成都市一诊考试数学试题及答案理科

1、LOGO成都市一诊考试数学试题及答案理科集团标准化工作小组Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN理科数学第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1 .设全集U = R,集合今=上4_2/=巾之一I,则1(AU6) =A. 2,1 B. (-2,-1) C. (8,2Ub+8)D. (2,1)22 .复数z二三在复平面内对应的点位于1 + 1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值 越大说明空气污染状况越严重，空气质量越

2、差.某地环保部 门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量 指数AQI,根据得到的数据绘制出如图所示的折线图.则下 列说法里用的是A.该地区在12月2 口空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日AQI持续增大D.该地区的空气质量指数AQI与日期成负相关4 .已知锐角AABC的三个内角分别为A,6,C,则“sinA>smB”是“tanA>tanB”的A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5 . “更相减损术”是我国古代数学名着九章算术中的算法案 例，其对应的程序框图如图所示.若输入的的值分别为

3、4,6 , 1,则输出的人的值为6.若关于x的不等式W +2ov+l20在0,+oo)上恒成立，则实数。的取值范围为A. (0,+8)B. -l,+°o)C. -MD. 0,+s)6.若关于x的不等式/+2办+ 120在0,+8)上恒成立，则实数。的取值范围为(A)(O,+s)(B)-1,+oo)(C)-l,l(D)O,+s)7.如图，已知双曲线E:一上=1(。0/0),长方形皿的顶点4 a- b6分别为双曲线E的左，右焦点，且点C,。在双曲线E上.若46 = 6,BC=-t则此双曲线的离心率为2A. V2B. - C. -D.小228.如图已知双曲线石：=-=1(。0川0),长方形

4、43。的顶点4,3分别为双曲线后的左、右焦点，且 cr b点C,。在双曲线£上，若A3 = 6,BC = 则双曲线的离心率为8 .己知51!13-2) = *,2七(0,2)，则。05。的值为 652a 4&-3_ 4出+3. 4-33_ 3&4101010109 .在三棱锥P45C中，己知尸A_L底面45C, /氏4。= 120°,4 = 45 = 4。= 2.若该三棱锥的顶点 都在同一个球面上，则该球的表面积为A. 10737： B. 18兀C. 207rD. 9010 .己知定义在R上的奇函数/(X)满足/(x+2) + /(x) = 0 ,且当x&#

5、163;O,l时，/(x) = log2(x+l).则下 列不等式正确的是A. /(log27)</(-5)</(6)B. /(log27)</(6)</(-5)C. /(-5)</(log27)</(6)D. /(-5)</(6)</(log27)11 .设函数，(x)=sin(2x+g),若演& <0,且/(占)+/(&) = 0 ,则k2-司的取值范围为A.0+8)B. C，+s) c.(3,+s)D.(孚,+s)6333YPx12 .己知关于x的方程一 + + ? = 0有三个不相等的实数根须,左,刍,且用<0

6、<x, <当，其中 e x-e-nieR, e = 2.71828为自然对数的底数.则(3-1)2(4-1)(3-1)的值为eX1 ex： eXjA. eB. 1C. 1 +机D. m第H卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13 . （x + 2y了的展开式中的第三项系数为x+ y>l14 .若实数x,y满足线性约束条件（ j<x ,则x+2y的最大值为. 2x-y<415 .如图，在直角梯形ABDE中，已知乙480 =/应为=90°，。是80上 一点，AB = 3-y/3,ZACB = 15 ZECD = 60=

7、 45°,则线段0E的长度为16 .在长方体ABC。-A4GA中，己知底面ABC。为正方形，尸为片已的中点，4） = 2," =6，点。是正方形人88所在干预内的一个动点，且QC = ®QP,则线段5。的长度的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .（本小题满分12分）己知等差数列。“的前n项和为Sn, a2 = 3,S4 = 16, /? g N*.（1）求数列4的通项公式；设“ =Tan，求数列也的前项和Tn.18 .（本小题满分12分）某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水 量作了记录，

8、得到了大量的该企业的日用水量的统计数据.从这些统计 数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位: 吨）.若用水量不低于95 （吨），则称这一天的用水量超标.（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概 率；（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数.记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数，求X的分布列和数学期望.19 .（本小题满分12分）如图，在边长为5的菱形488中，4。= 6.现沿对角线4。把乙4。翻折到她/）。的位置 得到四面体尸-45C,如图所示.己知尸6 = 4五.（1）求证：平面平面A8

9、C；1 （2）若。是线段AP上的点，且求二面角。6CA的余弦值.20 .（本小题满分12分）*> ,己知椭圆呜+ >心八。）的右焦点尸忘。），长半轴与短半轴之比等于2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不经过点5（0,1）的直线/与椭圆。相交于不同的两点若线段MN的中点”满足 |MN| = 2怛"I，证明直线/过定点，并求出该定点的坐标.21 .（本小题满分12分）己知函数其中e = Z71828为自然对数的底数.（1）若曲线y = /（x）在点P（七,e"）处的切线方程为y = H+b,求人-入的最小值；（2）当常数? <2,时，已知函数g（x） = （

10、x-l）/（x）-疗+ 2在（0,+8）上有两个零点4王，工2（王毛）证明：In_<&_&<m.请考生在第22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在 答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22 .（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程x=2+t2在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为«为参数）.在以坐标原点。为极点，x轴的y = 2+gI 2正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。的极坐标方程为psiife+4sin6 = p.（1）写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点M的直角坐标为（2,2）

