几何体中与截面问题

1、几何体中的的截面问题1定义及相尖要竜一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面此平面与 几何体表面的交集（交线）叫做截线此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点2作多面体的截面方法（交线法）：该作图矢键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面 题型一、截面的形状1P、Q、R三点分别在直四棱柱AG的棱BBi、CG和DDi上，试画出过P、Q、RA1解答：（2）连接（3）连接BiA,R-DB连接QP、QR并延长，分别交CB、CD的延长线于E、F. uEF交AB于T，交AD于SRS、TP。则多边形PQRST即为所求截面。2已知与AD 榔亍，求作过

2、这三点的截P、Q、R分别是四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱CD、D0和AA上的点，且2解答：（1）连接QP并延长交DA延长线于点I在平面ABCD内连接PI交AB于点M。连接QP、RM。则四边形PQRM即为所求。内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。 若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。 若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的 交点A个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可BCD3答案：D解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的 内接正方形?故选D °题型二、截面面积、长度等

3、计算4 过正方体ABCD Al B1C1D1的对角线BDl的截面面积为S Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax的值为Smin03B2326A 6r.n22334答案：C解析：设M、N分别为AAi、CC1的中点易证截面BMDiN是边长为的菱形(正方体棱26 而截面长设为1),其面积S(min)= 2*BBQQ是矩形，其面积S(max)= 2 -7已知正四棱锥P-ABCD的棱长都等于a侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成二面角大小的正切值为17答案：解析：过A在平面ABCD内作直线I BD ，连接AC,BD交于O，连接PO, MN 记P0、MN交于O

4、' 因为PB、PD的中点分别为M、N，所以MN / BD，因为 I BD， 所以丨MN ，A I '所以I平面AMNI平面AO PO2a OO22a tanOAO4AMN n平面ABCD易知 OAO即为面AMN与底面 ABCD所成面角的平面角Word范文8 如图，正方体ABCD Ai B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CCi上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的 是1 当0CQ时，S为四边形21 当CQ时，S为等腰梯形231 当CQ时，S与G0的交点R满足C1R1432当CQ 1时，S的面积为 8 答案：(1X2X3X5)解析：

5、设截面与DiD相交于T 则AT / PQ且AT 2PQ DT 2CQ .1对，当0 CQ时，则0 DT 1 所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.21对,当CQ 时,DT =1,T与Di重合，截面S为四边形APQDi,所以AP DQ截面S2为等腰梯形所以为真3 1311对，.当CQ3时QC11?DT 3?DlT1.利用三角形相似解得CiRiI所4 142 121 13以为真33对,当 CQ 1时，DT 2.截面S与线段AiDbDiCi相交，所以四边形S为五边形.421111所以为假对，当CQ1时，Q与Ci重合，截面S与线段入0相交于中点Gi即为菱形APC1G1A.对角线长度分别为2和3，S

6、的面积为迈2Word范文9 如图，ABCD Ai B1C1 Di为正方体。任作平面与对角线 AC垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到 的截面多边形的面积为s，周长为I .则（）A S为定值，I 不为定值B - S不为定值，I为定值cS与丨均为定值DS与I均不为定值解析：将正方体切去两个正三棱锥AABD与C D BC后，得到一个以平行平面 ABD 与DBC为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形 W的 每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱AB剪开，展平在一张平面上， 得到一个平行四边形ABB1A1 ，而多边形W的周界展开后便成为一条与A Ai

7、平行的线段（如图中E E J，显然AAi EE-故I为定值。当E位于AB中点时，多边形W为正六边形，而当E移至A处时，W为正三角形，易知周长为定值I的正六边形与正三角形面积分别为*与3|2 ,故S不为定24 36值。题型三、截面图形的计数10设四棱锥P ABCD的底面不是平行四边形，用平面去截 此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面（）A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个10答案：D解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m，n，直线m、n确定了平面卩，作与卩平行的平面a与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形这样的平面a有无数多个11过正四面体ABCD的顶点A做

8、一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面 BCD成75。角，问这样的截面可作几个？11答案：6个解析：可以证明正四面体的棱、侧面与底面成角均小于75度，这样过顶点与底面成75度角， 且平行与底面一条边的截面也就是符合题意的截面，有两个。三条边就是6个。题型四、截面 图形的性质12如图4，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面 一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：水的部分始 终呈棱柱状； 水面EFGH的面积不改变； 棱A1D1始终与水面EFGH平行； 当容器倾斜到如图4 (2)时，BE-BF是定值；其中正确的命题序号是1

9、2答案：解析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故正确；在转动过程中EH/FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故错误；在转动过程中，始终有BC/FG/A 1D1，所以AQ/面EFGH 正确；当容器 转动到水部分呈直三棱柱时如图5(2)，因为V水1 BE BF BC是定值，又BC是定值，所以BE- BF13 有一容积为1立方单位的正方体容器AB、BBi及对角线BiC的中点各有一小孔ABCD-A1B1C1D1，在棱E、F、G，若此容器可124748AiBi图13答案：C解析：本题很容易认为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可装水的容积最大图6(1)，最大值为V位，这是一种错误的解法，错误原因是对题中22的理解不够'其实'当水平面调整为图6 (2) AEBiC时容器的容 积11立方单“容器是可以任意放置”-I-14 (08年江西)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升 水 时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒 置，水面也恰好过点P (图2 )。有下列四个命题：A 正四 棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置 时5水面也恰好过点PC任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点以任意放置，则该容器可装水的最大容积是