最新201X学年数学人教A版选修4-5优化练习：第三讲一二维形式的柯西不等式Word版含解析

1、课时作业 A组基础巩固1若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2 B2，2 C， D(， 解析：a2b210，(a2b2)(1212)(ab)2，即20(ab)2，2 ab2.答案：A2函数y2的最大值是()A3BC. D4解析：y2222()26×3，当且仅当2·，即x时等号成立y的最大值为.答案：C3如果实数m，n，x，y满足m2n2a，x2y2b，其中a，b为常数，那么mxny的最大值为()A. BC. D解析：由柯西不等式，得(mxny)2(m2n2)(x2y2)ab，当mn，xy时，(mxny)max.答案：B4若ab1，则22的最小值为()A1

2、 B2C. D解析：22a22b22.ab1，a2b2(a2b2)·(11)·(ab)2，又8，以上两个不等式都是当且仅当ab时，等号成立22228，当且仅当ab时等号成立，取到最小值.答案：C5若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形，则长方形ABCD周长的最大值为()A2R B2RC4R D4R解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是ABCD的周长l2(x)2(1×x1×)由柯西不等式得l2x2()2(1212)2×2R×4R.当且仅当x·1·1，即xR时等号成立此时 R，即四边形ABCD为正方

3、形，故周长为最大的内接长方形是正方形，其周长为4R.答案：D6若存在实数x使>a成立，常数a的取值范围为_解析：×1×，由柯西不等式得(×1×)2(31)·(x214x)64，所以8，当且仅当x10时取“”，于是，常数a的取值范围是(，8)答案：(，8)7设xy>0，则(x2)·(y2)的最小值为_解析：原式29.答案：98设实数x， y满足3x22y26，则2xy的最大值为_解析：(x)2(y)2(2xy)2，|2xy| ，当且仅当×y×x，即3x4y且3x22y26时，等号成立，而此方程组有解2xy

4、的最大值为.答案：9已知为锐角，a，b>0，求证：(ab)2.证明：设m，n(cos ，sin )，则|ab|·cos ·sin |m·n|m|n|·，(ab)2.10设a，bR，若ab2，求的最小值解析：(ab)()2()22(11)24.24，即2.当且仅当··，即ab时取等号，当ab1时，的最小值为2. B组能力提升1设a1、a2、b1、b2R，则下列不等式中，柯西不等式用错的是()A(ab)·(ab)(a1a2b1b2)2B(ab)·(ab)(a1b2b1a2)2C(ab)·(ab)(a1b

5、1a2b2)2D(aa)·(bb)(a1b1a2b2)2答案：C2设xy>0，则的最小值为_解析：原式x2()2()2y2(x··y)29.答案：93已知a，bR，且ab1，则()2的最大值是_解析：()2(1×1×)2(1212)(4a14b1)24(ab)22×|4×12|12.答案：124已知a，b，c为正数，且满足acos2bsin2<c，求证：cos2sin2<.解析：由柯西不等式，得cos2sin2(cos )2(sin )2·(cos2sin2) (acos2bsin2)<.5若x24y2xy的最大值及最大值点解析