推理与证明复习

1、推理与证明复习知识梳理:1合情推理根据一类事物的局部对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理简 称归纳。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理；根据两类不同事物之间具有某些类似或一致性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似或相同的性 质的推理，叫做类比推理简称类比。类比推理的一般步骤：1 找出两类事物之间的相似性或一致性；2用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题猜测；3般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某 些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；4 在一般

2、情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。2演绎推理分析上述推理过程，可以看出，推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题如全等三角形推出特殊性命题的过程，这类根据一般性的真命题 或逻辑规那么导出特殊性命题为真的推理， 叫做演绎推理。演绎推理的特征是： 当前提为真时，结论必然为真。3证明反证法：要证明某一结论 A是正确的，但不直接证明，而是先去证明 A的反面非A 是错误的，从而断定 A 是正确的即反证法就是通过否认命题的结论而导出矛盾来到达肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。反证法的步骤：1假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2

3、从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。注意：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾在证明过程中，推出自 相矛盾的结论。分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为 判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫 做分析法。用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有，这只需要证明命题为真，从而又有这只需要证明命题 A为真，而 A为真，故命

4、题B必为真。综合法：禾U用某些已经证明过的不等式例如算术平均数与几何平均数定理和不等式的性质推导出所要证明 的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由条件出发，禾U用的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证 明方法。常考题型一、合情推理与演绎推理1、2021北京卷学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀 “合格“不合格 假设学生甲的 语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，那么称“学生甲比学生乙成绩好 如果一组学生 中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，

5、那么这组学生最多 有B A . 2人 B . 3人 C . 4人 D . 5人2、2021北京卷对于数对序列 P：，b1),b?),，(an, bn)，记(P)= a1+ b1, Tk(P)= bk+ max Tk- 1(P), a1+ a?+ ak(2 < kw n), 其中maxTk-1(P), a1 + a2+ ak表示Tk-1(P)和a1 + a2 + ak两个数中最大的数.(1) 对于数对序列 P : (2, 5), (4, 1),求 T1(P), T2(P)的值；(2) 记m为a, b, c, d四个数中最小的数，对于由两个数对(a, b), (c, d)组成的数对序列P：

6、(a, b), (c, d)和P(c, d), (a, b),试分别对 m= a和m = d两种情况比拟 T2(P)和T2(P'的大小；(3) 在由五个数对(11, 8), (5, 2), (16, 11), (11, 11), (4, 6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使 T5(P)最小，并写出T5(P)的值.(只需写出结论)解：(1)(P) = 2 + 5= 7,T2(P)= 1 + max(P), 2 + 4 = 1 + max7 , 6 = 8.(2) T2(P) = max a + b+ d, a + c + d,T2(P ' = maxc+ d+ b, c

7、+ a+ b.当 m= a 时，T2(P，=maxc+ d + b, c+ a + b = c+ d+ b.因为 a+ b + dw c+ b + d,且 a + c+ dw c+ b+ d,所以 T?(P)w T2(P'.)当 m= d 时，T2(P，= max c+ d + b, c+ a + b = c+ a+ b.因为 a+ b + d w c+ a + b,且 a + c+ d w c+ a+ b,所以 T?(P)w T2(P'.)所以无论 m= a还是m = d, T2(P)wT2(P'都成立.(3) 数对序列 P: (4, 6), (11, 11), (1

8、6, 11), (11, 8), (5, 2)的 T5(P)值最小，T1(P)= 10, T2(P) = 26, T3(P)= 42, T4(P)= 50, T5(P)= 52.3、2021福建卷假设集合a, b, c, d = 1 , 2, 3, 4，且以下四个关系：a= 1;b丰1;c= 2;d丰4有且只有一个是正确的，那么符合条件的有序数组(a, b, c , d)的个数是15. 6解析假设正确，那么不正确，可得1不正确，即b = 1,与a= 1矛盾，故不正确;假设正确，那么不正确，由不正确，得 =2, c= 1, d= 4 或 a= 2, b = 3, c= 1, d= 4.假设正确，

9、那么不正确，由不正确，得 =1, c= 2, d= 4;假设正确，那么不正确，由不正确，得d= 4;由1, b丰1, cm2，得满足条件的有序数组为a= 3, bd= 4；由不正确，得b = 1,那么满足条件的有序数组为a= 3, b由aM 1, cm 2, dm4，得满足条件的有序数组为a= 2, b=1, c= 4, d= 3 或 a= 3, b = 1, c= 4, d= 2 或 a= 4, b = 1, c= 3, d= 2;综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.2021 东卷设数列an的前 n 项和为 Sn，满足 Si= 2nan+1 3n 4n, n N ,且 S3= 15.(1

10、)求 a1, a2, a3 的值;求数列an的通项公式.4、2021新课标全国卷I 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A, B, C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过 C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 . A 5、2021陕西卷观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜测一般凸多面体中F, V, E所满足的等式是 F + V E = 2二、直接证明与间接证明6、2021山东卷用反证法证明命题“设 a, b为实数，那么方程 x2 + ax+ b= 0至少有一个实根时，要做的假设

