人教版高中物理必修2第六章万有引力与航天1.行星的运动习题(1)

1、第4讲万有引力与航天一、开普勒行星运动定律1 .开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭里太阳处在椭圆的一个焦点上。2 .开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的 面积。3 .开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值3都相等，表达式： T = k。二、万有引力定律1 .公式：F= Gmmmm,其中 G= 6.67X10 11 Nl- m2/kg 2,叫引力常量。4 .公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点， r是两球心间的距离。一个均匀球

2、体 与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。三、卫星运行规律和宇宙速度1.地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：与地球自转周期相同,即 T= 24 h =86 400 s。(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。Mm 4兀 2 ,口 3 GM24.(4)局度一te：据 宇 =m-Tr得r=、，4 =4.24X10 km,卫星离地面图度 h=r R- 5.6 R(为恒量)。2 兀 r,，一(5)速率一定：运行速度 v= =3.08 km/s(为恒量)。(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致2 .极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行

3、时每圈都经过南北两极，由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖。(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为79km/s 。(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。3.三种宇宙速度比较宇宙速度数值(km/s)意义A宇 宙速度7.9这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若7.9km/sw v16.7 km/s ,物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间 运行（逃逸速度）四、经典时空观和相对论时空观3 .经典时空观（1）在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。（2）在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结

4、果在不同的参考系中是 相同的。4 .相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同。5 .经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。（判断正误，正确的画，错误的画“X”。）1 .只要知道两个物体的质量和两物体之间的距离，就可以由F=Gmm2来计算物体间的万r有引力。（X）2 .第一宇宙速度与地球的质量有关。（V）3 .地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。（X）4 .发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。（X）5 .地球对其表面的物体的万有引力就是物体的重力。（X）1.（开普勒三定律）火星和木星沿各自的椭圆轨道绕

5、太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（）A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析 行星做椭圆运动，且在不同的轨道上，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，所以A、B两项错误；根据开普勒第三定律，可知 C项正确；对在某一轨道上运动的天体来说，天体与 太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，而题中是两个天体、两个轨道，所以D项错误。答案 C2.（对万有引力定律的理解）一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量 的一半，它的直径也是地球直

6、径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是 它在地球上所受万有引力的 （）A. 0.25 倍 B . 0.5 倍 C . 2.0 倍D. 4.0 倍1GMm. GMm22GMm, 人解析 由 尸引二一丁二一r=2= 2F地，故 C项正确。2答案 C3 .（卫星的运动）我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成“组合体”。对接后的“组合体”仍在“天宫二号”的轨道上运行。“组合体”和“天宫二号”运动的轨道均可视为圆轨道，“组合体”和“天宫二号”相比，“组合体”运行的（）A.周期变小B.角速度变大C.动能变大D.向心加速度变小解析 因“组合

7、体”和“天宫二号”在相同的轨道上做匀速圆周运动，可知“组合体” 和“天宫二号”相比具有相同的周期、速度、角速度和向心加速度，但是由于组合体的质量 变大，则动能变大，C项正确。答案 C4 .（对宇宙速度的理解）北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与 通信系统（CNSS）,建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。对于其中的5颗同步卫星，下列说法正确的是（）A.它们运行的线速度一定不小于7.9 km/sB.地球对它们的吸引力一定相同C. 一定位于赤道上空同一轨道上D.它们运行的加速度一定相同解析 同步卫星运行的线速度一定小于7.9 km/s , A项错误；由于

8、5颗同步卫星的质量不一定相等，所以地球对它们的吸引力不一定相同，B项错误；5颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上，它们运行的加速度大小一定相等，方向不相同，C项正确，D项错误。答案 C考点1天体质量和密度的计算 考|点|速|通天体质量及密度的估算方法 典|例|微|探【例1】（多选）1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知万有引力常量G地球表面处的重力加速度 g,地球半径R,地球上一个昼夜的时间 Ti（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转周期），地球中心 到月球中心的距离 L1,地球中心到太阳中心的距离 L2。你能计算出（ ）gR2A

