高中数学专题-集合与函数

1、高中数学专题-集合与函数1 .（人教版第14页B组第1题）已知集合A 1,2 ,集合B满足AUB 1,2 ,则集合B有 个.变式1：已知集合 A 1,2，集合B满足AUB A,集合B与集合A之间满足的关系是解：B A个，真子集个数有变式2：已知集合 A有n个元素，则集合 A的子集个数有解：子集个数有2n个，真子集个数有2 n 1个变式3：满足条件1,2 UA 1,2,3的所有集合A的个数是所以有 4个.解：3必须在集合 A里面，A的个数相当于2元素集合的子集个数,设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系2 .（人教版第14页A组第10题）已知集合A x|3 x 7 , Bx|2 x 10，求C

2、r(AU B)Cr(AI B) , (CrA)I b ,AU(CrB)变式1 ：已知全集U R,且Ax| x 1 2 ,B x|x2 6x0，则（CuA）I B等于A. 1,4)B(2,3)C(2,3D( 1,4)解：答案为C,集合A x|x1| 2所以CuAx| 1 x 3合BI 2 x| x6x 8x|2所以（CuA）I B 为（2,3变式2:设集合A2,x Ry|y，则Cr AI B等A. Rx x R, x解：A 0,4 , B4,0,所以 CrAICr0,故选 Bo变式3.已知集合Px N |1 x10 ,集合 Q x R|x2 x0，则P I Q等于(A)1,2,3(B) 2,3(

3、C) 1,2(D) 2解：集合Q x R|x2 x 6 03,2 ,所以答案为D.设计意图：结合不等式考察集合的运算33.（北师大版第21页B组第2题）已知集合 A 1,3, a1,a 2 ,是否存在实数a ,使得B A,若存在，求集合 A和B ,若不存在,请说明理由变式1:已知集合A= 1,3,2m1集合B= 3,m2 .若 B解：由已知m2 2m2m 1变式 2: A x|x2x |mx 10，且 AU BA,则m的取值范围是解：A x R|x23,2时，m0,0时,1所以 一 2或m3,所以1 一或m20,变式3：设Ax| x2 4x2(a 1)xAI B求实数a的值.解:A 4,0因为

4、AI所以B4,0，当 B时,4(a221)4(a1)时,1, B符合题意，当B4,0时,2(a1)所以设计意图：结合参数讨论考察集合运算4.（北师大版第 38页B组第1题）设函数f （x）3 3x 2f (x)gg(x)的定义域.g(x)变式1:函数f(x)3x2lg(3x 1)的定义域是A. ( 1, 3B.3,1)/ 1 1C.(,) 3 3D. (, 1)3解：由变式2:A.C.3x4,02, 1选C.由B.0,41,2lg4, 1 U 1,4。故 f设计意图：考察函数的定义域f(x)5.(人教版第84页B组第4题)B.D.的定义域为4,的定义域为1,44, 2x| 2的定义域为2,44

5、, 1 U 1,4已知函数 f(x) log a(x 1) , g(x)lOga(1x)(a0,且a1)(1) 求函数f(x) g(x)定义域(2)判断函数f (x) g(x)的奇偶性，并说明理由变式1：已知f (x) ax2 bx 3a b是偶函数，定义域为a1,2a.则 a解：函数是偶函数,所以定义域关于原点对称.-.a 12a变式2:函数y,9 x2的图象关于|x 4| |x 3|A. x轴对称C.原点对称D,直线x y 0对称2,解得2.解：函数定义域为9 x2 03 x 3,所以y 49 x2x 3 xx ,所以函数为偶函数，图像关于 y轴对称.变式3：若函数f（x） loga（x

6、Jx2 2a2）是奇函数,则a 解：由于 f(x) loga(x Vx2202)是奇函数，f( x) f (x) 0 ,即 loga(x 辰20) loga( x xx 2a2) 0 ,22. log a2a 0 2a 1 a设计意图：考察定义域与奇偶性6.（人教版83页B组第2题）3右loga - 1（a 0,且a 1）,求实数a的取值范围 4变式1 ：若log 2a 二一 0 ,则a的取值范围是（）1 a1“、1A. (-,) B. (1,)C. (-,1)22一 .11 a2-1 a2斛：当 2a 1 a 一 时，若 10g2a 0 ,贝U 0 21 a1 a1D. (0,-)2，c,1

