基本不等式专题---完整版(非常全面)

1、时间：二。二一年七月二十九日基本不等式专题辅导 之阿布王创作时间：二。二一年七月二十九日一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若a，b R则2 b2 2ab2/一，a b-aab ab(2)若 a，b R则I 22、基本不等式一般形式(均值不等式)若 a, b R ,则 a b 2Vab3、基本不等式的两个重要变形_*(5)若 I a，b R ,则特别说明：以上不等式中，当且仅那时a b取一6、柯西不等式a, b, c,d R一*(1)若b R 则I 222222(a b )(c d ) (ac bd)(2)若a1,a2,a3,b1,b2,b3 R，则有:,一*a,b R则ab/2222.

2、2.22(a1a2a3 )(1blb24 ) (a1bl a2b2 a3b3)(3)设a色, ,an 与 b1,b2, ,b是两组总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时 ，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中,当且仅那时 1a bh “二”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、经常使用结论实数，则有222(a a2an )(b b2bn )z72(ah a2b2antn)二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、 设他均为正数，证明不等，则(当且仅那时2、已知Ia,b, q为两两不相等的实数，求证：|a2 b2 c2 ab bc ca a b 2

3、2(3)若 lab_0,则Lb a(当且仅那3 、 已知1abe1 ,求证(4)若a,b R，则22a b 2 a bab ()2 24、已知 la,b,c一R_l,且 1a b c 1,求证:(1 a)(1 b)(1 c) 8abcy 2x2x 41的最小值;5、已知a,b,c R 日，求证:变式 2 ：已知lx 2，求函数111-1-1-18abcy 2x6、(2013年新课，标n卷数学(理) 选/啰45:不等式选讲设a,b,c均为正数，且a b c 1,证明：(i)1 ab bc ca32(n)7、 (2013年江苏卷(数学) 选4 5:不等式选讲题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列

4、函数的值域y 3x2 A2)y x(4 x)(3)1 ,y x (x 0)x1 ，y x (x 0)x题型三：利用不等式求最值 (凑项)1、已知，求函数y 2x 42x 4的最小值;变式 1 ： 已知，求函数最年夜值；题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、那时他耳£引,求1y x(8 2x)l的最年夜值；变式1：那时口9,求1y 4x(8 2x)的最年夜值；变式 2 : 设 2，求函数y 4x(3 2刈的最年夜值2、若10 x 2|,求 1y %；x(6 3x) | 的最 年夜值；变式：若 Io x 4|,求 y 、；x(8 2x)的 最年夜值；y v2x 1 V 5 2x(1

5、x -)3、求函数 22的最年夜值；(提示：平方，利用基本不等式)变 式： 求 函 数:I 311y v 4x 3 411 4x( i x -) 44J的最年夜值；题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题题型六：分离换元法求最值（了解）1、已知a,b 0,a 2b 111tab，求的1、求函数域;x2 7x 10 / 八 y x 1 (x 1)的值最小值;法一：法二：变式1 ：a,b 0,a 2b 2变式:求函数2、求函数y 8(x 1)x 1的值域;v x 2y 2x 5的最年夜值:（提11ta b I的最小值;示：换元法）最小值;c 28 /x, y0,-1xy,求同的变式2:已知变式：求函数

6、4x 91的最年夜值;题型七：基本不等式的综合应用变式3:已知x, y 0119xy，求，且1、已知小值x y的最小值.变式4:已知x, y 0,求，且x yi的最小值;变式5:0图2x y 1求yl的最小值;(2)若a,b,x, y R且的最小值;变式6:已知正项等比数列HI满足:,若存在两项，使得a? a6 2a5，求Lm n的最小值;aman 4a11 12,r ab a b的最小值;变式1 : （2010四川）的表达式如果a21ab a(a b)的最小值；变式2: （2012湖北武汉诊断）已知，那时a 0, a 1y loga(x 1) 1的图像恒过定点区，若点皿在直线mx y n 0

7、3、已知x, y 0x 2y最小值;变式1：已知求国I范围;a,b 0x 2y 2xy 8，满足 1ab a b 3|变式 2 :（ 2010 山东）已知恒成立,求c的取值范围;111x/y0 2 x 2 y 3,求Ey最年夜值；（提示：通分或三角换元）变式 3 :（2011 浙江）已知x, y 0xy 1,求同最年夜值;4、 （2013年山东（理）设正实数x, y,z满足x2 3xy 4y2 z 0xy，则当日212xyz取得最年夜值时的最年夜值为（）A. 0B. 1c.（提示：代入换元，利用基本不等式以及函 数求最值）变式：设x,y,z是正数，满x 2y 3z 0,求LxzJ的最小值;题型

8、八：利用基本不等式求参数范围1、（2012沈阳检测）已知(x y)(1 -) 9x y最小值;x, y 0，且恒成立，求正实数回的求同的最年夜值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）变式：已知a,b 0满则Lab题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式. a b（a,b,c,d R,当且仅当一 一；即ad bc时等万成立）c da, b, c, d R22222(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2(1)Ja2b2 Jc2 d2ac bd|2、二维形式的柯西不等式的变式（a,b,c,d R,当且仅当£ -；即ad bc时等号成立）c d： 2. 22 2.2(2)

9、va b v c dac1bdi.a b（a,b,c,d R,当且仅当一 一；即ad bc时等号成立）c d(3)(a b)(c d) (. acbd)2（a,b,c,d 0,当且仅当a 3 即ad bc时等号成立）c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式（当且仅当0,或存在实数k,使a k时，等号成立）4、三维柯西不等式科e3心心力3R，则有:(a12 a22 a32)(b12 b22 42)(db a2b2 a3b3)2（a,bi R,当且仅当亘a2久时等号成立）b1b2b35、般回维柯西不等式a, ,an 与匕也，,bn是两组实数则有:4、( 2013年湖南卷题型分析题型一：利用柯西不等

10、式一般形式求 最值1222 1、设 %y,z R,若lx y z 4,则5、(2013年湖北卷(理)(理)已知设 x, y,z R且'足：x2 y2 z2 1 x 2y 3z VT4求|x y z的值;x 2y 2z的最小值为时,(x, y, z)析6、求 2sin v 3 cos sin cos cos(x 2y 2z)2(x2 y2 z2)12 ( 2)2 :降最年夜值与最小值.(回1：最年夜值为4 9 361x 2y 2zI最小值为匚6x y z62一222此时 I12 2 12 ( 2) 23遍1最小值为运) 析：令 Q (2sin ,H! (1,sin ,cos )cos , cos ),Lb时间：二 O二一年七月二十九日2、设