延长线上一点且PC=PF.(1)求证：PC是。0的切线;点D在劣弧AC什么位置时，才能使ADJDEDF,为什么？(3)在的条件下,若OH=L AH=2,求弦AC的长.6、如图，AB、AC分别是。0的宜径和弦，点D为劣弧AC

3、上一点，弦DE J_AB分别交。0 F E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC二PF.(1)求证:PC是00的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD；=DEDF,为什么？(3)在(2)的条件下,若OH，AH=2,求弦AC的长.7、如是。的直径，CB、CD分别切。于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC； (1)求证：AE是。0的切线：过点D作DFLAB于点F,连接BE交DF于点M,求证：DM=MF.8、已知：如图，AB是。的直径，D是。上一点，连结BD并延长，使CD=BD,连结AC。过点D作DEJ_AC,垂足是点E.过点B作交ED延长线于点F,连结OF。

4、求证：(1)EF是的切线；裨步 ,(2) AOBFADECo9、如图，已知AB是。的直径，C是。上一点，ODLBC于点D,过点C作。0切线，交0D的延长线于点E,连结BE.(1)求证：BE与。0相切；2连结AD并延长交BE于点F,若0B=6,且sin/ABC= ,求BF的长.310、如图，AB是。0的直径，AC是弦，NBAC的平分线AD交O0于点D, DEJ_AC交AC的延长线于点E, 0E交AD于点F。(1)求证:DE是。的切线;若把AB求VDF的值;(3)在(2)的条件下，若。0直径为10,求EFD的面积.11、已知：如图，在RtABC中，NA=90° ,以AB为直径作。0, B

5、C交。0于点D, E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F.求证：(DDE为。0的切线.(2)AB*DF=AC*BF.12、如图，以AABC的边AB为直径的。0与边BC交于点D,过点D作DE_LAC,垂足为E,延长AB、ED交 于点F, AD平分NBAC.(1)求证：EF是。0的切线；(2)若AE=3, AB=4,求图中阴影部分的而积.13、知AB是。的直径，直线1与。0相切于点C且= 弦CD交AB于E, BF±b垂足为F, BF交。0于G.(1)求证:CE =FG FB；若tanNCBF二L, AE二3,求。0的直径。214.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分/BCD

6、, BD交AC于点F,过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.求证：©AE/7BD：AD' = DF AE15、已知：口ABCD,过点D作直线交AC于E,交BC于F,交AB的延长线于G,经过B、G、F三点作。0,过E作。0的切线ET, T为切点.求证：ET = ED16、如图，AABC中，AB=AC, 0是BC上一点，以0为圆心，0B长为半径的圆与AC相切于点A,过点C 作CDLBA,垂足为D.求证：(1) ZDAC = 2ZB；(2) CA2 = CD CO相似三角形与圆的综合考题（教师版）1、已知：如图，AB是。的直径，E是AB延长线上一点，过E作。0的切线ED,切点为C

7、, ADDLED交ED 于点D,交。0于点F, CG_LAB交AB于点G.求证:求AG=DFDA.证明：连接BC, FC, CO, 过E作00的切线ED,，NDCF=NCAD,ND 二 ND,AACDFAADC,CD DF AD = CD ,CDjADXDF, CG1AB, AB 为直径，A ZBCA=ZAGC=ZBGC=90° ,A ZGBC+ZBCG=90° , NBCG+NGCA=90° ,/. ZGBC=ZACG,.-.BGCACGA,CG BG，AC = CC t .-.CG：=BGXAG, :过 E 作。0 的切线 ED,，OC_LDE, AD IDE

8、,，C0AD,，Z0CA=ZCAD,'AO = CO,，Z0AC=Z0CA,，NOAC二NCAD,在4AGC和 ADC中， fzCCA=zD( GAC = DACLac=ac ,：.AAGCAADC (AAS),，CG 二 CD,ABGXAG=ADXDF.2、已知：如佟I, AB为。0的宜径，AB±AC, BC交。0 F D, E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F.(1)求证:DE为00的切线.(2)求证：AB： AC=BF： DF.证明：(1 )连结。Q DA .,AS为。直径， CDA=zBDA = 9O9 e-CE = EA fs.DE-EA f/.Z1=Z4

9、r-OD=()A ,/2=n3 rvz4+z3=9O° r/.Z1+Z2=9O° r即；foa是半径,BE为。的切爱；(2 ) vz3+z/?Byl = 90° , z3+z4=90° ,/.z4=zrs?i,CDA=BDA = QQ0 ,. ABD-CAD t.AB_RD"AC-AD，nF0N +乙召DO=90。f /。BO+/3=90。，又. QD=OB ./EDO=EO ,./3="Z)B fZF=zFfFAD3FDB . BD _BF"ADDFr.AB_RF"AC -DF r即/IN ； AC=EF； DF