7、，10 a 1 ,- a 1211a1a当 1 2a 00 a 一时，若 10g2a 0,则121 a1 aa 1,此时无解!所以选C变式2：设0 a1,函数 f (x) log a (a2x2ax 2）,则使f （x） 0的x的取值范围是(A) (,0)(B) (0,)(C) (, log a 3)(D) (log a 3,)解：要使 f(x) 0,且 0 a 1,所以 a2x 2ax 2 1a2x 2ax 3 0xx(a 3)(a1) 0ax 3,又 0 a 1 ,，x loga3 ,故选 C.设计意图：考察对数函数的单调性7.（人教A版126页B组第1题）经济学家在研究供求关系时，一般用

8、纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因哪条表示客户希望的需求曲线？为什么?变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线,（图略）变式1:某地一年的气温 Q （t）（单位：C）与时间 t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为 10C,令G （t）表示时间段0, t的平均气温，G （t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）图(1)_ IBAC答案：Aa与其前三个月的市场收购价变式2:为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格:月份1234

9、567价格（元/担）687867717270则7月份该产品的市场收购价格应为A. 69 元B. 70 元C. 71 元D. 72 元答案：C设计意图：考察学生读图、读表的能力8 .(人教版43页B组第3题)已知函数f(x)是偶函数，而且在(0,)上是减函数，判断 f(x)在(，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.变式1:下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是3A. y x , x RB. y sin x,x RC. y x, x RD. y(；)x,x R解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数，是减函数；故选A.变式

10、2：函数y f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是增函数，若f(a) f (2),则实数a的取值范围是()A. a 2 B. a 2 C. 2 a 2 D. a 2 或 a 2解：当a 0时，.函数y f(x)是r上的偶函数，且在(，0上是增函数，y f (x)在(0,)上是减函数，所以若 f(a) f(2),则a 2,当a 0时，函数y f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是增函数，且 f( 2) f (2) , a2,故选D设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系9 .(人教版第49页B组第4题)已知函数 f (x)x(x 4),x 0,求 f(1), f( 3), (a 1)的值x(x 4

11、),x 0变式1：设g(x)xe ,xlnx,x0.0.1g(g(2)1斛：驷(2)1 1ngg(ln -) e变式2:已知f (x)(3a 1)xlOga x,x 14a*1是()上的减函数，那么a的取值范围是A. (0,1)1 1C.)7,3解：分段函数的单调性需分段处理答案选变式3:设函数f (x)=(x 1)2A. (8, 2U 0,10C. (一00, 一 2U 1,10解：当xv 1时,f (x) >1( x+1)1B. (0,-) 31叼7,1)2>1当 x> 1 时，f (x) > 14 Jx1 > 1综上，知xw 2或0<x<10.答

12、案：A设计意图：考察分段函数的概念和性质10.(北师大版54页A组第5题)则使得f (x) > 1的自变量x的取值范围为B.(巴一2 U 0, 1D. 2, 0 U 1, 10xw2 或 x>0,，xw2 或 0Wxv 1.Jx 1 <31<x< 10.对于下列函数，试求它们在指定区间上的最大值或最小值，并指出这时的，一、2(2) y 2x x1, x 3,1变式1 :函数y ax在01上的最大值与最小值的和为3,则a的值为()A.B.2C.41 D.-4解：当1时，函数yax都是定义域上的单调函数,0二 a2,故选C.变式2:若函数f(x)log a x(0 a

13、 1)在区间a, 2a上的最大值是最小值的3倍，则a的值1 C.一4解： 0f (x)是定义域上的减函数，所以 f(x)max log a a 1 ,f(x)min loga 2a1 3loga 2a a (2a)3 8a2 1a立故选A4设计意图：考察函数的最值11.(人教版65页第8题)已知下列等式，比较 m , n的大小(1) 2m 2n(2) 0.2m0.2n变式1：设1 (1)b(2)a 1,那么A.aa vabvbaB.aa < baC.ab vaa <baD.ab vba v解：由1 (1)b22(2)a 1ax(0 a 1)在定义域内是单调递减的，aa ab,所以结