11、是(A)A. 方程x2 + ax+ b= 0没有实根B. 方程x2 + ax+ b= 0至多有一个实根C. 方程x + ax+ b= 0至多有两个实根D. 方程x2+ ax+ b = 0恰好有两个实根三、数学归纳法7、2021安徽卷设实数c>0,整数p> 1, n N*.(1) 证明：当 x> 1 且 xm 0 时，(1 + x)p> 1 + px;(2) 数列an满足 a1> cp, an +1 = Pan + -pa! p,证明：外 > a*+1> cp.证明：(1)用数学归纳法证明如下. 当p= 2时，(1 + x)2= 1+ 2x+ x2>

12、;1 + 2x,原不等式成立. 假设p = k(k>2, k N )时，不等式(1 + x) >1 + kx成立.当 p = k+ 1 时，(1 + x)k+1= (1 + x)(1 + x)k>(1 + x)(1 + kx) = 1 + (k+ 1)x+ kx2>1 + (k+ 1)x. 所以当p = k+ 1时，原不等式也成立.综合可得，当x> 1, x工0时，对一切整数1an>cp.方法一：先用数学归纳法证明p>1，不等式(1 + x)p>1 + px均成立.当n= 1时，由题设知a1>假设n = k(k> 1, k N )时，

13、不等式ak>cp成立.由 an+1= Tan+ pan p易知 an>0, n N*.ak+1p 1 . c pak当n = k+ 1时，akp p1+pan1.111iCp 1 <°.p p由(1)中的结论得1+ Pp- 1由 ak>c >0 得一1< 一<_ p：k 1 >1 + p 11V-Cp ap 1 - ap.1 因此 ap+1>c,即卩 ak +1>c；,所以当n = k+ 1时，不等式an>J也成立.p综合可得，对一切正整数n,不等式an>c1均成立.Pan+1 . 1 _can+1再由=1 +

14、p 1可得<1 ,anP 0 丿 an即 an+ 1<an.综上所述，an>an+1>2, n N*.p方法二：设 f(x) = p一-x+ cx1p, x>c1，那么 xp>c,p pp所以 f'xj =亍 + ；(1 p)xp =亍!j x.>0.1111由此可得，f(x)在c-,+8 )上单调递增，因而，当 x>c-时，f(x)>f(c-)= c_. ppp1当n= 1时，由a1>c_>0，即卩a?>c可知pa2 = Pa1+ ca1 pP p-1=a1J + p、 1 1 <a1，并且 a2= f(a

15、1)>cp，从而可得 a1>a2>cp,故当n= 1时，不等式an>an+1>c，成立.P1假设 n = k(k> 1， k N )时，不等式 ak>ak + 1>c成立，那么当 n= k+ 1 时，f(ak)>f(ak+1)>p1即有 ak+ 1>ak+2>cp,所以当n = k+ 1时，原不等式也成立.1综合可得，对一切正整数n,不等式an>an+1>c均成立.P8 2021广东卷设数列an的前n项和为Sn,满足Sn= 2nan+1- 3n24n, n N ,且S3= 15. (1)求 a1, a2, a3

16、 的值；求数列an的通项公式.ax9、2021 全国卷函数 f(x) = ln(x + 1) (a>1). x十a(1)讨论f(x)的单调性;23设 a1= 1, an+1=ln(an+1)，证明：<an.n + 2 n + 22解：易知 f(x)的定义域为(一1,+ ), f ' (x)= xx( a - 2a) 2.(x + 1)( x+ a)(i) 当 1<a<2 时，假设 x ( 1, a2 2a)，那么 f' (x)>0，所以 f(x)在(1, a2 2a)是增函数；假设 x (a2 2a, 0),那么 f' x(<0，所以

17、 f(x)在(a2 2a, 0)是减函数；假设x (0,+s )，那么f'x)>0，所以f(x)在(0,+s )是增函数.(ii) 当a= 2时，假设f'x) > 0, f'x)= 0成立当且仅当x= 0，所以f(x)在( 1,+ )是增函数.(iii) 当 a>2 时，假设 x ( 1, 0)，那么 f'x(>0,所以 f(x)在(1, 0)是增函数；假设 x (0, a2 2a),那么 f'x(<0,所以f(x)在(0, a2 2a)是减函数；假设 x (a2 2a,+ )，贝U f'x)>0，所以 f(x

18、)在(a2 2a,+ )是增函数.由(1)知，当a = 2时，f(x)在(一1 ,+ )是增函数.2x当 x (0,+ )时，f(x)>f(0) = 0,即 ln(x+ 1)>x+2(x>0).又由知，当a = 3时，f(x)在0 , 3)是减函数.当 x (0, 3)时，f(x)<f(0)= 0，即 ln(x+ 1)<x+3(0<x<3).23f面用数学归纳法证明n<an<荷.2(i) 当n = 1时，由3<a1= 1,故结论成立.<af23(ii) 假设当n=k时结论成立，即 花<*花.当n = k+ 1时,2/、 2