10、.A3、()已知：如图,AB是。0的宜径,AB=AC, BC交00 3点D, DE1AC, E为垂足.(1)求证：ZADE=ZB； 过点0作0FAD,与ED的延长线相交于点F,求证：FD>DA=F0-DE. 。解：(1)方法一: 证明：连接0D,V0A=0D, ：.N0AD=N0DA.TAB是。0的直径，NADB=90° ,即 AD_LBC.又,AB =AC,，AD 平分NBAC,即 NOADNCAD.，NODA二NDAE=NOAD.V ZADE+ZDAE=90° ,Z. ZADE+Z0DA=90° ,即 NODE=90° , 0D1DE.OD是。

11、0的半径，.EF是。0的切线.，ZADE=ZB.方法二：AB是。0的直径，/. ZADB=90° ,又 DE_LAC,A ZDEA=90° ,/. NADB=NDEA,ABC 中，AB=AC, AD±BC,，AD 平分NBAC,即/DAE=NBAD.AADAEABAD.Z. ZADE=ZB.(2)证明:V0F/7AD,，NF二NADE.XV ZDEA=ZFDO (已证)，AAFDOADEA.AFD： DE=FO： DA,即 FDDA=FODE.点评：本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质：(2)题乘积的 形式通常可以转化为比例的形

12、式，通过相似三角形的性质得以证明.4、如图，AB为。0的直径，BF切。0于点B, AF交。0于点D,点C在DF上,BC 交。0 于点 E,且NBAF=2NCBF, CGLBF F点 G,连接 AE.直接写出AE与BC的位置关系；(2)求证:ABCGAACE；若NF=60° , GF=L求。的半径长.解：（1）如图1, AB是。的直径，A ZAEB=900 .AAE1BC.（2）如图b BF与。0相切，/. ZABF=900 .A ZCBF=90° -NABE二 NBAE. ； NBAF=2NCBF./. NBAF=2/BAE. ZBAE=ZCAE.，ZCBF=ZCAE.VC

13、G1BF, AE1BC,A ZCGB=ZAEC=90° .V ZCBF=ZCAE, NCGB二NAEC,AABCGAACE.（3）连接BD,如图2所示.V ZDAE=ZDBE, NDAE=NCBF,/. ZDBE=ZCBF. AB是。的直径，A ZADB=900 .ABD1AF.V ZDBC=ZCBF, BD±AF, CG±BF»ACD=CG.V ZF=60° , GF= 1, NCGF=90° , CGAtanZF= GF =CG=tan600 =V3VCG=V3t.CD=V3.V ZAFB=60° , NABF=900

14、,，NBAF=30° .V ZADB=90° , ZBAF=30° , AAB=2BD.V ZBAE=ZCAE, ZAEB=ZAEC, / N ABE: NACE.AAB=AC.设。的半径为r,则AC=AB二2r, BD=r.V ZADB=90° ,AAD=V3r.DC=AC-AD=2r-V3r= (2-V3) r=V3.Ar=2V3+3.的半径长为2vq'+3.解析：(1)由AB为。0的直径即可得到AE与BC垂直.(2)易证NCBF二NBAE,再结合条件NBAF=2NCBF就可证到NCBF=NCAE,易证NCGB=NAEC,从而证到4 BCGA

15、ACE.(3)由NF=60° , GF=1可求出CG=V3；连接BD,容易证到NDBC二NCBF,根据角平分线的性质可得 DC=CG*丐；设圆 0 的半径为 r,易证 AC=AB, ZBAD=30° ,从而得到 AC=2r, ADh/5t, fI=| DC=AC-AD=V3 可求出00的半径长.5、如图，AB、AC分别是。0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE_LAB分别交。于E,交AB于H, 交AC于F. P是ED延长线上一点且PC二PF.P(1)求证：PC是00的切线；点D在劣弧AC什么位置时，才能使ADJDEDF,为什么？(3)在(2)的条件下，若0H=l, AH

16、=2,求弦AC的长.J分析：(1)连接0C,证明N0CP=90°即可.k ° H J(2)乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出.'(3)可以先根据勾股定理求出DH,再通过证明OGAgOHD,得出AC=2AG=2DH,求出弦AC的长.解答：(1)证明：连接0C.PC=PF, OA=OC,炎 PNPCA:NPFC, ZOCA=ZOAC,.- NPFC:NAFH, DE1AB,A ZAHF=90° ,NPCO=NPCA+NACO=/AFH+NFAH=900 , 二PC是。0的切线.(2)解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使ADJDEDF,理

