(课标专用)天津市2020高考数学二轮复习题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题

1、题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题题型练第62页1.设函数 f (x) = ax2- (4 a+1) x+4a+3e x.若曲线y=f (x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行，求a;(2)若f (x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.解：(1)因为 f (x) = ax2-(4 a+1) x+4a+3e x,所以 f (x) =2 ax- (4 a+1)e x+ ax2- (4 a+1) x+4a+3e x= ax2- (2 a+1) x+2e x( x R).f (1) =(1 -a)e .由题设知f (1) =0,即(1-a)e =0,解得a=1.此时f (1) =3ew。,

2、所以a的值为1.(2)由(1)得 f (x)=ax2-(2 a+1)x+2e x=(ax-1)( x-2)ex.若 a,则当 x -时，f (x)0.所以f (x)在x=2处取得极小值.若 aw,则当 x (0,2)时,x-20, ax- -x-10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是 -8 .2 .已知f(x)=ax-ln( -x), xC-e,0),其中e是自然对数的底数,aR.(1)当 a=-1 时，证明：f (x) +-.(2)是否存在实数a,使f (x)的最小值为3?如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由.- 证明由题意可知，所证不等式为f(x),xC-e,

3、0).因为 f (x) =-1-=-所以当-e x-1时,f (x)0,此时f(x)单调递减；当-1x0,此时f (x)单调递增.所以f(x)在区间-e,0)内有唯一极小值f(-1)=1,即f(x)在区间-e,0)内的最小值为1;-令 h(x)=- ,xC-e,0),贝U h (x)=,当-ew x0时，h(x -e,由于 xC - e,0),贝U f (x) =a-0所以函数f(x)=ax-ln( -x)在区间-e,0)内是增函数，所以 f (x) min=f (-e) =-ae-1=3,解得a=-e-e矛盾，舍去.若 a-e,贝U当-ew x-时，f (x) =a-0,此时f (x)=ax

4、-ln( -x)是减函数,当-x0,此时f (x)=ax-ln( -x)是增函数,所以 f (x) min=f - =1-ln - - =3,解得 a=-e .综上知，存在实数a=-e2,使f (x)的最小值为3.3 .已知函数 f (x) =x3+ax2+b( a, b C F).试讨论f(x)的单调性；(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(-8, - 3) U -8 ,求 c 的值.2解:(1) f (x)=3x+2ax,令 f (x) =0,解得 xi=0, x2=-.当 a=0 时，因为 f (x)=3x20(xw0),所以

5、函数f(x)在区间(-8, +8)内单调递增；当a0时，xC-oo - - u (0,+OO)时，f(x)0, xC - - 0 时，f(x)0,所以函数f (x)在区间-8 - ,(0, +oo)内单调递增，在区间- 0内单调递减；当 a0, xC 0 - 时，f (x) 0,所以函数f(x)在区间(-8,0),-, OO内单调递增，在区间0 -一内单调递减.(2)由(1)知，函数f (x)的两个极值为f (0) =b, f - -a3+b,00则函数f(x)有三个零点等价于f (0) - f - - =b 0 时，一a3-a+c0或当 a0 时，a3-a+c0.设g( a) =-a3-a+

6、c,因为函数f (x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(-00,-3) U - ,则在(-oo,-3)内 g( a) 0 均恒成立，从而 g(-3)=c- 0因此c=1.一，一322此时,f (x) =x+ax +1-a= (x+1) x +(a-1) x+1-a,因函数有三个零点，则x2+( a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根，所以A =( a-1)2- 4(1 -a) =a2+2a-30,且(-1)2-(a-1)+1-aw0,解得 a (-oo,-3) U -8.综上c=1.4.(2019 全国 n,理 20)已知函数 f(x)=ln x.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(

7、x)有且仅有两个零点；(2)设xo是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(xo,lnxo)处的切线也是曲线y=ex的切线.解f(x)的定义域为(0,1) U(1,+8).因为f (x)=-0,所以f(x)在区间(0,1),(1,+8)内单调递增.因为 f(e) =1-0,e-e - e -所以f(x)在区间(1, +8)内有唯一零点x1,即f(x1)=0.又 0-f (x)恒成立，求 a 的取值范围解:(1)由题意可知,f (x) =ex- 2a-3a2e-x=eee-e 当a=0时，f (x)=ex0,此时f (x)在R上单调递增当 a0 时,令 f (x)=0,解得 x=ln(3

8、a),当 xC(-oo,in(3 a)时，f (x)0, f(x)单调递增；当 a0 时,令 f (x) =0,解得 x=ln( -a),当 xC(-oo,in( -a)时，f (x)0, f(x)单调递增；综上可知，当a=0时，f(x)在R上单调递增； 当 a0 时，xC (-8,in(3 a)时，f(x)单调递减，xC(ln(3 a), +8)时，f(x)单调递增；当 af ( x),可得 ,e x( x-a- 1) -x 2+2ax-a2+100,令 g( x) =ex(x-a- 1) -x2+2ax-a2+10,只需在xC(0, +8)时使g(x)min0即可.g (x)=ex(x-a

9、- 1) +ex- 2x+2a=(ex-2)( x-a ),当 a 0.当 0xln2 时，g (x) ln2 时, g (x) 0,所以g(x)在区间(0,ln2)内是减函数，在区间(ln2, +8)内是增函数，只需 g(ln2) =-a2+(2ln2 -2) a-(ln2) 2+2ln2 +80, 解得 ln2 -4aln2 +2,所以 ln2 - 4a 0;当0aln2时，g(x)在区间(0, a)内是增函数，在区间(a,ln2)内是减函数，在区间(ln2, +)内是增函数则0则00解得0a0 g(x)在区间(0, +0)内是增函数而 g(0) =9- ln2 - (ln2) 20 成立

10、;当aln2时，g(x)在区间(0,ln2)内是增函数,在区间(ln2, a)内是减函数,在区间(a,+8)内是增 函数,-e 00-0解得 ln2 an10 .综上可知，a的取值范围为(ln2 -4,ln10).6.设函数f (x) =g(x) =-x+(a+b)(其中e为自然对数的底数，a, bCR且aw。)，曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=ae(x-1).求b的值;(2)若对任意xC e 00 , f (x)与g(x)的图象有且只有两个交点，求a的取值范围.解:(1)由 f(x)=,得 f (x)=由题意得f (1) =ab=ae. aw 0, : b=e.8 ,

11、f (x)与g(x)有且只有两个交点，(2)令 h( x) =x f (x)-g( x) =x2-(a+e) x+aeln x,贝U任意 xC - 等价于函数h(x)在区间e 8有且只有两个零点.2由 h(x) =-x -( a+e)x+aeln x, 得 h (x)- -e当a0得xe;由 h (x) 0 得exe.此时h(x)在区间e e内单调递减，在区间(e, +0)内单调递增.22 一因为 h(e) =-e - (a+e)e +aelne =-e -e(e -2) - e - e 0(或当 xf+8时，h(x) 0 亦可),所以要使得h(x)在区间e8内有且只有两个零点，e - e e 0ee贝U只需 h -一一+aeln -eeee当ea0 得exe;由 h (x) 0 得 axe.此时h(x)在区间(a,e)内单调递减，在区间- 和(e,