14、论不成立.在 C 中，y xn(n0)在(0,)内是单调递增的，又a b aa ba,所以答案为C.变式2：已知log 1 b2log 1a2A. 2b 2a2cB.2a 2b2cB. 2c2b2aD. 2c2a2b解：由已知b a c,因为y 2x在定义域内是单调递增的，所以 2b 2a 2c答案为A.变式3：已知函数yf(x)的图象与函数y ax ( a 0且a 1)的图象关于直线 y x对称,1 一记g(x) f(x)f(x) 2f (2) 1.右y g(x)在区间一,2上是增函数，则实数a的取值范围 2是()11A. 2,)B. (0,1) (1,2)C匚1)D. (0-2 2分析：本

15、题根据反函数的定义求出f (x)的解析式，再用换元法判断g(x)的单调性，结合条件，一、Jy g (x)在区间金,2上是增函数,求出实数 a的取值范围是，答案为 D设计意图：考察指、对数函数的单调性12.(人教版48页A组第8题)1 x2qrr设 f(x) =2 ,求证：(1)f(x) f(x)(2)f(1) xf(x)变式1：函数f x对于任意实数x满足条件f若f 15,则解：f (3)f(1 2)1n f(5)5f(32)1f(3)5,又f(x)1f(x 2)f( 5)1f( 5 2)f( 1) f( 3)1石)变式2:若奇函数f x (xR)满足 f(2) 1, f(x2)f(x) f(

16、2),则f(5)解：由已知 f(5) f (3) f (2)f(3) 1 f (1)f(2) 1f (1) 2 ,令 x 1 ,则f(1) f( 1) 1,又 f x是奇函数，所以 f( 1)f(1)11 f(1)f(1)1f(1)2, f(5)22变式3：函数f(x)是一个偶函数，g(x)是个奇函数，且f(x)g(x)1,， 一，则f (x)等于x 11A一x2 12x2B.x2xD.解析：由题知f(x) g(x)以x代x ,式得f ( x)g( x)，即 f(x)g(x)答案：A设计意图：考察函数的抽象运算与综合性质13.(人教版第49页B组第5题)证明:1 x._一一，x1 x2、右 f

17、 (x) ax b ,则 f ( )f(Xi) f(X2)2一(2)右 g(x) x ax b ,2 g(x1) g(x2)变式1 ：如图所示，fi(x)(i1,2,3,4)是定义在0, 1上的四个函数，其中满足性质：“对01中任意的Xi和X2 ,任意0,1, f Xi(1)x2f(x1) (1)f(x2)恒成立”的只有()fi(x)f2(x)f3(x)f4(x)A. f1(x)和 f3(x)B. f2(x)C. f2 (x)和f3(x)D. f4(x)1 解：当 一时，符合条件的函数是凹函数，从图像可看出有2fi(x)和 f3(x),选择 A.变式2:.设函数f(x) =ax b的图象如下图

18、所示，则a、b、c的大小关系是A.a> b>c解析：f (0) =b=0ca=c+1.由图象看出1 -11xB.a>c> bC.b>a>cD.c>a> bb=0.f (1) =1,a =1.1 cx>0 时，f (x) > 0,即x>0时,a>0.又 f (x)=acx x当x>0时，要使f (x)在x=1时取最大值当且仅当 x=Jc=1 时.7=1,此时应有 f (x) = a =1.a=2.2答案：B变式3:如图所示，单位圆中弧 AB的长为x, f (x)表示弧AB与弦AB答案：(D )设计意图：考察图象与式子运

19、算的能力14:(北师大版136页B组第1题)判断下列方程在(0, 10)1(1) x ln x 0(2)2变式1 ：设二次函数.当内是否存在实数解，并说明理由2x lg x 0,方程时，证明.的两个根 满足分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数f xx的表达式，从而得到函数f(x)的表达式.证明：由题意可知f(x) x a(x x1)(x x2).c10 x x1 x2 一， aa(x x1)(x x2) 0,时，f (x) x.又 f (x) x1 a(x x1)(x x2) x x1 (x x1)(ax ax2 1),x xi 0, 且 ax ax2 1 1 a

20、x20,f (x) xi,综上可知，所给问题获证.变式2：已知二次函数 f(x) ax2 bx c.(1)若a>b>c,且f (1) =0,证明f (x)的图象与x轴有2个交点；(2)在(1)的条件下，是否存在mCR,使得f (m)=a成立时，f (m+3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；._ -、一 、1(3)右对 x1，x2 R,且 x1x2,f(x1)f(xz),万程 f(x) - f (x1) fd)有 2 个不等实根，证明必有一个根属于(x1，x2)解：(1)f (1) a b c 0且a b c, a 0且c 0,b2 4ac 0, f (x)的图象与