17、由如下: 连接AE.点D在劣弧AC中点位置，NDAF=NDEA,V ZADE=ZADE,AADAFADEA,AAD： ED=FD： AD,AAD=DE*DF.(3)解：连接OD交AC于G.V0H=b AH=2,A0A=3,即可得 OD二3,二.DHf。-。/二昭二2区.点D在劣弧AC中点位置，AAC1DO.，NOGA二NOHD=90° ,在aOGA和OHD中，< ZDOA=AODOA = ODAAOAOHD (AAS),/AG=DH,AC=4p.点评：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径）, 再证垂直即可.同时考查了相似三角形的

18、性质及全等三角形的性质.6、如图，AB、AC分别是。0的宜径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEJ_AB分别交。于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC二PF.(1)求证：PC是。0的切线：(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使ADJDEDF,为什么？(3)在(2)的条件下,若OH=L AH=2,求弦AC的长.(1)证明：连接0CVPC=PF, OA=OC,，NPCA=NPFC, NOCA=NOAC,NPFC二NAFH, DE_LAB,A ZAHF=90° ,A ZPC0=ZPCA+ZAC0=ZAFH+ZFAH=90° ,，PC是OO的切线.(2)解：点D在劣

19、弧AC中点位置时，才能使ADJDEDF,理由如下: 连接AE.点D在劣弧AC中点位置，/DAF=NDEA,V ZADE=ZADE, AADAFADEA, AAD： ED=FD： AD, .-.AD=DE<DF.(3)解：连接OD交AC于G.V0H=b AH=2,.0A=3,即可得 OD二3, DH=VOD 2 - OH.点D在劣弧AC中点位置，AAC1DO.，N0GA二NOHD=90° , 在 AOGA 和()© 中，IzOCA=zOHDDOA=zAODLoa=od ,AAOGAAOHD （AAS）,AAG=DH,，AC = 4，解析：（1）连接OC,证明NOCP二9

20、0,即可.（2）乘枳的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出.（3）可以先根据勾股定理求出DH,再通过证明OGAgaOHD,得出AC=2AG=2DH,求出弦AC的长。7、如图，AB是。0的直径，CB、CD分别切。于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC； (1)求证：AE是。0的切线；过点D作DF_LAB于点F,连接BE交DF于点M,求证：DM=MF.证明：(1)连接OD, 0E,VCB. CD分别切分。于B、D两点，1NODE=90° , CD=CE,VCE=AE+BC, CE=CD+DE,，AE=DE,VOD=OA, OE=OE,AAODEAOAE (

21、SSS),A Z0AE=Z0DE=90° ,AOA1AE,，AE是。0的切线；(2) VDF1AB, AE_LAB, BC1AB,，AEDFBC,/.BNIFABEA,MF BF AE - BA tCD BF CB CE - BA - CE ,MF CB AE - CEVAEDMAECB>CB DM，CE - DE ,MF DM AE - DE ,= MF.解析：（1）首先连接OD, OE,由CB、CD分别切。于B、D两点，即可得NODE=90°, CD=CE,又由CE=AE+BC,CE=CD+DE,即可证得AE=DE,则可得ODEgZkOAE,即可证得AE是00的切

22、线：（2）首先易证得AEDFBC,然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可 求得DM=MF.8、已知：如图，AB是。0的直径，D是。0上一点，连结BD并延长，使CD=BD,连结AC。过点D作DE_LAC,垂足是点E.过点B作BE_LAB,交ED延长线于点F,连结0F。求证：（1）EF是。的切线；屋 .妞 .(2)A0BFADECo证明：(1)连结0D,VAB是。0的直径，.OA=OB,又CD = BD,，ODAC,VDE1AC,A ZDEC=90° , /ODE=90° ,.点D是。0上一点，.EF是。的切线。(2) VBF1AB, AB 是。0 的

23、直径, BF是。0的切线， EF是。0的切线， NBF0= NDFO, FB=FD,A0F1BD,? NFDB= NCDE,N0FD=NC,/.ZC=Z0FB,XVZCED=ZFB0=90° ,/.OBFADEC.9、如图，已知AB是。的直径，C是。上一点，0DLBC于点D,过点C作。0 切线，交0D的延长线于点E,连结BE.(1)求证：BE与。0相切；2连结AD并延长交BE于点F,若0B=6,且sin/ABC= ,求BF的长.解：(1)连结 CO, V0D±BC, AZ1 = Z2,再由 CO=OB, 0E 公共, /OCEAOBE (SAS ) ，Z0CE=Z0BE&g