9、.地球白质重mrn = i2 3B.太阳的质量 mtt = 4 ,十4兀 2L1C.月球白质量 m月=gTD.可求月球、地球及太阳的密度解题指导利用万有引力提供向心力估算天体质量时，只能估算中心天体的质量，并 非环绕天体的质量。解析 对地球表面的一个物体 m来说，应有mg=r,所以地球质量 ms=, A项正 Gmn4 兀 2.4 兀 2L3一 . 确；对地球绕太阳运动来说，有 L2=m地、2-L2,则 m太 = -GT-, B项正确；对月球绕地球 运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质 量和密度，C、D两项错误。答案 AB估算天体质量和密度时应注意的问

10、题1 .利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。2 .区别天体半径 R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星才有 r = R;计算天体一，4 7 , , 密度时，Vn.TtR中的R只能是中心天体的半径。3题|组|冲|关1 .已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍，某行星的同步卫星轨道半径约为该行星半径的 3倍，该行星的自转周期约为地球自转周期的一半，那么该行星的平均密度与地球平均密度之比约为1 A31B.4()1C.5解析口 Mm ，:根据GtmT22-r,3M 3兀 X7V= gT,对于行星：r1D.6, 一 4兀 2r3

11、 一 .43.一解得M= GT-,因为V= 3兀F3,对于地球：r = 7R所以P地3=3R,所以p行=V= gt 2，又因为T= 2T,所以p行：p108 1地=五=可，A项正确。343 3答案 A2 .宇航员乘坐航天飞船，在距月球表面高度为H的圆轨道绕月运行。经过多次变轨最后登上月球。宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铅球从高度为h处同时以速度V。做平抛运动，二者同时落到月球表面，测量其水平位移为 x。已知引力常量为 G,月球半 径为R则下列说法不正确的是 （）2hvoRA.月球白质重M= gqvoB.在月球上发射卫星的第一宇宙速度大小vi=-J2hRx23hvoC.月球的密度

12、 p=，“24 % GRxD.有一个卫星绕月球表面运行周期T=x .2hRvoh- 18 -解析设平抛运动落地时间为t,根据平抛运动规律，水平方向有x=vot,竖直方向h=2got2,解得月球表面重力加速度 go = -x7-,在月球表面，有Gi = mg,解得月球质量 M= ,g ,A项正确；设在月球表面运动的卫星的第一宇宙速度为v,由万有引力定律提供向心力得到2hv2F2Mimv2八1 vo.人，,M x G 3hv2G 存 =mir,解得v= x2hR B项正确；根据留度公式可以得到p =V= 4=云七晨正x司兀F3 x兀3C项错误；根据公式可以得到卫星绕月球表面运行的周期2兀R 2兀R

13、T=x2hRVox ,2hRvoh正确。答案 C考点 2卫星的运动考|点|速|通卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力,2口 , Mm v即由 Gp=ny = mrco =mT2r = ma可推导出:v=GMGM4兀23T=; GMv减小3减小?当r增大时 丁的上T增大 日减小an=GMM r【例2】面的高度分别是（多选）如图所示，a、 R和2R（R为地球半径典|例|微|探b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地）。下列说法正确的是（）A. a、b的线速度大小之比是 也：1B. a、b的周期之比是1 : 2小C. a、b的角速度大小

14、之比是3木:4D. a、b的向心加速度大小之比是9： 4解析卫星绕地球做匀速圆周运动所需要的向心力由地球给卫星的万有引力提供。MmG-2r2ViV2由3R2R2ri3,故A项错误；由GMm= m1 2r得T1 = 2r i I2由ri 2rl = 3故B项错误;MmG-2r2mo Ir得以= 3 2心 3 6 皿,Mmzttai言=+，故C项正确；由牛=加；r2 9,m故D项正确。答案 CD利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧1. 一个模型天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。2. 两组公式2,2Mm v 24 %Grr = rnr = mo r = rnrr = mvoGM

15、m ,一 mg= -Rt（ g为天体表面处的重力加速度3. a、v、3、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参 量的比较，最终归结到半径的比较。题|组|冲|关1 .（2019 张家口月考）如图所示，某极地轨道卫星的运动轨道平面通过地球的南北两极,已知该卫星从北纬 60。的正上方按图示方向第一次运行到南纬60。的正上方时所用时间为1h,则下列说法正确的是（）A.该卫星与同步卫星的运行半径之比为1 ： 8B.该卫星与同步卫星的运行速度之比为2 ： 1C.该卫星的运行速度一定大于7.9 km/sD.该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能解析 卫星从北纬60。的正上方，按图示