19、 Xak+1 = In (ak+ 1)>lni丄 +1 k+2=丄 k + 2+ 1 > 2 + 2= k + 3, k+ 2+3ak+1 = In(ak+ 1)< In丄+ 1二后 3k+ 2+ 3 k+ 3k+ 23即当n= k+ 1时，有十1w，结论成立.根据(i)(ii)知对任何n 结论都成立.10、2021 陕西卷设函数 f(x) = ln(1 + x), g(x) = xf' (x), x> 0,其中 f' x)是 f(x)的导函数. (1)令 g1(x) = g(x), gn+1(x) = g(gn(x), n N+,求 gn(x)的表达式

20、；假设f(x)?ag(x)恒成立，求实数a的取值范围； 设n N +,比拟g(1) + g(2) + g(n)与n f(n)的大小，并加以证明.解：由题设得，g(x) = x (x > 0).1 + xx(1)由，g1 (x) = 1 + x，X1 + x x g2(x) = g(g1(x)= = nx，1+ 1+ xxxg3(X)=，可得 gn(x)=.1 + 3x1 + nx下面用数学归纳法证明.当n= 1时，g1(x)=结论成立.假设n=k时结论成立，即gk(x)=盘.那么，当 n= k+1 时，gk+1(x)= g(gk(x) = 1 + gk(x)gk (x)x1 + kxd

21、Z1八，即结论成立.x 1 +( k + 1) x1 +1 + kx由可知，结论对 n N +成立.ax(2)f(x)> ag(x)恒成立，即ln(1 + x) >恒成立. I十x设 $(x)= ln(1 + x) 0),1 I xax+ 1 a2=2,1那么 $'x)= 1+x( 1 + x) 2(1 + x)当aw 1时，$'x)>0(仅当x= 0, a = 1时等号成立), $ (x)在0,+ )上单调递增，又$0) = 0, $ (x)>0在0,+ )上恒成立， aw 1时，ln(1 + x)>-a恒成立(仅当x= 0时等号成立).1 +

22、x当 a>1 时，对 x (0, a 1有(j)'x(<0, $ (x)在(0, a 1上单调递减，- $ (a 1)< «0) = 0.即a>1时，存在x>0,使$(x)<0 ,故知|n(1 + x)眾不恒成立.综上可知，a的取值范围是(g,1.(3)由题设知g + g(2) + + g(n )= 1 +1+ +比拟结果为 g(1) + g(2) + + g(n)>n ln(n+ 1).证明如下：11i方法一：上述不等式等价于2+§+ nrr+1)，在中取a= 1，可得ln(1 + x)> , x>0.1 +

23、x1令 x= n，N+,那么1帚<lnn+ 1nF面用数学归纳法证明.1当n= 1时，2<ln 2，结论成立.假设当n= k时结论成立，即1 + 2+<ln(k+ 1).23k+111111k + 2那么，当n=k+1时，2+3+ k+ 1+ k+ 2<ln(k+ 1) + k+ 2<ln( k + 1) + lnk+ 1= ln(k+ 2)，即结论成立.由可知，结论对 n N +成立.1 1 1方法二：上述不等式等价于+1 + n+<l n(n + 1),X在中取a= 1，可得ln(1 + x)>, x>0.1 + x令 x=丄，n N + ,

24、贝U lnn + S nn n +11故有 ln 2 ln 1>2,1ln 3 ln 2>3,1ln(n+1)ln n>n+i，上述各式相加可得ln(n+ 1)>2+1+23y=x+? x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而2+舟十彩是图结论得证.方法三：如图，m-dx是由曲线J X + 1 0中所示各矩形的面积和，1 2n n x：+;+> n dx =2 3 n+1 . x+1ox+7n ln(n + 1),o '结论得证.2*11、2021 重庆卷设 ai = 1, an+1= a“ 2a*+ 2+ b(n N).(1) 假设b= 1，求a2, a3

25、及数列an的通项公式.假设b= 1,问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n N*成立？证明你的结论.解：方法一：a2= 2, a3= 2+ 1.再由题设条件知2 2(an+ 1 1) = (an 1) + 1.从而(an 1)2是首项为0,公差为1的等差数列， 故(an 1)2= n 1,即卩 an= n 1 + 1(n N*). 方法二：a2= 2, a3=2 + 1.可写为 a1 = -1 1 + 1, a? = 2 1 + 1, a3 = ".;3 1 + 1.因此猜测 an =、jn 1 + 1. 下面用数学归纳法证明上式.当n = 1时，结论显然成

26、立.假设n= k时结论成立，即ak= :k 1 + 1,贝Uak+1= (ak 1) 2+ 1 + 1 = '： ( k 1) + 1 +1 = “J ( k+ 1) 1 + 1, 这就是说，当n= k+ 1时结论成立.所以 a*= n 1 + 1(n N).(2) 方法一：设 f(X)=詁(X 1) 2 + 1 1，那么 an + 1 = f(an).令 c= f(c),即卩 c=(c 1) 2+ 1 1，解得 c= ?下面用数学归纳法证明命题a2n<c<a2n + 1<1.当 n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(0) = 2 1，所以 a2<4<a3<1，结论成立. 假设n= k时结论成立，即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在( g, 1上为减函数，