11、.若直线/与曲线C相交于不同的两点A,5,求4HM目的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲己知函数 /（x） = |x-2|+A:|x+l|, eR.（1）当k=1时，若不等式，（x）v4的解集为3±vxvxj，求须+ W的值;（2）若关于X的不等式/（X）之人当xeR时恒成立，求左的最大值.数学（理科）参考答案及评分意见第I卷（选择题，共60分）一.选择题：（每小题5分，共60分），9，9，第II卷（非选择题，共90分）二.填空题：（每小题5分，共20分） ，9，三.解答题：（共70分）17.解：（1）设数列q的公差为d.*/a2 = 3,S4 = 16, /.%+

12、d = 3,4q + 6d = 16.解得d = 2,q=L4分an = 27?-l.6 分(2)由题意，=(2-l)x2.7； = 1x7 + 3x22 + + (2-3)x2"T + (2-1)x2”.27；,=1 x 2? + + (2 - 3) x 2" + (2n -l)x 2n+1.由-，可得-T =lx21 + 2x(22 + 234- + 2n)-(2n-l)x2n+1.9 分:.-Tn = 2 + 23(2,-1-l)-(2n-l)x 2w+1=-6 + (-2n + 3)x 2,+1. 11 分,7； = 6 + (2 - 3)x2叫12 分18.解：（

13、1）记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天是用水量超标”为 事件4则叫等葛嚼噜以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为;.随机变量X表示未来三天用水量超标的天数，.X的取值分别为：0,1,2,3.9易知X8(3,?,尸(X =幻=以(?"?3:k=0,1,2,3.则 P(X = O)*，p(x = l) = i,p(x = 2) = j,P(X=3) = y. 8 分随机变量X的分布列为X0123p827492912710分数学期望E(X) = 3xL1,12分319.解：(1)取AC的中点。，连接得到AP8O.458 是菱形，:.PA = PC, POL

14、AC.vDC = 5,AC = 6,:.OC = 尸0 = 08 = 4,PB = 4, ，PO? + OB1 = PB.:.PO±OB.BOQAC = O,/. POJL平面 ABC.PO u 平面 PAC,平面 ABC 1 平面 PAC.(2) v AB = BC9:. BO LAC.易知08, OC,O尸两两相互垂直.以0为坐标原点，丽，灰，而分别为x轴，y轴,方向建立空间直角坐标系。xyz，如图所示.则 6(4,0,0),C(0,3,0), P(0,0,4), 4(0,3,0).的正设点 Q(x,y,z). 1 .4由 4。= 4尸，得。(0,2,§卜4,6C =

15、(-4,3,0),BQ = (-4,-2,§).设% = (&,%, Zj为平面5C。的一个法向量.,n. - BC - 0由< _ =></ BQ = 0一招 + 3乂 = 04.解得<_4&_2, + §4=03再=什4乂讨取 4=15,贝ij%= (3,4,15).8分取平面ABC的一个法向量儿=(0,0,1).,/ cos15小谕疗EF3W1011分.二面角。-sc-a的余弦值为噜.12分20.解：(1) ; c =后二=2, a2 = b2 + c2,ba = 2,b = l.椭圆的标准方程为(2)易知当直线/的斜率不存在时

16、，不合题意.设直线/的方程为y=丘+in(m。1),点M(占,),N(&,y2).联立, :乙："，消去y可得(442 + 1)工2 + 8加a+4/一4 = 0. x- + 4y = 4A = 42 + 1-/M2 > 0由|MN| = 2忸叫，可知点6在以|MN|为直径的圆上.:.BM LBN.丽丽=0,/ BM BN =(气,任 + - 1) (x,+ ni-l)=(k2 + l)8x, + k(tn- 1)(玉 + x,) + (m-1)2 = 0,a整理，得5/-2加-3 = 0.解得m=-二或m=1 （舍去）.3，直线/的方程为 > 二丘-L故直线/经

17、过定点，且该定点的坐标为（0,-令12分21.解：（1）曲线在点。小典与）处的切线为y = e"x_/e“+e%.k = ex。，b = - x°e " + e ":.k-b = xoer0 ,设")=祀'.由 Hx) = (x+l)e' = 0,解得 x = L当x>l时，”'(x)>0,，”(外单调递增;当xv1时，'(x)<0, ”(x)单调递减.”0）的极小值（也是最小值）为”（T） = -Lb的最小值为L5分e(2)当x>0时，由 g'(x) = x(e*-2?)= 0,

18、解得x = ln2机.当x>ln2加时，g'(x)>0,、g(x)在(ln2肛xo)上单调递增；当 0cxeIn2m 时，g'(x) < 0 ,二 g(x)在(0,ln2/?)上单调递减.，g(x)的极小值为g(ln27).7分*/ g(l) = 2-/n <0 ,x = ln2/w>ln4>l, /. g(ln2m) <0.又丁 g(0) = l>0,g=2-帆<0,叫 w(0,l),使得g(x)= 04vx2 > In2/w > hi4, x, -xl >lii4-l = ln-.9 分-e当 x =小

19、时，g()= (in - l)e,H-7?3 + 2,7n> 2./. gni) = mQm - 3m2 = m(em - 3m).设 G(m) = em - 3m9m> 2.G'(M =屋 一3>0, /.G(?)在(2,+s)上单调递增.:.G(m)>G(2) = e2-6>0. /.g'(m)>0恒成立./. g(m) > g(2) = e2 -6 > 0. 3x2 e (In2见机),使得 g(公) = 0.二. x2. m > x2-xr4故ln-cx,一大 <机成立.12分e -x=2+-t_22.解：(1)由12 ，消去参数f可得y = JJ(x2) + 2.尸2 +乌I 2直线/的普通方程为Gv-y + 2-2O = 0,2分,/ psin2 8+4sin8 = p,:. p1 sin2 6+4