21、x轴有两个交点.c(2) Q f(1) 0,，1是f(x) 0的一个根，由韦达定理知另一根为一，aca 0且c 0,-0 1,Xa b cb a g a一. ccc则 a(m -)(m 1) a0-m1m3-32 3 1aaaf (x)在(1, +°°)单调递增， f (m 3) f (1) 0 ,即存在这样的 m使f (m 3) 0.，、一、1一，、一、. 一 ，(3)令 g(x) f (x) -f (x1) f (x2),则 g(x)是二次函数.g(x1)g(x2) f(xj f-Sxf(x2) "x1)一肛当f(xj fM)2 0224又Q f(xj f(x

22、2),g(xj g(x2) 0, g(x) 0有两个不等实根，且方程 g(x) 0的根必有一个属于(x,x2).设计意图：考察函数的零点15.(北师大版第66页B组第3题)求二次函数f(x) x2 2(2a1)x 5a24a 2在区间10, 1】上的最小值g(a)的表达式.变式1 ：设a为实数，记函数f (x)a51 x2/1x&x 的最大值为 g(a).<1 x ,求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)(n )求 g(a)(出)试求满足g(a) gP)的所有实数a a解：(I) t J1 x J1 x.要使t有意义，必须1 x 0且1x 0,即. t2 2 2v1

23、x2 2,4,且 t.t的取值范围是J2,2。1 c由得：.1 x2 -t2 12(II)由题意知g(a)即为函数,、，1 2m(t) a(-t,、1 2m(t) at t21) t直线t1 一是抛物线m(t) a1 2-at2 t a的对称轴, 2(1)0时，函数y0知m(t)在t(3)0 时，m(t)0时，函数y(0,向即a(<2,2即 a(2,)即2综上所述，有g(a) = a1at2 t a, t 72,2。2”2,2的最大值,可分以下几种情况进行讨论:m(t), t J2,2的图象是开口向上的抛物线的一段,J2,2上单调递增，故g(a) m(2) a 2；t 722,有 g(a

24、)=2；m(t), t 。2,2的图象是开口向下的抛物线的一段,时，g(a)m(w,r2)2217 2时，g(a) m(12,0)时,g(a)m(2)12a,(a、2a212)2。(a1一)aa 2。a2a(III)g(a),1当a 一时,21 、. 22丁12a.2丁小12ag(a)12a2 ( a)(22,故当时，g(a)22 ；0时,0,由 g(a)0时,a1 a -ag(3 知:a1弋11或一a1,从而有要使g(a)g(1)，a必须有a2,g(a)一 1 一<2 或 g(-) <2a.2 a此时，g(a)g(1)。a综上所述，满足g(a)g(-)的所有实数 aa为:.2二或

25、a2设计意图：考察二次函数的最值与分类讨论的思想16.(人教版84页B组第5题)试着举几个满足“对定义域内任意实数a都有f (ab)f(a)gf (b)”的函数例子.变式1:设函数f (x)的定义域是N*,且f(xy) f(x)f(y)xy , f (1) 1,则 f (25)=解析：由 f (x y) f (x) f (y) xyf(2)f(1)f(1)f (2)f(1) 2同理，f (3) f (2) =3. f (25) f (24) =25.f (25) =1+2+3+ +25=325.答案：3251变式2:设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x 1对称，X任意x1,x2 0

26、,-,都有 f (Xi x2) f ()f (x2),11(1)设 f(1) 2,求 f(), f() 24(2)证明f(x)是周期函数.(1)解：由 f(X1 X2) f(X1)f(X2)知 f (x) f (-x) f (1) f2(x) 0, xe 0, 1.1因为 f (1) =f ( 1) - f ( 1) = f ( 1 ) 2,及 f(1)=2,所以 f (1) =222 22211因为 f ( 1) =f (1) f ( 2) = f ( 1) 2,及 f ( 1 ) =25，所以 f ()=2'244424(2)证明：依题设 y f (x)关于直线 x=1 对称，故 f (x) =f (1+1 x) f (x) =f (