24、t; 又 CE 是切线，Z0CE=90° , .Z0BE=90°，BE 与。0 相切(2)备用图中,作DHJ_OB于H, H为垂足,2在 RtZkODB 中，0B=6,且 sinNABC= ,，0D=4,3同理 RtZkODHsRtODB,，DH=*色，0H=-33又班ABFsRtZAHD, AFB ： DH=AB ： AH,考点：切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。点评：熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中档题。10、如图，AB是。0的直径，AC是弦，NBAC的平分线AD交。0于点D, DEJ_AC交AC的延长

25、线于点E, 0E交AD于点F。小(1)求证：DE是。的切线;AC 4 AF (2)若万一求后的值;w（3）在的条件下,若00直径为10,求EFD的面积.试题分析：（1）连接0D,根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得NCAD=N0DA,推出ODAC,根据平行线性质 和切线的判定推出即可:（2）先由（1）得ODAE,再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案:（3）根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可.（1）连接0D因为0A=”0D 所以/OAD = ZODA 又已知NOAD = ZDAE 可得NODA = ZDAE ，所以 0D II AC , 又已知DE AC 可得DE_LOD 所以D

26、E是。的切线:(2)由(1)得 ODAE, *'DF'OD"AE _4 又知一 20D一 AE 8 4hAF 8ii0D-5,故而一百135 (3)28考点：圆的综合题 点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.11、已知：如图，在RtaABC中，NA=90° ,以AB为直径作。0, BC交。0于点D, E是边AC的中点,证明：（1）如图，连接0D、AD.CEVOD=OA, ，Z2=Z3,AB是。的直径，A ZBDA=90° , ，/CDA=900 .又二E是边AC的中点, 1.DE=AE=-AC, 2

27、AZ1=Z4,A Z4+Z3=Z1+Z2=9O°，即 ° .又.AB是。的直径，二.DE为。的切线；(2)如图，TABLAC, ADXBC,.Z3=ZC (同角的余角相等).XV ZADB=ZCDA=90° ,AAABDACAD,.AB _BD易证FADs/fdB, BD _ BF'addf'.AB BF'acdf'AAB<DF=AC>BF.解析：(1)连接 OD、AD, 求出CDA二NBDA=90°，点 E 为 AC 中点，求出N1=N4, Z2=Z3,推出N4+N3=/l+N2=90° ,根据切线

28、的判定即可:(2)证ABDsCAD,推出"=处，再证FADs/FDB,推出些=尤，得"=竺1,即可得AC ADAD DF AC DF出ABDF=ACBF.12、如图，以ABC的边AB为直径的。0与边BC交于点D,过点D作DE_LAC,垂足为E,延长AB、ED交 于点F, AD平分NBAC.(1)求证:EF是。0的切线；(2)若AE=3, AB=4,求图中阴影部分的而积.解：(1)连接0D.VOA=OD,，NOAD二NODA,AD 平分NBAC,/. NOAD二NCAD,，NODA二NCAD, ，ODAC,VDE1AC,A ZDEA=90" ,Z. Z0DF=ZDE

29、A=90° ,OD是半径，EF是。0的切线.(2) TAB 为00 的直径，DEXAC,A ZBDA=ZDEA=90° ,? NBAD=NCAD,BADsaDAE,.AB AD'adae'ni. 4 AD；=,AD 3.-.AD=2V3,.cosZBAD=AD _26小店一 r，NBAD=30° , ZB0D=2ZBAD=60° ,BDAB二2,2S-二-二-xl X 23 x 2=V3.22 2_ _ 60,x22 区 2 e S 困影=S 划形58-S. .bocF5/3 = - TC -3603解析:(1)根据等腰三角形性质和角平分

30、线性质得出NOAD二NODA=NDAE,推出ODAC,推出OD±EF,根据切 线的判定推出即可：(2)证BADs/DAE,求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出NBAD=3O° ,求出NB0D=60°和求出 BD=2=OB=0D,求出扇形BOD和aBOD的面积，相减即可.13、知AB是。的直径，直线1与。0相切于点C且AC=AD,弦、cd交AB于E, BF11,垂足为F, BF交00 于 Go求证：CE:=FG FB；(2)若 tan/CBF=,，AE=3,求。的直径,2解：(1)证明：连结AC,二AB 为直径，NACB=90° ,/AC=aS,且AB是直径，AAB1CD 即 CE 是 RtAABC 的高，A ZA=ZECB, ZACE=ZEBC, CE是。0的切线，/. ZFCB=ZA, CFFG FB,A NFCB二NECB, ZBFC=ZCEB=90° , CB=CB,.-.BCFABCE,，CE二CF, NFBC二NCBE,CE三FG FB：(2) V ZCBF=ZCBE, ZCBE=ZACE,； NACE 二 NCBF,1 AE：.tanZCBF=tanZACE=，2 CEVAE=3,31/.= -=>CE=6,CE 2在Rt/kABC中，CE是高，.CE3=AE EB,即 6J3EB,