16、方向第一次运行到南纬60。的正上方时，偏转1的角度是120。，刚好为运动周期的所以卫星运行的周期为3 h ,同步卫星的运行周期是324 h ,该卫星与同步卫星的运行周期之比为1 ： 8。由GMm= nr-rrr可知r= XMT该卫星.,（2与同步卫星的运行半径之比为1 ： 4,故A项错误；由v=可知该卫星与同步卫星的运行速度之比为2： 1,故B项正确；7.9 km/s是卫星环绕地球做匀速圆周运动最大的运行速度， 所以该卫星的运行速度一定小于7.9 km/s ,故C项错误；由于不知道卫星的质量关系，所以不能比较机械能的关系，故D项错误。答案 Ba,线速度大小为v,万有引力常数为 G,由以2.（多

17、选）2018年2月12日13时03分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五、六颗 北斗三号全球组网卫星，完成了农历鸡年中国航天的“收官之战”。北斗导航系统中，某颗 卫星绕地球做圆周运动，其向心加速度大小为上数据可知（）星轨道半径为vB.该卫星角速度大小为C.该卫星的周期大小为271Va4D.该卫星白质量为Ga解析由向心加速度公式2v a=可得r2仁事A项错误；由a=vco 得B项正确;,4兀2 v2 口 八辽由a = pr,结合a=：得卫星的周期T=2 71V不，C项正确；由2Mm mv ，上人一 幺士a,口 口r2a=!得地球的r4质量岫含，并不是卫星的质量，DWiHo答案 BC考点 3卫星的

18、发射和变轨考|点|速|通1 .稳定运行卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由2GMm v ,口F=mr得 v =GM由此可知，轨道半径 r越大，卫星的速度越小。当卫星由于某种原因速度v突然改变2时，F引和m不再相等，因此就不能再根据v=2 一 r mv ，、一，做近心运动；当 F引时，卫星做离心运动。确定v的大小，当F引2mv r 口时，卫星r2.变轨运行人造卫星在轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向 心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于 动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星

19、即定位于新的轨道。【例3】中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通信卫星，该卫星运行的轨道示意图如图所示，卫星先沿椭圆轨道1运行，近地点为 Q远地点为P。当卫星经过 P点时点火加速，使卫星由椭圆轨道1变轨到地球同步轨道 2上运行，下列说法正确的是 （）A.卫星在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等B.卫星在轨道1上运行经过P点的速度大于经过 Q点的速度C.卫星在轨道2上时处于超重状态D.卫星在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道 2上运行经过 P点的加速度解析 卫星在两轨道上运动白机械能不相等，A项错误；在轨道上运行经过 P点的速度应小于近地点 Q的速度，万有引力做正功使动能增加，B项错误

20、；卫星在轨道上应处于失重状,一_ Mm GM , 一态，C项错反；由万有引力提供向心力可知： Gp= ma a=y2,在同一点P加速度相等，D项正确。答案 D卫星变轨的实质两类变轨离心运动近心运动变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小受力分析Mm v2 G-?m- r r变轨结果变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨 道上运动变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨 道上运动题|组|冲|关1 .（多选）目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近 似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀 薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是（）A.卫星的动能

21、逐渐减小8 .由于地球引力做正功，引力势能一定减小C.由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小解析根据GMm=mv,得v=、yGM可知轨道半彳越小，则v越大，动能越大，故a 项错误；根据功能关系，引力做正功，引力势能一定减小，故 B项正确；根据功能关系，机 械能的变化与除重力以外其他力做功有关，既然气体阻力做了负功，机械能一定会减小，故C项错误；根据动能定理， W Wi=E2-EW且，故D项正确。答案 BD中段是指弹道导9 .美国曾在夏威夷考艾乌的太平洋导弹靶场进行过一次中段反导试验,弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段。如图所示，一枚蓝军弹

22、道导弹从地面上A点发射升空，目标是攻击红军基地 B点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从 C点发射 拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点 D将其击毁，下列说法正确的是 ( )A.图中E到D过程，弹道导弹机械能不断增大B.图中E到D过程，弹道导弹的加速度大小不变C.弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆D.弹道导弹飞行至 D点时速度大于7.9 km/s解析 E到D过程，依靠惯性飞行，只受引力，只有引力做功，机械能守恒，故 A项错 误；E到D过程，高度增大，地球对导弹的引力减小，加速度减小，故B项错误；根据开普勒第一定律，导弹在大气层外只受地球引力，其运动轨迹是以地心为焦点的椭

23、圆，故C项正确；根据开普勒第二定律，导弹离地面越远速度越小，离地面越近速度越大，地面附近的速度为 第一宇宙速度7.9 km/s，所以弹道导弹飞行至 D点时速度小于7.9 km/s，故D项错误。答案 C双星模型1 .模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某 点做周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。2 .模型条件(1)两颗星彼此相距较近。(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。3 .模型特点(1)“向心力等大反向”一一两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故Fi = F2,且方向相反，分别作用在

24、两颗恒星上，是一对作用力和反作用力。(2)周期、角速度相同”一一两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。(3)“半径反比”一一圆心在两颗恒星的连线上，且ri+2=L,两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比。(4)巧妙求质量和一Gnm2Gmm 2L? = m2 w r 2,+得GmL2m = Jl,所以m+m=cA3G【经典考题】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T,经过一段时间演化 后，两星总质量变为原来的 k倍

25、，两星之间的距离变为原来的 n倍，则此时圆周运动的周期 为()解析 双星间的万有引力提供向心力。设原来双星间的距离为L,质量分别为M m,圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。对质量为m的恒星GLmm mT，, 口， 一 口 Mm 2 兀 2 对质量为 M的恒星 空;吊（L r）,/口 M+ m 4 兀 2 口 .4 兀 2L3信 GL=L 即=GWm m则当总质量为k（W m,间距为L =nL时，T =选项B正确。答案 B必|刷|好|题1 .（多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A B

26、绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AOOB则（）A.星球A的质量一定大于 B的质量B.星球A的线速度一定大于 B的线速度C.双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大解析设双星质量分别为nA、nB,轨道半径分别为R、RB,两者间距为L,周期为T,角,、， ，一 Gmrra2一 速度为3,由万有引力7E律可知：L= HAW R,Gmrra2-L- = RB3 电R+ FRi= L,-mA R由式可得m=3,而AOOB故A项错误； mB FaVa= 3 Ra, Vb= CO Rb, B 项正确；联立得 Qra+rb） = 32L3

27、,又因为T=,故T= 2兀L,可知C项错误，D项正确。 :Gra+ rra答案 BD2.（多选）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示， 三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G,则（）A.每颗星做圆周运动的线速度为B.每颗星做圆周运动的角速度为C.每颗星做圆周运动的周期为D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关解析由图可知,Gm. 2cos30。=mr= mto r = mr2-r = ma可解得a=3Gm ,人NR ,故A B、C三项正确，D项错误。

28、答案 ABC1. （2018 全国卷I ）（多选）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波，根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约 400 km,绕二者连线上的某点每秒转动 12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（）A.质量之积 B .质量之和C.速率之和 D .各自的自转角速度1解析 双中子星做匀速圆周运动的频率f = 12 Hz（周期T= s） , 3=2兀=24兀，由万有引力等于向心力，可得，Grr_2_= mr 1 w 2, Grp = m2r2之，r 1 +

29、2=r = 40 km,联立解得 m+ m = 7，B项正确，A项错误；由V1=3i1, V2= 3 2,联立解得V1+v2=3i, C项正确；G不能得出各自自车t的角速度，D项错误。答案 BC2. （2018 全国卷n）2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自车t周期 T= 5.19 ms,假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67X10 11 Nl-m2/kg2,以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（）A. 5X109 kg/m 3B. 5X1012 kg/m 3C. 5X1015 kg/m3D. 5X 1018 kg/m 3解析 在天体中万有引力提供向心力,即GMm m爷2R,天体的密度公式M Mp =v= 4-兀F33结合这两个公式求解。设脉冲星质量为M